高中數(shù)學(xué)第二章平面向量的數(shù)量積（第2課時）平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角教案.docx

第2課時平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角核心必知1預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P106P107的內(nèi)容，回答下列問題已知兩個向量a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)若i，j是兩個互相垂直且分別與x軸、y軸的正半軸同向的單位向量，則a，b如何用i，j表示？提示：ax1iy1j，bx2iy2j.(2)|a|，|b|分別用坐標(biāo)怎樣表示？提示：|a|；|b|.(3)能用a，b的坐標(biāo)表示ab嗎？提示：ab(x1iy1j)(x2iy2j)x1x2i2(x1y2x2y1)ijy1y2j2x1x2y1y2.2歸納總結(jié)，核心必記(1)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2，即兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和(2)兩個向量垂直的坐標(biāo)表示設(shè)兩個非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y20.(3)三個重要公式向量模的公式：設(shè)a(x1，y1)，則|a|.兩點(diǎn)間的距離公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則| |.向量的夾角公式：設(shè)兩非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a與b的夾角為，則cos .問題思考(1)已知向量a(x，y)，你知道與a共線的單位向量的坐標(biāo)是什么嗎？與a垂直的單位向量的坐標(biāo)又是什么？提示：設(shè)與a共線的單位向量為a0，則a0a，其中正號，負(fù)號分別表示與a同向和反向易知b(y，x)和a(x，y)垂直，與a垂直的單位向量b0的坐標(biāo)為，其中正，負(fù)號表示不同的方向(2)你能用向量法推導(dǎo)兩點(diǎn)間距離公式|AB|嗎？提示：(x2x1，y2y1)，2| |2(x2x1)2(y2y1)2，即| |.|AB|.課前反思(1)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示： ；(2)兩個向量垂直的坐標(biāo)表示： ；(3)向量模的公式： ；(4)向量的夾角公式： .知識點(diǎn)1平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算講一講1(1)設(shè)a(1，2)，b(3,4)，c(3,2)，則(a2b)c()A12 B0 C3 D11(2)已知a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，若(8ab)c30，則x()A6 B5 C4 D3(3)已知a(2，1)，a2b(6,3)，若bc14，|c|5，則向量c的坐標(biāo)為_嘗試解答(1)a(1，2)，b(3,4)，c(3,2)，a2b(5,6)，(a2b)c(5)3623.(2)由題意可得，8ab(6,3)，又(8ab)c30，c(3，x)，183x30，解得x4.(3)因?yàn)?b(a2b)a(6,3)(2，1)(4,4)，所以b(2,2)設(shè)c(x，y)，則由題可知解得或所以c(3,4)或c(4,3)答案：(1)C(2)C(3)(3,4)或(4,3)類題通法數(shù)量積運(yùn)算的途徑及注意點(diǎn)(1)進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算，前提是牢記有關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)解題時通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算；二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開，再依據(jù)已知計(jì)算(2)對于以圖形為背景的向量數(shù)量積運(yùn)算的題目，只需把握圖形的特征，并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解練一練1已知向量a與b同向，b(1,2)，ab10.(1)求向量a的坐標(biāo)；(2)若c(2，1)，求(bc)a.解：(1)因?yàn)閍與b同向，又b(1,2)，所以ab(，2)又ab10，所以12210，解得20.因?yàn)?符合a與b同向的條件，所以a(2,4)(2)因?yàn)閎c122(1)0，所以(bc)a0a0.知識點(diǎn)2向量模的問題思考向量的模與兩點(diǎn)間的距離有什么關(guān)系？名師指津：向量的模即為向量的長度，其大小應(yīng)為平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離，如a(x，y)，則在平面直角坐標(biāo)系中，一定存在點(diǎn)A(x，y)，使得a(x，y)，|a|，即|a|為點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離同樣若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，| |，即平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)間的距離公式由此可知向量的模的運(yùn)算實(shí)質(zhì)即為平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離的運(yùn)算講一講2(1)若向量a(2x1,3x)，b(1x,2x1)，則|ab|的最小值為_(2)若向量a的始點(diǎn)為A(2,4)，終點(diǎn)為B(2,1)，求：向量a的模；與a平行的單位向量的坐標(biāo)；與a垂直的單位向量的坐標(biāo)嘗試解答(1)a(2x1,3x)，b(1x,2x1)，ab(2x1,3x)(1x,2x1)(3x2,43x)，|ab|.當(dāng)x1時，|ab|取最小值為.(2)a(2,1)(2,4)(4，3)，|a|5.與a平行的單位向量是(4，3)，即坐標(biāo)為或.設(shè)與a垂直的單位向量為e(m，n)，則ae4m3n0，.又|e|1，m2n21.解得或e或.答案：(1)類題通法求向量的模的兩種基本策略(1)字母表示下的運(yùn)算：利用|a|2a2，將向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問題(2)坐標(biāo)表示下的運(yùn)算：若a(x，y)，則aaa2|a|2x2y2，于是有|a|.練一練2已知向量a(，1)和b(1，)，若acbc，試求模為的向量c的坐標(biāo)解：法一：設(shè)c(x，y)，則ac(，1)(x，y)xy，bc(1，)(x，y)xy，由acbc及|c|，得解得或所以c或c.法二：由于ab1(1)0，且|a|b|2，從而以a，b為鄰邊的平行四邊形是正方形，且由于acbc，所以c與a，b的夾角相等，從而c與正方形的對角線共線此外，由于|c|，即其長度為正方形對角線長度(|b|2)的一半，故c(ab)或c(ab).知識點(diǎn)3向量的夾角與垂直問題思考當(dāng)a與b是非坐標(biāo)形式時，如何求a與b的夾角？如果a與b是坐標(biāo)形式時，又如何求a與b的夾角？名師指津：(1)當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時，求a與b的夾角，需求出ab，|a|和|b|或直接得出它們之間的關(guān)系(2)若a，b是坐標(biāo)形式，則可直接利用公式cos 求解講一講3已知平面向量a(3,4)，b(9，x)，c(4，y)，且ab，ac.(1)求b與c；(2)若m2ab，nac，求向量m，n的夾角的大小嘗試解答(1)ab，3x49，x12.ac，344y0，y3，b(9,12)，c(4，3)(2)m2ab(6,8)(9,12)(3，4)，nac(3,4)(4，3)(7,1)設(shè)m、n的夾角為，則cos .0，即m、n的夾角為.類題通法解決向量夾角問題的方法及注意事項(xiàng)(1)先利用平面向量的坐標(biāo)表示求出這兩個向量的數(shù)量積ab以及|a|b|，再由cos 求出cos ，也可由坐標(biāo)表示cos 直接求出cos .由三角函數(shù)值cos 求角時，應(yīng)注意角的取值范圍是0.(2)由于0，所以利用cos 來判斷角時，要注意cos 0也有兩種情況：一是為銳角，二是0.練一練3已知a(1,2)，b(1，)，求滿足下列條件的實(shí)數(shù)的取值范圍(1)a與b的夾角為90.(2)a與b的夾角為銳角解：(1)設(shè)a與b的夾角為.|a|，|b|，ab(1,2)(1，)12.因?yàn)閍b，所以ab0，所以120，所以.(2)因?yàn)閍與b的夾角為銳角，所以cos 0，且cos 1，所以ab0且a與b不同向因此120，所以.又a與b共線且同向時，2.所以a與b的夾角為銳角時，的取值范圍為(2，)課堂歸納感悟提升1本節(jié)課的重點(diǎn)是向量的坐標(biāo)表示以及用向量的坐標(biāo)解決模、夾角、垂直等問題2要掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用(1)求平面向量的數(shù)量積，見講1；(2)解決向量模的問題，見講2；(3)解決向量的夾角與垂直問題，見講3.3本節(jié)課的易錯點(diǎn)解決兩向量的夾角問題時，易忽視夾角為0或的特殊情況，如練3.課下能力提升(二十)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組1平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算1已知向量a(1，k)，b(2,2)，且ab與a共線，則ab的值為()A1 B2 C3 D4解析：選Dab(3，k2)，由ab與a共線，可得3k(k2)0，解得k1，則a(1,1)，從而ab12124.2已知向量a(0，2)，b(1，)，則向量a在b方向上的投影為()A. B3 C D3解析：選D向量a在b方向上的投影為3.選D.3已知向量a(，1)，b是不平行于x軸的單位向量，且ab，則b()A. B. C. D(1,0)解析：選B法一：設(shè)b(x，y)，其中y0，則abxy.由，解得即b.故選B.法二：利用排除法D中，y0，D不符合題意；C中，向量不是單位向量，C不符合題意；A中，向量使得ab2，A不符合題意故選B.題組2向量模的問題4已知平面向量a(2,4)，b(1,2)，若ca(ab)b，則|c|等于()A4 B2C8 D8解析：選D易得ab2(1)426，所以c(2,4)6(1,2)(8，8)，所以|c|8.5已知向量m(1,1)，向量n與向量m的夾角為，且mn1，則|n|()A1 B1 C2 D2解析：選Bcos ，|n|1.故選B.6已知a(2,1)與b(1,2)，要使|atb|最小，則實(shí)數(shù)t的值為_解析：atb(2t,12t)，|atb|.當(dāng)t時，|atb|有最小值.答案：題組3向量的夾角與垂直問題7設(shè)向量a(1,0)，b，則下列結(jié)論中正確的是()A|a|b| BabCab與b垂直 Dab解析：選C由題意知|a|1，|b|，ab10，(ab)bab|b|20，故ab與b垂直8已知向量a(1,2)，b(2，3)，若向量c滿足(ca)b，c(ab)，則c等于()A. B.C. D.解析：選D設(shè)c(m，n)，則ac(1m,2n)，ab(3，1)，由(ca)b，得3(1m)2(2n)，又c(ab)，得3mn0，故m，n.9已知三個點(diǎn)A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，(1)求證：ABAD；(2)要使四邊形ABCD為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)以及矩形ABCD的兩對角線所成的銳角的余弦值解：(1)證明：A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，(1,1)，(3,3)又1(3)130，即ABAD.(2)，四邊形ABCD為矩形，.設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則(x1，y4)，解得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,5)由于(2,4)，(4,2)，88160，|2，|2.設(shè)與的夾角為，則cos 0，矩形ABCD的兩條對角線所成的銳角的余弦值為.10已知a，b，c是同一平面內(nèi)的三個向量，其中a(1,2)(1)若|c|2，且ca，求c的坐標(biāo)；(2)若|b|，且a2b與2ab垂直，求a與b的夾角.解：(1)設(shè)c(x，y)，|c|2，2，x2y220.由ca和|c|2，可得解得或故c(2,4)或c(2，4)(2)(a2b)(2ab)，(a2b)(2ab)0，即2a23ab2b20，253ab20，整理得ab，cos 1.又0，.能力提升綜合練1已知向量(1,2)，(3，m)，若，則m的值是()A. B C4 D4解析：選C(1,2)，(3，m)，(4，m2)，又，142(m2)82m0，解得m4.2已知向量(2,2)，(4,1)，在x軸上有一點(diǎn)P，使有最小值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A(3,0) B(2,0) C(3,0) D(4,0)解析：選C設(shè)P(x,0)，則(x2，2)，(x4，1)，(x2)(x4)2x26x10(x3)21，故當(dāng)x3時，最小，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,0)3a，b為平面向量，已知a(4,3)，2ab(3,18)，則a，b夾角的余弦值等于()A. B C. D解析：選C設(shè)b(x，y)，則2ab(8x,6y)(3,18)，所以解得故b(5,12)，所以cos .4已知向量a(1,0)，b(cos ，sin )，則|ab|的取值范圍是()A0， B1， C1,2 D，2解析：選D|ab|.，cos 0,1|ab|，25.如圖，已知點(diǎn)A(1,1)和單位圓上半部分上的動點(diǎn)B，若，則向量的坐標(biāo)為_解析：依題意設(shè)B(cos ，sin )，0，則(cos ，sin )，(1,1)因?yàn)椋?，即cos sin 0，解得，所以.答案：6已知a(，2)，b(3，2)，若a與b的夾角為銳