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第十章 微分方程 第九節(jié) 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,如果二階線性微分方程為,y + py + qy = f(x) ，,其中 p、 q 均為常數(shù)，,則稱該方程為二階常系數(shù)線性微分方程.,f (x) 稱為自由項，當 f (x) 不恒等于0 時，稱為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程，,當 f (x) 恒為 0 時，稱為二階線性齊次微分方程.,定理 如果函數(shù) y* 是常系數(shù)線性非齊次方程 y + p y + q y = f (x)的一個特解，,y = Y + y*，,是常系數(shù)線性非齊次方程的通解.,Y 是該方程所對應的常系數(shù)線性齊次方程的通解，,則,前面我們介紹了下面的定理面：,因此求二階常系數(shù)線性非齊次方程通解的一般步驟為：,(1) 求常系數(shù)線性齊次方程 y + p y + q y = 0 的線性無關的兩個特解 y1 與 y2，,得該方程的通解,(2) 求常系數(shù)線性非齊次方程 y + p y + q y = f (x) 的一個特解 y*.,那么，方程的通解為 y = Y + y*.,Y=C1 y1 + C2 y2.,下面只介紹當非齊次項f(x)取以下兩種特殊的函數(shù)形式時，如何求特解：,二階常系數(shù)非齊次線性方程,對應齊次方程,通解結構,其中,難點：如何求特解？,方法：待定系數(shù)法.,一、 型,設非齊方程特解為,代入原方程,綜上討論,注意,上述結論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)）.,特別地,例 1 求方程 y + y + y = 2e2x 的一個特解.,解 a = 2 它不是特征方程 r2 + r + 1 = 0 的根，取 k = 0，,則,代入方程，得,故原方程的特解為,所以，設特解為,提示,因為f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根 所以非齊次方程的特解應設為 y*b0xb1 把它代入所給方程 得,例2 求微分方程y2y3y3x1的一個特解,解,齊次方程y2y3y0的特征方程為r22r30,b0xb12b0xb13b0xb1,3b0x2b03b1,2b03b0x3b1,3b0x2b03b13x1,提示,3b03 2b03b11,特解形式,解,對應齊次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解為,例3,利用歐拉公式,注意,上述結論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程.,解,對應齊方通解,作輔助方程,代入上式,所求非齊方程特解為,原方程通解為,（取虛部）,例4,解,對應齊方通解,作輔助方程,代入輔助方程,例5,所求非齊方程特解為,原方程通解為,（取實部）,注意,三、小結,(待定系數(shù)法),只含上式一項解法：作輔助方程,求特解, 取特解的實部或虛部, 得原非齊方程特解.

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