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文檔簡介

,第四節(jié)、一階微分方程應用舉例,一、一階微分方程求解,二、解微分方程應用問題,一、一階微分方程求解,1. 一階標準類型方程求解,關鍵: 辨別方程類型 , 掌握求解步驟,2. 一階非標準類型方程求解,(1) 變量代換法 代換自變量,代換因變量,代換某組合式,(2) 積分因子法 選積分因子, 解全微分方程,四個標準類型:,可分離變量方程,齊次方程,線性方程,全微分方程,例1. 求下列方程的通解,提示: (1),故為分離變量方程:,通解,方程兩邊同除以 x 即為齊次方程 ,令 y = u x ,化為分,離變量方程.,調換自變量與因變量的地位 ,用線性方程通解公式求解 .,化為,方法 1 這是一個齊次方程 .,方法 2 化為微分形式,故這是一個全微分方程 .,例2. 求下列方程的通解:,提示: (1),令 u = x y , 得,(2) 將方程改寫為,(貝努里方程),(分離變量方程),原方程化為,令 y = u t,(齊次方程),令 t = x 1 , 則,可分離變量方程求解,化方程為,變方程為,兩邊乘積分因子,用湊微分法得通解:,例3.,設F(x)f (x) g(x), 其中函數 f(x), g(x) 在(,+),內滿足以下條件:,(1) 求F(x) 所滿足的一階微分方程 ;,(03考研),(2) 求出F(x) 的表達式 .,解: (1),所以F(x) 滿足的一階線性非齊次微分方程:,(2) 由一階線性微分方程解的公式得,于是,例4. 設河邊點 O 的正對岸為點 A , 河寬 OA = h,一鴨子從點 A 游向點,二、解微分方程應用問題,利用共性建立微分方程 ,利用個性確定定解條件.,為平行直線,且鴨子游動方向始終朝著點O ,提示: 如圖所示建立坐標系.,設時刻t 鴨子位于點P (x, y) ,設鴨子(在靜水中)的游速大小為b,求鴨子游動的軌跡方程 .,O ,水流速度大小為 a ,兩岸,則,關鍵問題是正確建立數學模型,要點:,定解條件,由此得微分方程,即,鴨子的實際運動速度為,( 求解過程參考P273例3 ),( 齊次方程 ),思考: 能否根據草圖列方程?,練習題:,1、 已知某曲線經過點( 1 , 1 ),軸上的截距等于切點的橫坐標 , 求它的方程 .,提示: 設曲線上的動點為 M (x,y),令 X = 0, 得截距,由題意知微分方程為,即,定解條件為,此點處切線方程為,它的切線在縱,、 已知某車間的容積為,的新鮮空氣,問每分鐘應輸入多少才能在 30 分鐘后使車間空,的含量不超過 0.06 % ?,提示: 設每分鐘應輸入,t 時刻車間空氣中含,則在,內車間內,兩端除以,并令,與原有空氣很快混合均勻后, 以相同的流量排出 ),得微分方程,( 假定輸入的新鮮空氣,輸入 ,的改變量為,

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