數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》課件(新人教A版-選修2-2).ppt

新課標人教版課件系列,高中數(shù)學 選修2-2,1.1. 變化率與導數(shù),教學目標,了解導數(shù)概念的實際背景，體會導數(shù)的思想及其內(nèi)涵;了解函數(shù)的平均變化率; 教學重點： 函數(shù)的平均變化率;導數(shù)概念的實際背景，導數(shù)的思想及其內(nèi)涵;,一、變化率問題,研究某個變量相對于另一個變量變化,導數(shù)研究的問題,的快慢程度,變化率問題,微積分主要與四類問題的處理相關(guān):,一、已知物體運動的路程作為時間的函數(shù),求物體在任意時刻的速度與加速度等; 二、求曲線的切線; 三、求已知函數(shù)的最大值與最小值; 四、求長度、面積、體積和重心等。 導數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（?。┲档葐栴}最一般、最有效的工具。,變化率問題,問題1 氣球膨脹率 我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?,氣球的體積V(單位:L)與半徑r (單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是,如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么,我們來分 析一下:,當V從0增加到1時,氣球半徑增加了 氣球的平均膨脹率為,當V從1增加到2時,氣球半徑增加了 氣球的平均膨脹率為,顯然0.620.16,思考?,當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?,問題2 高臺跳水,在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t（單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用運動員在某些時 間段內(nèi)的平均速度粗略 地描述其運動狀態(tài)?,請計算,請計算,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,平均變化率定義:,若設x=x2-x1, f=f(x2)-f(x1) 則平均變化率為,這里x看作是對于x1的一個“增量”可用x1+x代替x2 同樣f=y=f(x2)-f(x1),上述問題中的變化率可用式子 表示,稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率,思考?,觀察函數(shù)f(x)的圖象 平均變化率 表示什么?,O,A,B,x,y,Y=f(x),x1,x2,f(x1),f(x2),x2-x1=x,f(x2)-f(x1)=y,直線AB的斜率,做兩個題吧!,1 、已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點A(-1,-2)及臨近一點B(-1+x,-2+y),則y/x=( ) A 3 B 3x-(x)2 C 3-(x)2 D 3-x,D,2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+x,練習：,2.物體按照s(t)=3t2+t+4的規(guī)律作直線運動,求在4s附近的平均變化率.,A,小結(jié)：,1.函數(shù)的平均變化率,2.求函數(shù)的平均變化率的步驟: (1)求函數(shù)的增量f=y=f(x2)-f(x1); (2)計算平均變化率,練習：,過曲線y=f(x)=x3上兩點P（1，1）和Q (1+x,1+y)作曲線的割線，求出當x=0.1時割線的斜率.,二、導數(shù)的概念,問題2 高臺跳水,在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t（單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用運動員在某些時 間段內(nèi)的平均速度粗略 地描述其運動狀態(tài)?,瞬時速度.,在高臺跳水運動中,平均速度不能準確反映他在這段時間里運動狀態(tài).,又如何求 瞬時速度呢?,我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.,如何求（比如， t=2時的）瞬時速度？ 通過列表看出平均速度的變化趨勢 ：,當t趨近于0時,平均速度有什么變化趨勢?,瞬時速度,我們用 表示 “當t=2, t趨近于0時,平均速度趨于確定值-13.1”.,那么,運動員在某一時刻t0的瞬時速度?,局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過,取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。,導數(shù)的定義:,從函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是:,問題:,求函數(shù)y=3x2在x=1處的導數(shù). 分析：先求f=y=f(x)-f() =6x+(x)2 再求 再求,應用：,例1 物體作自由落體運動,運動方程為： 其中位 移單位是m,時間單位是s,g=10m/s2.求： (1) 物體在時間區(qū)間2,2.1上的平均速度； (2) 物體在時間區(qū)間2,2.01上的平均速度； (3) 物體在t=2(s)時的瞬時速度.,分析:,解:,(1)將 t=0.1代入上式，得:,(2)將 t=0.01代入上式，得:,應用：,例2 將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果第 x(h)時，原油的溫度（單位：0C）為 f(x)=x2-7x+15(0x8).計算第2（h) 和第6（h）時，原由溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義。,關(guān)鍵是求出：,它說明在第2（h)附近，原油溫度大約以3 0C/h的速度下降；在第6（h)附近，原油溫度大約以5 0C/H的速度上升。,應用：,例3質(zhì)量為kg的物體，按照s(t)=3t2+t+4的規(guī)律做直線運動， （）求運動開始后s時物體的瞬時速度； （）求運動開始后s時物體的動能。,小結(jié)：,1求物體運動的瞬時速度： （1）求位移增量s=s(t+t)-s(t) (2)求平均速度 （3）求極限,1由導數(shù)的定義可得求導數(shù)的一般步驟： （1）求函數(shù)的增量y=f(x0+t)-f(x0) (2)求平均變化率 （3）求極限,練習：,(1)求函數(shù)y= 在x=1處的導數(shù). (2)求函數(shù)y= 的導數(shù).,三、導數(shù)的幾何意義,平均變化率,函數(shù)y=f(x)的定義域為D,x1.x2D,f(x)從x1到x2平均變化率為:,割線的斜率,以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，,從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。,我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.,從函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是:,我們稱它為函數(shù)y=f(x),在x=x0處的導數(shù)，記作f (x0)或y|xx0即,由導數(shù)的意義可知,求函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)的基本方法是:,注意:這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負. 自變量的增量x的形式是多樣的,但不論x選擇 哪種形式, y也必須選擇與之相對應的形式.,回顧,應用：,例1 將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果第 x(h)時，原油的溫度（單位：0C）為 f(x)=x2-7x+15(0x8).計算第2（h) 和第6（h）時，原由溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義。,關(guān)鍵是求出：,它說明在第2（h)附近，原油溫度大約以3 0C/h的速度下降；在第6（h)附近，原油溫度大約以5 0C/H的速度上升。,P,Q,割線,切線,T,導數(shù)的幾何意義:,我們發(fā)現(xiàn),當點Q沿著曲線無限接近點P即x0時,割線PQ如果有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線.,設切線的傾斜角為,那么當x0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.,即:,這個概念: 提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法; 切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在x=x0處的導數(shù).,要注意,曲線在某點處的切線: 1) 與該點的位置有關(guān); 要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限,則在 此點有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點處無切線; 3) 曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點, 可以有多個,甚至可以無窮多個.,因此,切線方程為y-2=2(x-1), 即y=2x.,求曲線在某點處的切線方程 的基本步驟: 求出P點的坐標; 利用切線斜率的定義求 出切線的斜率; 利用點斜式求切線方程.,練習:如圖已知曲線 ,求: (1)點P處的切線的斜率; (2)點P處的切線方程.,即點P處的切線的斜率等于4.,(2)在點P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,在不致發(fā)生混淆時，導函數(shù)也簡稱導數(shù),函數(shù)導函數(shù),由函數(shù)f(x)在x=x0處求導數(shù)的過程可以看到,當時,f(x0) 是一個確定的數(shù).那么,當x變化時,便是x的一個函數(shù),我們叫它為f(x)的導函數(shù).即:,如何求函數(shù)y=f(x)的導數(shù)?,看一個例子:,下面把前面知識小結(jié):,a.導數(shù)是從眾多實際問題中抽象出來的具有相同的數(shù) 學表達式的一個重要概念，要從它的幾何意義和物 理意義認識這一概念的實質(zhì)，學會用事物在全過 程中的發(fā)展變化規(guī)律來確定它在某一時刻的狀態(tài)。,b.要切實掌握求導數(shù)的三個步驟： （1）求函數(shù)的增 量； （2）求平均變化率； （3）取極限，得導數(shù)。,（3）函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù) 就是導函數(shù) 在x=x0處的函數(shù)值，即 。這也是 求函數(shù)在點x0處的導數(shù)的方法之一。,小結(jié):,（2）函數(shù)的導數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點x而言的, 就是函數(shù)f(x)的導函數(shù) 。,（1）函數(shù)在一點處的導數(shù)，就是在該點的函數(shù)的改 變量與自變量的改變量之比的極限，