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一、主成分分析的基本原理,假定有n個(gè)樣本,每個(gè)樣本共有p個(gè)變量,構(gòu)成一個(gè)np階的數(shù)據(jù)矩陣,(1),降維處理!,當(dāng)p較大時(shí),在p維空間中考察問(wèn)題比較麻煩。 降維是用較少的幾個(gè)綜合指標(biāo)代替原來(lái)較多的變量指標(biāo),而且使這些較少的綜合指標(biāo)既能盡量多地反映原來(lái)較多變量指標(biāo)所反映的信息,同時(shí)它們之間又是彼此獨(dú)立的。,定義:記x1,x2,xP為原變量指標(biāo),z1,z2,zm(mp)為新變量指標(biāo),(2),系數(shù)lij的確定原則: zi與zj( ij;i,j=1,2,m )相互無(wú)關(guān); z1是x1,x2,xP的一切線性組合中方差最大者,z2是與z1不相關(guān)的x1,x2,xP的所有線性組合中方差最大者; zm是與z1,z2,zm1都不相關(guān)的x1,x2,xP, 的所有線性組合中方差最大者。 則新變量指標(biāo)z1,z2,zm分別稱為原變量指標(biāo)x1,x2,xP的第一,第二,第m主成分。,從以上的分析可以看出,主成分分析的實(shí)質(zhì)就是確定原來(lái)變量xj(j=1,2 , p)在諸主成分zi(i=1,2,m)上的載荷 lij( i=1,2,m; j=1,2 ,p)。 從數(shù)學(xué)上可以證明,載荷lij分別是相關(guān)矩陣的m個(gè)較大的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量。,二、計(jì)算步驟,(一)計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣 rij(i,j=1,2,p)為原變量xi與xj的相關(guān)系數(shù), rij=rji,其計(jì)算公式為:,(3),(4),(二)計(jì)算特征值與特征向量: 解特征方程 ,求出特征值,并使其按大小順序排列 ;, 分別求出對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量 ,要求 =1,即 ,其中 表示向量 的第j個(gè)分量。, 計(jì)算主成分貢獻(xiàn)率及累計(jì)貢獻(xiàn)率 貢獻(xiàn)率:,累計(jì)貢獻(xiàn)率:,一般取累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)8595%的特征值 所對(duì)應(yīng)的第一、第二、第m(mp)個(gè)主成分。,(6),各主成分的得分,三、 主成分分析方法應(yīng)用實(shí)例,表1 某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各區(qū)域單元的有關(guān)數(shù)據(jù),步驟如下: (1)將表1中的數(shù)據(jù)作標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化處理,然后將它們代入公式(4)計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣(見(jiàn)表2)。,表2 相關(guān)系數(shù)矩陣,(2)由相關(guān)系數(shù)矩陣計(jì)算特征值,以及各個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率與累計(jì)貢獻(xiàn)率(見(jiàn)表3)。由表3可知,第一,第二,第三主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率已高達(dá)86.596%(大于85%),故只需要求出第一、第二、第三主成分z1,z2,z3即可。,表3 特征值及主成分貢獻(xiàn)率,(3)對(duì)于特征值=4.6610,=2.0890,=1.0430分別求出其特征向量l1,l2,l3。,表4 主成分載荷,第一主成分z1與x1,x5,x6,x7,x9呈顯出較強(qiáng)的正相關(guān),與x3呈顯出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān),而這幾個(gè)變量則綜合反映了生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)狀況,因此可以認(rèn)為第一主成分z1是生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的代表。 第二主成分z2與x2,x4,x5呈顯出較強(qiáng)的正相關(guān),與x1呈顯出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān),其中,除了x1為人口總數(shù)外,x2,x4,x5都反映了人均占有資源量的情況,因此可以認(rèn)為第二主成分z2代表了人均資源量。,分析:,顯然,用三個(gè)主成分z1、z2、z3代替原來(lái)9個(gè)變量(x1,x2,x9),描述農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng),可以使問(wèn)題更進(jìn)一步簡(jiǎn)化、明了。,第三主
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