淺談隱函數(shù)及其應(yīng)用畢業(yè)論文.docx

分類號(hào)：學(xué)校代碼：11460學(xué) 號(hào)：11201910南京曉莊學(xué)院本科生畢業(yè)論文淺談隱函數(shù)及其應(yīng)用on the implicit function and its application所屬院(部)：信息工程學(xué)院 學(xué)生姓名： 王林林指導(dǎo)教師： 馬圣容 研究起止日期：二一四年十一月至二一五年五月 【摘要】本文從隱函數(shù)定理的內(nèi)容、隱函數(shù)的概念、證明方法，以及隱函數(shù)定理的應(yīng)用幾個(gè)方面進(jìn)行了簡(jiǎn)單的介紹。首先從隱函數(shù)定理出發(fā)，介紹并證明隱函數(shù)組定理和反函數(shù)組定理。 通過(guò)這些推論，我們知道了隱函數(shù)定理的在很多方面都有著廣泛的用途。 最后討論了隱函數(shù)定理在計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)、幾何應(yīng)用這幾個(gè)方面的應(yīng)用并做了具體的論述. 【關(guān)鍵詞】 隱函數(shù)定理； 應(yīng)用； 導(dǎo)數(shù)； 證明【abstract】 in this paper, the contents of the implicit function theorem, the concept of implicit function, the proof method, and the application of the implicit function theorem are briefly introduced. from the implicit function theorem, we introduce and prove the implicit function theorem and inverse function group theorem. through these inferences, we know that the implicit function theorem is widely used in many aspects. at last, the application of the implicit function theorem in the calculation of partial derivative and derivative, and its application in geometrical application are discussed.【key words】 implicit function theorem; application; optimization theory; proof不要?jiǎng)h除行尾的分節(jié)符，此行不會(huì)被打印- iii -目 錄摘要iabstractii緒論1第1章 隱函數(shù)21. 1 隱函數(shù)21. 2 隱函數(shù)組的概念21. 3 反函數(shù)組的概念3第2章 隱函數(shù)定理42. 1 隱函數(shù)定理42. 2 隱函數(shù)組定理62. 3 反函數(shù)組定理7第3章 隱函數(shù)定理的應(yīng)用93. 1 計(jì)算導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)93. 1. 1 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)93. 1. 2 隱函數(shù)組的導(dǎo)數(shù)93. 1. 3 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法103. 1. 4 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)103. 2 幾何應(yīng)用113. 2. 1 空間曲線的切線與法平面113. 2. 2 空間曲面的切平面與法線13結(jié)論18參考文獻(xiàn)19致謝20怎么回事？緒 論我們平時(shí)所遇到的大多是顯函數(shù)，但是在實(shí)際問(wèn)題中，有些問(wèn)題顯函數(shù)是無(wú)法解決的。隱函數(shù)的產(chǎn)生為現(xiàn)實(shí)生活中的很多問(wèn)題帶來(lái)了便捷。本論文就隱函數(shù)的定理做了一些研究，并列舉了一些實(shí)例，對(duì)此進(jìn)行了有效的驗(yàn)證。通過(guò)對(duì)隱函數(shù)的幾個(gè)方面的研究，使我對(duì)加深了對(duì)隱函數(shù)的認(rèn)識(shí)。文章主要介紹了隱函數(shù)定理等相關(guān)推論，并給出了隱函數(shù)定理在計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)、幾何應(yīng)用這兩個(gè)方面上的應(yīng)用. 第一章 隱函數(shù)1.1 隱函數(shù)函數(shù)（對(duì)應(yīng)關(guān)系）大多是用自變量的數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)表示的，通常稱這樣的函數(shù)為顯函數(shù). 例如，=. 定義1.1 如果方程f(x,y)=0能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù)例如，能確定一個(gè)定義在（-，-1）（-1，+）上的隱函數(shù)y=f(x),如果從方程中把y解出，這個(gè)函數(shù)也可以用表示為隱函數(shù)形式不是所有的隱函數(shù)都能寫成的形式，如，所以隱函數(shù)不一定是函數(shù)，而是方程. 換句話說(shuō)，方程不一定是函數(shù)，但函數(shù)都是方程。1.2 隱函數(shù)組的概念定義1.2 設(shè)有方程組其中為定義在上的4元函數(shù)，若存在平面區(qū)域d，對(duì)于d中每一點(diǎn)（x,y)，有唯一的,使得，且滿足方程組，則稱由方程組確定了隱函數(shù)組并在d上成立恒等式第二章 隱函數(shù)定理2.1隱函數(shù)定理定理2.1 定理2. 1 若函數(shù)滿足下列條件 (1)f在以內(nèi)點(diǎn)的某一區(qū)域上連續(xù)，(2) (通常成為初始條件）(3) f在內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)(4)則有下列結(jié)論成立：在區(qū)間內(nèi)連續(xù)；存在點(diǎn)的某領(lǐng)域 在 . 上方程 唯一地決定了一個(gè)定義在某區(qū)間 上的（隱）函數(shù) 使得當(dāng) 時(shí)， 且證 先證明隱函數(shù)f的存在性與惟一性. ，是連續(xù)的，我們知道的連續(xù)性與局部保號(hào)性，且閉矩形域有，對(duì)任意的，在上嚴(yán)格單調(diào)增加. ，可得又由于在上是連續(xù)的，存在，使得對(duì)每一個(gè)固定的，在上都是單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù)，零點(diǎn)存在定理，存在惟一的，使得. 因此由與的對(duì)應(yīng)關(guān)系就確定了一個(gè)函數(shù)，其定義域?yàn)?，值域包含于，記為：從而結(jié)論得以證明. 再證明的連續(xù)性.對(duì)于 上的任意點(diǎn) ,則由上述結(jié)論可知 任給 且 足夠小，使得 由及 關(guān)于嚴(yán)格遞增，可得 ，根據(jù)保號(hào)性，知存在的某領(lǐng)域 ，使得當(dāng) 時(shí)同樣有因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏?，使?, 即這就證明了當(dāng) 時(shí), ，即在連續(xù)，由 得任意性，可得 在 上連續(xù)最后證明隱函數(shù)的可微性. 任取和都屬于，它們相對(duì)應(yīng)的隱函數(shù)值為和，那么由多元函數(shù)微分中值定理，可得在這里， . 因此，當(dāng)充分小時(shí). 因?yàn)楹褪沁B續(xù)的，取極限可得且在內(nèi)連續(xù). 相應(yīng)的，我們能夠得出由方程所確定的元隱函數(shù)的存在定理：定理2.2如果f(x)滿足下列幾個(gè)條件(1)；(2)在點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi),函數(shù)連續(xù)；(3) ，那么則有以下結(jié)論成立：在鄰域內(nèi)連續(xù)；在鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，滿足. 例2. 1 驗(yàn)證方程在原點(diǎn)的某鄰域內(nèi)確定唯一的連續(xù)函數(shù). 證明 由于與都在上連續(xù)，當(dāng)然在點(diǎn)的鄰域內(nèi)連續(xù)，且由此可知方程在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)確定唯一連續(xù)的隱函數(shù). 例2.2 2.2隱函數(shù)組定理定理2.3 設(shè)以及它們的一階偏導(dǎo)數(shù)在以點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)的某區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且滿足(1)(2)則在的某鄰域內(nèi)唯一確定兩個(gè)隱函數(shù)，結(jié)論如下：，則有在鄰域內(nèi)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且例2. 2 驗(yàn)證方程組在點(diǎn)的鄰域內(nèi)確定隱函數(shù)組，并求，. 解 令 ，則：與以及它們的一階偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)且，所以由隱函數(shù)組定理可知題設(shè)方程組確定隱函數(shù)組在方程兩端同時(shí)對(duì)求導(dǎo)得解得，2.3反函數(shù)組定理定理2. 4若函數(shù)組滿足如下條件：(1)均具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)(2)則函數(shù)組可確定唯一的具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)組且有，及 或定理2. 5 若函數(shù)組滿足如下條件：(1)均具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)(2)則此函數(shù)組可確定唯一的具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)組且有 例：設(shè)平面上點(diǎn)p的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的坐標(biāo)變換公式為 求反函數(shù)組 解：由于 反函數(shù)組是， 第三章 隱函數(shù)定理的應(yīng)用3.1計(jì)算導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)3.1.1隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例 求由方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解 將方程兩端對(duì)求導(dǎo)數(shù)，由于方程中的是的函數(shù)，從而是的復(fù)合函數(shù)。于是得 3.1.2對(duì)數(shù)求導(dǎo)法例3. 3 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 解：等號(hào)兩端絕對(duì)值的對(duì)數(shù)，有 由隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，有 即3.1.3由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程確定了是的函數(shù)，則稱這個(gè)函數(shù)為有參數(shù)方程所確定的函數(shù)，其中為參數(shù)參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)函數(shù)的單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)為，而且能與函數(shù)復(fù)合成復(fù)合函數(shù)，由此所確定的函數(shù)可以當(dāng)做是與復(fù)合而成的函數(shù)，如果，都是可導(dǎo)函數(shù)，且，則：；即若都二階可導(dǎo)，則有：例3.4已知拋物體的運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為求拋物體在此時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向. 解 水平方向：因?yàn)樗俣鹊乃椒至繛?，垂直分量為，所以拋物體運(yùn)動(dòng)速度為速度方向：軌道的切線方向，設(shè)是切線的傾角，則所以拋物體剛射出（即）時(shí)當(dāng)時(shí)由此證明，此時(shí)運(yùn)動(dòng)方向是水平的，拋物體已經(jīng)達(dá)到最高點(diǎn). 3.2幾何應(yīng)用3.2.1空間曲線的切線與法平面1. 設(shè)空間曲線c的參數(shù)方程是（區(qū)間）（1）切線方程是 （2）切線法平面的方程是 或 例1. 求螺旋線處的切線方程與法線方程.解： 切線方程是 即 法線方程是 （2） 設(shè)空間曲線的方程為 . 當(dāng) 空間曲線點(diǎn)附近可表示成參量方程如下： ，且 在處的法平面方程切線方程為 例2求球面與錐面所截出的曲線在點(diǎn)(3,4,5)處的切線與法平面方程。 解：設(shè)在點(diǎn)(3,4,5)處的雅可比行列式和偏導(dǎo)數(shù)的值為： ，且切線方程： 法平面方程：3.2.2曲面的切平面與法線1. 設(shè)曲面為s，s上的任意點(diǎn)的切平面方程是 即切平面的法向量是n.于是，法線方程是 例3. 求曲面上在點(diǎn)的切平面方程與法線方程.解： 于是，曲面在點(diǎn)的切平面方程與法線方程分別是 與 或 例4求橢圓面在(1,1,1)處的切平面方程與法線方程。解：設(shè) 因?yàn)樵谡麄€(gè)空間上處于連續(xù)狀態(tài).在處.切平面方程為 得，法線方程為 結(jié) 論文章主要從隱函數(shù)的概念、隱函數(shù)定理、隱函數(shù)在計(jì)算導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)以及幾何方面的應(yīng)用入手，其中著重介紹了隱函數(shù)的在計(jì)算導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)，幾何方面兩大板塊。在撰寫論文的時(shí)候，也遇到了很多難點(diǎn)，例如如何能夠?qū)⒗碚撝R(shí)具體、深刻、形象的運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中。本文介紹并證明了隱函數(shù)連續(xù)性定理、可微性定理及存在性定理。通過(guò)這些定理，我們得出了反函數(shù)定理。通過(guò)隱函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算變的更加快捷簡(jiǎn)便，本文通過(guò)列舉了一系列的例子對(duì)此進(jìn)行了有效的驗(yàn)證。此外隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)在空間幾何等方面也有著一定的用途。例如計(jì)算空間曲線的切線與法平面和空間曲面的切平面與法線參考文獻(xiàn)1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第四版）m.高等教育出版社,2010.2 杜繼宏，隱函數(shù)存在的充分必要條件j. 清華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1999,39 (1),75-78.3 陳傳璋, 金福臨. 數(shù)學(xué)分析m. 上海: 上?？茖W(xué)技術(shù)出版社, 1962:201-204.4 吉米多維奇(蘇)，數(shù)學(xué)分析習(xí)題全解(五) m.安徽人民出版社，2007:152-156.5 張騫，隱函數(shù)求導(dǎo)法在導(dǎo)數(shù)計(jì)算中的作用j.隴東學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，14 (2),14-16.6 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