概率論第八章假設(shè)檢驗(yàn).ppt

第八章 假設(shè)檢驗(yàn),8.1 假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想 8.2 正態(tài)總體未知參數(shù)的 假設(shè)檢驗(yàn) 8.3 單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn),上一章介紹了對總體中未知參數(shù)的估計(jì)方法。 本章將討論統(tǒng)計(jì)推斷的另一個(gè)重要方面 統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)。出于某種需要，對未知的或不完 全明確的總體給出某些假設(shè)，用以說明總體可能 具備的某種性質(zhì)，這種假設(shè)稱為統(tǒng)計(jì)假設(shè)。如正 態(tài)分布的假設(shè)，總體均值的假設(shè)等。這個(gè)假設(shè)是 否成立，還需要考察，這一過程稱為假設(shè)檢驗(yàn)， 并最終作出判斷，是接受假設(shè)還是拒絕假設(shè)。 本章主要介紹假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和常用的檢驗(yàn)方法，重點(diǎn)解決正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 。,1 假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想,一、 假設(shè)檢驗(yàn)問題的提出,二、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想,三、假設(shè)檢驗(yàn)中兩類錯(cuò)誤,統(tǒng)計(jì)推斷的另一個(gè)重要問題是假設(shè)檢驗(yàn)問題。 在總體的分布函數(shù)未知或只知其形式，但不知其參 數(shù)的情況下，為了推斷總體的某些性質(zhì)，提出某些 關(guān)于總體的假設(shè)。例如，提出總體服從泊松分布的 假設(shè)，又如，對于正態(tài)總體提出數(shù)學(xué)期望 0的假 設(shè)等。,這里，先結(jié)合例子來說明假設(shè)檢驗(yàn)的基本思 想和做法。,假設(shè)檢驗(yàn)就是根據(jù)樣本對所提出的假設(shè)作出 判斷：是接受，還是拒絕。,例1 已知某煉鐵廠的鐵水含碳量X在某種工藝條件下服從正態(tài)分布N(4.55，0.1082)?，F(xiàn)改變了工藝條件，測了五爐鐵水，其含碳量分別為： 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37 根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，總體的方差2= 0.1082一般不會改變。試問工藝條件改變后，鐵水含碳量的均值有無改變？,顯然，這里需要解決的問題是，如何根據(jù)樣 本判斷現(xiàn)在冶煉的鐵水的含碳量是服從4.55的 正態(tài)分布呢？還是與過去一樣仍然服從 =4.55的 正態(tài)分布呢？若是前者，可以認(rèn)為新工藝對鐵水 的含碳量有顯著的影響；若是后者，則認(rèn)為新工 藝對鐵水的含碳量沒有顯著影響。通常，選擇其 中之一作為假設(shè)后，再利用樣本檢驗(yàn)假設(shè)的真?zhèn)巍?例2 某自動車床生產(chǎn)了一批鐵釘，現(xiàn)從該批鐵釘中隨機(jī)抽取了11根，測得長度(單位：mm)數(shù)據(jù)為： 10.41，10.32，10.62，40.18，10.77，10.64， 10.82， 10.49，10.38，10.59，10.54。 試問鐵釘?shù)拈L度X是否服從正態(tài)分布？,而在本例中，我們關(guān)心的問題是總體X是否服從正態(tài)分布。 如同例1那樣，選擇“是”或“否”作為假設(shè)，然后利用樣本對假設(shè)的真?zhèn)巫鞒雠袛唷?以上兩例都是實(shí)際問題中常見的假設(shè)檢驗(yàn)問題。 我們把問題中涉及到的假設(shè)稱為原假設(shè)或稱待檢假設(shè)，一般用H0表示。而把與原假設(shè)對立的斷言稱為備擇假設(shè)，記為H1。 如例1，若原假設(shè)為H0：= 0=4.55，則備擇假設(shè)為H1：4.55。 若例2的原假設(shè)為H0：X服從正態(tài)分布，則備擇假設(shè)為H1：X不服從正態(tài)分布。,當(dāng)然，在兩個(gè)假設(shè)中用哪一個(gè)作為原假設(shè)，哪一個(gè)作為備擇假設(shè)，視具體問題的題設(shè)和要求而定。 在許多問題中，當(dāng)總體分布的類型已知時(shí)，只對其中一個(gè)或幾個(gè)未知參數(shù)作出假設(shè)，這類問題通常稱之為參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)，如例1。 而在有些問題中，當(dāng)總體的分布完全不知或不確切知道，就需要對總體分布作出某種假設(shè)，這種問題稱為分布假設(shè)檢驗(yàn)，如例2。,接下來我們要做的事是：給出一個(gè)合理的法則，根據(jù)這一法則，利用巳知樣本做出判斷是接受假設(shè)H0 ，還是拒絕假設(shè)H0。,二、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想,假設(shè)檢驗(yàn)的一般提法是：在給定備擇假設(shè)H1下，利用樣本對原假設(shè)H0作出判斷，若拒絕原假設(shè)H0，那就意味著接受備擇假設(shè)H1，否則，就接受原假設(shè)H0。 換句話說，假設(shè)檢驗(yàn)就是要在原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1中作出拒絕哪一個(gè)和接受哪一個(gè)的判斷。究竟如何作出判斷呢？對一個(gè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)的依據(jù)是所謂小概率原理，即,概率很小的事件在一次試驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生!,例如，在100件產(chǎn)品中，有一件次品，隨機(jī)地從中取出一個(gè)產(chǎn)品是次品的事件就是小概率事件。 因?yàn)榇耸录l(fā)生的概率=0.01很小，因此，從中任意抽一件產(chǎn)品恰好是次品的事件可認(rèn)為幾乎不可能發(fā)生的，如果確實(shí)出現(xiàn)了次品，我們就有理由懷疑這“100件產(chǎn)品中只有一件次品”的真實(shí)性。 那么取值多少才算是小概率呢？這就要視實(shí)際問題的需要而定，一般取0.1，0.05，0.01等。,以例1為例：首先建立假設(shè) ：,H0：=0=4.55，H1：4.55。,其次，從總體中作一隨機(jī)抽樣得到一樣本觀察值(x1，x2，xn)。,注意到 是的無偏估計(jì)量。因此，若H0正確，則,與0的偏差一般不應(yīng)太大，即,不應(yīng)太大，若過分大，我們有理由懷疑H0的正確性而拒 絕H0。由于,因此，考察,的大小等價(jià)于考察,的大小，哪么如何判斷,是否偏大呢？,具體設(shè)想是，對給定的小正數(shù)，由于事件,是概率為的小概率事件，即,因此，當(dāng)用樣本值代入統(tǒng)計(jì)量,具體計(jì)算得到其觀察值,統(tǒng)計(jì)量 稱為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。,當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取某個(gè)區(qū)域C中的值時(shí)，就拒絕H0，則稱C為H0的拒絕域，拒絕域的邊界點(diǎn)稱為臨界值。如例1中拒絕域?yàn)?，臨界值為 和,若,即說明在一次抽樣中，小概率事件居然發(fā)生了。,因此依據(jù)小概率原理，有理由拒絕H0，接受H1；,，則沒有理由拒絕H0，只能接受H0。,若,將上述檢驗(yàn)思想歸納起來，可得參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟：,(1)根據(jù)所討論的實(shí)際問題建立原假設(shè)H0及備擇假設(shè)H1；,(2)選擇合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z，并明確其分布；,(3)對預(yù)先給定的小概率0，由P|Z|z/2= 確定 臨界值z/2 ；,(4)由樣本值具體計(jì)算統(tǒng)計(jì)量Z的觀察值z，并作出判斷，若|z|z/2 ，則拒絕H0，接受H1；若|z| z/2 ，則接受H0。,現(xiàn)在，我們來解決例1提出的問題：,(1)假設(shè)H0：= 0=4.55，H1：4.55；,(2)選擇檢驗(yàn)用統(tǒng)計(jì)量,(3)對于給定小正數(shù)，如=0.05，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分表得到臨界值z/2 =z0.025 =1.96；,因?yàn)閨 z|=3.91.96，所以拒絕H0，接受H1，即認(rèn)為新工藝改變了鐵水的平均含碳量。,(4)具體計(jì)算：這里n=5，,故Z的觀察值,三、假設(shè)檢驗(yàn)中兩類錯(cuò)誤,第類錯(cuò)誤，當(dāng)原假設(shè)H0為真時(shí)，卻作出拒絕 H0的判斷，通常稱之為棄真錯(cuò)誤，由于樣本的隨機(jī) 性，犯這類錯(cuò)誤的可能性是不可避免的。若將犯這 一類錯(cuò)誤的概率記為 ，則有P拒絕H0|H0為真=。,第類錯(cuò)誤，當(dāng)原假設(shè)H0不成立時(shí)，卻作出接 受H0的決定，這類錯(cuò)誤稱之為取偽錯(cuò)誤，這類錯(cuò)誤 同樣是不可避免的。若將犯這類錯(cuò)誤的概率記為 ， 則有P接受H0|H0為假= 。,自然，我們希望一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)所作的判斷犯這兩 類錯(cuò)誤的概率都很小。事實(shí)上，在樣本容量n固定的 情況下，這一點(diǎn)是辦不到的。因?yàn)楫?dāng)減小時(shí)，就 增大；反之，當(dāng)減小時(shí)，就增大。,那么，如何處理這一問題呢？ 事實(shí)上，在處理實(shí)際問題中，一般地，對原假 設(shè)H0，我們都是經(jīng)過充分考慮的情況下建立的，或 者認(rèn)為犯棄真錯(cuò)誤會造成嚴(yán)重的后果。,例如，原假設(shè)是前人工作的結(jié)晶，具有穩(wěn)定性，從經(jīng)驗(yàn)看，沒有條件發(fā)生變化，是不會輕易被否定的，如果因犯第類錯(cuò)誤而被否定，往往會造成很大的損失。 因此，在H0與H1之間，我們主觀上往往傾向于保護(hù)H0，即H0確實(shí)成立時(shí)，作出拒絕H0的概率應(yīng)是一個(gè)很小的正數(shù)，也就是將犯棄真錯(cuò)誤的概率限制在事先給定的范圍內(nèi)，這類假設(shè)檢驗(yàn)通常稱為顯著性假設(shè)檢驗(yàn)，小正數(shù)稱為檢驗(yàn)水平或稱顯著性水平。,8.2 正態(tài)總體下未知參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn),一、單個(gè)正態(tài)總體情形,1均值的檢驗(yàn),原假設(shè)H0： = 0，備擇假設(shè)H1： 0。,(a)2已知,由上節(jié)的討論可知，在H0成立的條件下，選用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,對給定的檢驗(yàn)水平，查正態(tài)分布表得臨界值z/2，再由樣本值具體計(jì)算統(tǒng)計(jì)量Z的觀察值z并與z/2比較 ，若|z|z/2 ，則拒絕H0，接受H1；若|z| z/2 ，則接受H0。這種檢驗(yàn)法常稱為Z檢驗(yàn)法。,一、單個(gè)正態(tài)總體情形,例1 設(shè)某車床生產(chǎn)的鈕扣的直徑X服從正態(tài)分布，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)車床工作正常時(shí)，生產(chǎn)的鈕扣的平均直徑0=26mm，方差2 =2.62。某天開機(jī)一段時(shí)間后，為檢驗(yàn)車床工作是否正常，隨機(jī)地從剛生產(chǎn)的鈕扣中抽檢了100粒，測得均值為26.56。假定方差沒有什么變化。試分別在1=0.05，2=0.01下，檢驗(yàn)該車床工作是否正常？,由1=0.05及2=0.01，查正態(tài)分布表，得臨界值 z1/2 = z0.025=1.96，z2/2 = z0.005=2.58。而,解：原假設(shè)H0： = 0，備擇假設(shè)H1： 0。,因此，| z |=2.151.96，但| z |=2.152.58，故在檢驗(yàn)水平1=0.05下，應(yīng)當(dāng)拒絕H0，接受H1，即認(rèn)為該天車床工作不正常；而在檢驗(yàn)水平2=0.01下，應(yīng)當(dāng)接受H0，即認(rèn)為該天車床工作是正常的。,上例說明： 1）對于同一個(gè)問題，同一個(gè)樣本，由于檢驗(yàn)水平不一樣，可能得出完全相反的結(jié)論。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，如何合理地選擇檢驗(yàn)水平是非常重要的。,(b) 2未知,由于2未知，因此，不能用Z作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，但注意到樣本方差,是2的無偏估計(jì)量，因此，我們自然會想到用s2代替2，而在第六章的定理3也已經(jīng)證明，在H0成立的條件下，統(tǒng)計(jì)量,于是，對給定的顯著性水平0，查t分布表可得臨界值t/2，使P|t| t/2=成立。再由樣本值具體計(jì)算統(tǒng)計(jì)量T的觀察值t，并與t/2比較，若| t |t/2，則拒絕H0，接受H1；若| t |t/2，則接受H0。這種檢驗(yàn)法也稱為t 檢驗(yàn)法。,例2 某廠利用某種鋼生產(chǎn)鋼筋，根據(jù)長期資料的分析，知道這種鋼筋強(qiáng)度X服從正態(tài)分布，今隨機(jī)抽取六根鋼筋進(jìn)行強(qiáng)度試驗(yàn)，測得強(qiáng)度X(單位：kg/mm2)為 48.5，49.0，53.5，56.0，52.5，49.5。 試問：能否據(jù)此認(rèn)為這種鋼筋的平均強(qiáng)度為52.0 kg/mm2(=0.05)?,解 設(shè)XN(，2)，,依題意建立假設(shè)H0： = 0，H1： 0。,這里2未知，故在H0成立的條件下應(yīng)選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,由已知 =0.05，查t分布表得臨界值 t/2 =t0.025(61)=2.571。,又由樣本值算得,因?yàn)?，| t |0.412.571，故接受H0，即可以認(rèn)為這種鋼筋的平均強(qiáng)度為52.0 kg/mm2。,2方差的檢驗(yàn),設(shè)總體XN(，2)，均未知，(X1，X2，Xn)來自總體X的樣本，要求進(jìn)行的檢驗(yàn)(設(shè)顯著性水平為0)為,原假設(shè)H0： = ，備擇假設(shè)H1： 。,是 的無偏估計(jì)量，因此由第六章的定理3知當(dāng)H0為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量,因此對給定檢驗(yàn)水平 0，由2分布表求得臨界值 (n1)及 (n1)使,再由樣本值(x1, x2, , xn)具體計(jì)算統(tǒng)計(jì)量2的觀察值,判斷：,這種檢驗(yàn)法稱為2檢驗(yàn)法。,例4 某種電子元件的壽命(單位：h) XN (，2)，其中，2未知。現(xiàn)檢測了16只電子元件，其壽命如下： 159，280，101，212，224，279，179，264， 222，362，168，250，149，260，485，170。 試問元件壽命的方差2是否等于1002(=0.05)？,解 依題意，假設(shè)H0：2=1002，H1：21002，選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,因此對給定檢驗(yàn)水平 =0.05，由2分布表求得臨界值,又據(jù)樣本值算得：,因?yàn)?.26212.8127.488，所以，應(yīng)接受H0，即可以認(rèn)為電子元件壽命的方差2與1002無顯著差異。,例5 某廠生產(chǎn)的某種型號的電池，其壽命長期以來服從方差2=5000（小時(shí)2）的正態(tài)分布，現(xiàn)有一批這種電池，從它的生產(chǎn)情況來看，壽命的波動性有所改變，現(xiàn)隨機(jī)抽取26只電池，測出其壽命的樣本方差s2=9200 （小時(shí)2）。問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命波動性較以往有顯著改變（取=0.02)?,所以拒絕H0，由此可以推斷這批電池的壽命波動性較以往有顯著改變。,在實(shí)際應(yīng)用中，常常遇到兩正態(tài)總體參數(shù)的比較問題，如兩個(gè)車間生產(chǎn)的燈泡壽命是否相同；兩批電子元件的電阻是否有差別；兩臺機(jī)床加工零件的精度是否有差異等等。一般都可歸納為兩正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。,因此，對給定顯著性水平0，可查t分布表求得臨界值t/2(n1+n22)。再由樣本值具體計(jì)算統(tǒng)計(jì)量T的觀察值t，并與t/2(n1+n22)比較，若|t| t/2(n1+n22) ，則拒絕H0，接受H1；若|t| t/2(n1+n22) ，則接受H0。,例5 從甲、乙兩煤礦各抽樣數(shù)次，測得其含灰率(%)如下： 甲礦：24.3，20.8，23.7，21.3，17.4； 乙礦：18.2，16.9，20.2，16.7 假設(shè)各煤礦含灰率都服從正態(tài)分布且方差相等。試問甲、乙兩煤礦含灰率有無顯著差異(=0.05)？,解 依題意，假設(shè)H0：1=2，H1：12。,對給定的檢驗(yàn)水平 =0.05，查t分布表得臨界值,又由樣本觀察值算得 ：,由于2.2452.365，故接受H0，即可以認(rèn)為兩煤礦的含灰率無顯著差異。 注意到2.245與臨界值2.365比較接近，為慎重起見，最好再抽樣一次，并適當(dāng)增加樣本容量，重新進(jìn)行一次計(jì)算再作決定。,例6 下面分別給出兩個(gè)文學(xué)家馬克吐溫(Mark Twain)的8篇小品文以及斯諾特格拉斯(Snodgrass)的10篇小品文中由3個(gè)字母組成的詞的比例： 馬克吐溫： 0.225，0.262，0.217，0.240，0.230，0.229，0.235，0.217 斯諾特格拉斯：0.209，0.205，0.196，0.210，0.202，0.207，0.224，0.223，0.220，0.201 設(shè)兩組數(shù)據(jù)分別來自正態(tài)總體,且兩總體方差相等,兩樣本相互獨(dú)立.問兩個(gè)作家所寫的小品文中包含3個(gè)字母組成的詞的比例是否有顯著的差異(取 =0.05)?,對給定的檢驗(yàn)水平 =0.05，查t分布表得臨界值,拒絕H0 ，即認(rèn)為兩個(gè)作家所寫的小品文中包含由3個(gè)字母組成的詞的比例有顯著的差異。,2、兩總體方差比 的檢驗(yàn),作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。,因此，當(dāng)H0成立時(shí)，即 ，我們可取,對給定的正數(shù)0，由,可得臨界值 ：,再由樣本值具體計(jì)算統(tǒng)計(jì)量F的觀察值 f 之值，并與臨界值相比較：,則拒絕H0，接受H1；,則接受H0。這種檢驗(yàn)法稱為F 檢驗(yàn)法。,例5 兩家工商銀行分別對21個(gè)儲戶和16個(gè)儲戶的年存款余額進(jìn)行抽樣調(diào)查，測得其平均年存款余額分別為2600元和2700元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差相應(yīng)為s1=81元和s2=105元。假設(shè)年存款余額服從正態(tài)分布，試比較兩家銀行的平均年存款余額有無顯著差異(=0.10)？,解 依題意，需要檢驗(yàn)1與 2是否相等，但方差未知，而使用t檢驗(yàn)，必須在方差相等的條件下進(jìn)行。因此，首先應(yīng)檢驗(yàn) 12，22 ，是否相等：,(1)檢驗(yàn)假設(shè)H0： ，H1： 。,由于=0.10 ，查F分布表可得臨界值,計(jì)算統(tǒng)計(jì)量F的觀察值：,因?yàn)?0.450.59512.33，故應(yīng)接受H0，即可以認(rèn)為它們的方差是相等的。,(2)檢驗(yàn)假設(shè)： 1= 2，： 1 2。,由(1)知，因此可用 t 檢驗(yàn)。,由于=0.10 ，查 t 分布表可得臨界值,計(jì)算統(tǒng)計(jì)量T的觀察值為 ：,因?yàn)閨 t |=3.2731.67，故應(yīng)拒絕H0，接受H1，也就是說兩家銀行客戶的平均年存款余額有顯著差異。,例5 從某鋅礦的東,西兩支礦脈中,各抽取樣本容量分別為 9與8的樣本進(jìn)行測試,得樣本含鋅平均數(shù)及樣本方差如下: 東支: =0.230. =0.1337. =9； 西支: =0.269, =0.1736, =8。 若東、西兩支礦脈的含鋅量都服從正態(tài)分布，問東、西兩 支礦脈 含鋅量的平均值是否可以看作一樣(=0.05)?,解：本題是在未知方差，又沒有說明方差是否相等的情況下要求檢驗(yàn)兩總體均值是否相等的問題，首先必須檢驗(yàn)方差是否相等： 12=22,即檢驗(yàn)假設(shè)H0: 12=22。,因0.204f=0.77024.57，故接受H0，可以認(rèn)為12=22。,選取統(tǒng)計(jì)量F= / F(n1-1，n2-1)(H0為真時(shí))。,又因F= / =0.1337/0.1736=0.7702。,而由題設(shè)知F0.975(7，8)=1/4.9=0.204，F(xiàn)0.025(7，8)=4.53，,下面在未知方差但知相等的條件下，檢驗(yàn)假設(shè) H0 ：1=2，H1 ：12.,為此選取統(tǒng)計(jì)量：,H0 的拒絕域?yàn)閨t| t/2(n1+n2-2),由n1=9，n2=8, =0.05, 得 t /2(n1-1，n2-2)=t0.025(15)=2.1315。,因此H0 的拒絕域?yàn)閨t|2.1315。,因t 沒有落入拒絕域，故H0 相容，認(rèn)為東、西兩支礦脈的平均含鋅量可以看作一樣，無顯著差異。樣本均值之間的差異可以認(rèn)為是由隨機(jī)性所導(dǎo)致的，而不是系統(tǒng)偏差。,8.3 單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn),以上介紹的假設(shè)檢驗(yàn)，歸納起來為下面兩種形式： (1)原假設(shè)H0：=0，備擇假設(shè)H1：0，其中0為某一常數(shù)； (2)原假設(shè)H0： 1=2，備擇假設(shè)H1： 12，其中1，2分別為兩相互獨(dú)立的總體X與Y的參數(shù)。,這類假設(shè)的共同特點(diǎn)是，將檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值與臨界值比較，無論是偏大還是偏小，都應(yīng)否定H0，接受H1。因此，通常也稱為雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)。,但在某些實(shí)際問題中，例如，對于設(shè)備、元件的壽命來說，壽命越長越好，而產(chǎn)品的廢品率當(dāng)然越低越好，同時(shí)均方差越小也是我們所希望的。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，除了上述的雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)之外，還有許多其它形式的假設(shè)檢驗(yàn)問題：,(3)原假設(shè)H0：0(或0)， 備擇假設(shè)H1：0(或0)。其中為總體X的未知參數(shù)，0為一常數(shù)；,(4)原假設(shè)H0：12(或12)， 備擇假設(shè)H1：12(或12)。其中1，2為相互獨(dú)立的總體X與Y的未知參數(shù)。 (3)、(4)兩種統(tǒng)計(jì)假設(shè)，常稱之為單側(cè)假設(shè)，相應(yīng)的假設(shè)檢驗(yàn)稱為單側(cè)（左、右）假設(shè)檢驗(yàn)。,例1 某廠生產(chǎn)的電子元件的壽命(單位：h)XN(，2)，其中未知。但據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，電子元件的壽命一直穩(wěn)定在0=200小時(shí)，現(xiàn)該廠對生產(chǎn)工藝作了某些改進(jìn)，為了了解技術(shù)革新的效果，從剛生產(chǎn)的電子元件中任意抽取16只，測得壽命如下： 199，280，191，232，224，279，179，254， 222，192，168，250，189，260，285，170。 試問：工藝改進(jìn)后，在檢驗(yàn)水平=0.05下是否可以認(rèn)為元件的平均壽命有了顯著的提高？,解 顯然，該問題是要判斷新產(chǎn)品的壽命是否服從200小時(shí)的正態(tài)分布？由此，建立假設(shè),原假設(shè)H0：0=200，備擇假設(shè)H1：200。,分兩種情況討論 ：,1)當(dāng)=0時(shí)，由于2未知，取統(tǒng)計(jì)量,因此，對給定的小正數(shù)，由P tt(n-1)得臨界值 t(n-1)。,顯然，,是概率為的小概率事件或t t(n-1)是H0的拒絕域。,2)當(dāng)0時(shí)，應(yīng)當(dāng)考察,但由于未知，故仍取統(tǒng)計(jì)量,作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 。,更是小概率事件。因此如果統(tǒng)計(jì)量T的觀察值,則應(yīng)拒絕H0，接受H1；如果t t(n-1)，則只能接受H0。,綜合上述兩種情況，對于假設(shè)檢驗(yàn)問題H0：0，H1： 0，只要由樣本值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量T的觀察值tt(n-1)，就應(yīng)當(dāng)拒絕H0，接受H1；否則就接受H0。 現(xiàn)在我們來解決例1。,由樣本觀察值具體計(jì)算得:,由=0.05查t分布表得臨界值,所以，應(yīng)拒絕H0，接受H1，即認(rèn)為經(jīng)過工藝改進(jìn)后，元件的平均壽命有了顯著的提高。,其它類似的情況見書P178頁表8-1。,例2 某工廠生產(chǎn)的固體燃料推進(jìn)器的燃料率X服從正態(tài)分布N(，2)， =40cm/s， =2cm/s?，F(xiàn)在用新方法生產(chǎn)了一批推進(jìn)器,從中隨機(jī)地取n=25只,測得燃燒率的樣本均值為 =41.25cm/s.設(shè)在新方法下總體均方差仍為2cm/s,這批推進(jìn)器的燃燒率是否較以往生產(chǎn)的推進(jìn)器的燃燒率有顯著的提高？取顯著性水平=0.05。,H1: 0（即假設(shè)新方法提高了燃燒率）,解 按題意需檢驗(yàn)假設(shè) H0: 0=40（即假設(shè)新方法沒有提高燃燒率）,即z的值落在拒絕域中。所以我們在顯著性水平=0.05下，拒絕H0。即認(rèn)為這批推進(jìn)器的燃料率較以往生產(chǎn)的有顯著地提高。,這是右側(cè)檢驗(yàn)問題，其拒絕域?yàn)?(2)燈泡合格，即燈泡的使用壽命應(yīng)不顯著低于標(biāo)準(zhǔn)值 0=1000小時(shí)，因而屬單邊左側(cè)檢驗(yàn)。故待驗(yàn)假設(shè)應(yīng)為,注：題解中的能否換成H0： 1000， H1： 1000 (單邊右側(cè)檢驗(yàn))呢？答案是否定的。 因?yàn)?，此時(shí)，t =1.81.75。故應(yīng)考慮接受H0： 1000。但此時(shí)，既不能認(rèn)為這批元件是不合格的(有可能 =1000)，也不能認(rèn)為是合格的(有可能 1000)。由此可見，就本題的題設(shè)而言，待檢假設(shè)只能是H0： 1000， H0： 1000 (單邊左側(cè)檢驗(yàn)) 。否則將得不到任何有效的結(jié)論。,例4 某種導(dǎo)線，要求其電阻的標(biāo)準(zhǔn)差不得超過0.005(歐姆)。今在生產(chǎn)一批導(dǎo)線中取樣品9根，測得s=0.007(歐姆)，設(shè)總體為正態(tài)分布。問在水平=0.05下以能否認(rèn)為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差顯著地偏大?,解：假設(shè)：,拒絕H0，即認(rèn)為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差顯著地偏大。,例5 用機(jī)器包裝食鹽，假設(shè)每袋鹽的凈重X(單位：g)服從正態(tài)分布N(，2)，規(guī)定每袋標(biāo)準(zhǔn)重量500 g，標(biāo)準(zhǔn)差不能超過10 g。某天開工后，為檢驗(yàn)其機(jī)器工作是否正常，從裝好的食鹽中隨機(jī)抽取9袋，測得其凈重為： 497，507，510，475，488，524，491，515，484。試問這天包裝機(jī)工作是否正常(=0.05 )？,解 依題設(shè)，需檢驗(yàn)假設(shè),H0： ，H1： 及2 102，： 2 102。,(1)檢驗(yàn)假設(shè)H0： ，H1：,由于2未知，應(yīng)選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,由=0.05，查t分布表得臨界值,由樣本觀察值具體計(jì)算，得,因?yàn)?，故可以認(rèn)為平均每袋鹽的凈重為500g，即機(jī)器包裝沒有產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。,(2)檢驗(yàn)假設(shè) 102， 。,這是方差的單側(cè)檢驗(yàn)問題，選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,由=0.05 ，查2分布表得臨界值,故拒絕 ，接受 ，即認(rèn)為其方差超過102。即包裝機(jī)工作雖然沒有系統(tǒng)誤差，但是不夠穩(wěn)定。因此，在顯著性水平=0.05下，可以認(rèn)定該天包裝機(jī)工作不夠正常。,例6 有兩臺車床生產(chǎn)同一種型號的鋼球，根據(jù)已往的經(jīng)驗(yàn)可以認(rèn)為，這兩臺機(jī)床生產(chǎn)的鋼球的直徑均服從正態(tài)分布?，F(xiàn)從這兩臺車床生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽出8個(gè)和9個(gè)鋼球，測得鋼球的直徑如下(單位：mm)： 甲車床：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8； 乙車床：15.2，15.0，14.8，15.2，15.0，15.0，14.8，15.1，14.9。 試問據(jù)此是否可以認(rèn)為乙車床生產(chǎn)的產(chǎn)品的方差比甲車床小(取=0.05)？,解 提出假設(shè)H0 ： 1222，H1： 1222,選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,由=0.05 ，查F分布表得臨界值,由樣本觀察值具體計(jì)算，得,故應(yīng)拒絕H0，接受H1，即可以認(rèn)為乙車床產(chǎn)品的直徑的方差比甲車床小。,例7 為了了解某種添加劑對預(yù)制板的承載力有無提高作用?，F(xiàn)用原方法(無添加劑)及新方法(添加該種添加劑)各澆制了10塊預(yù)制板，其承載數(shù)據(jù)(單位：kg/cm2)如下： 原方法：78.1，72.4，76.2，74.3，77.4，78.4，76.0，75.5，76.7，77.3； 新方法：79.1，81.0，77.3，79.1，80.0，79.1，79.1，77.3，80.2，82.1。 設(shè)兩種方法所得的預(yù)制板的承載力均服從正態(tài)分布。試問新方法能否提高預(yù)制板的承載力(取=0.05)？,解 用X，Y分別表示兩種方法下預(yù)制板的承載力。依題設(shè) ， ，因不知 ， ，是否相等，故首先應(yīng)檢驗(yàn)假設(shè),由假設(shè)知應(yīng)選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：,由=0.05 ，查F分布表得臨界值,H0： = ，H1： ,由樣本觀察值具體計(jì)算，得,因?yàn)?0.2481.494.03。故應(yīng)接受H0，即認(rèn)為兩種方法的方差無顯著差異，可以認(rèn)為相等，亦即,其次在 的前提下，檢驗(yàn)假設(shè)： ：1 2， ： 1 2。,由于兩總體方差相等，因此可選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,由=0.05 ，查t分布表得臨界值,由于4