人教版八年級數(shù)學上冊課外輔導專題 全等三角形的認識(有答案)

全等三角形的認識全等三角形的概念和性質(zhì)知識導航一、 概念全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形對應頂點：完全重合時，互相重合的頂點為對應頂點對應角：完全重合時，互相重合的角為對應角對應邊：完全重合時，互相重合的邊為對應邊如圖，若與全等，記作“”，其中頂點、分別與頂點、對應注意：尋找全等三角形的對應角，對應邊的一般規(guī)律是：把其中一個圖形通過平移、翻折或旋轉(zhuǎn)，能與另一個圖形完全重合，則重合的邊就是對應邊，重合的角就是對應角，表示兩個三角形全等時，要把對應字母寫在對應位置上有公共邊時，則公共邊為對應邊；有公共角時，則公共角為對應角（對頂角為對應角）；最大邊與最大邊（最小邊與最小邊）為對應邊；最大角與最大角（最小角與最小角）為對應角二、全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等；全等三角形的周長相等，面積相等夯實基礎(chǔ)【例1】 如果，則的對應邊是_，的對應邊是_ ，的對應角是_ ，的對應角是_兩個三角形的周長_，兩個三角形的面積_（填“”、“=”、“”、“=”、“”） 如圖，若，則對應結(jié)論； 中 正確結(jié)論共有（ ）A1個 B2個 C3個 D4個如圖所示，若ABE ACF，且AB=5，AE=3，則EC的長為（ ）A2 B3 C4 D2.5【解析】 ，=，=；C；A. 【例10】 如圖，已知，且，求的度數(shù).又【教師備選】如圖，ABC ADE中，BAAE，BAC=30，AD=5，求BD的長【解析】由題意得：BAC=DAE=30，AB=AD，BAE=90，CAD=30，BAD=60，ABD是等邊三角形故可得：BD=AD=51. 全等三角形的判定（一）【引例】已知：如圖，求證：分析：要證，需證，只要證_證明：（ ） 即_ 在和中， _（ ）【解析】 分析：只要證證明：（已知） （等量加等量和相等） 即 在和中， （全等三角形的對應角相等） （同位角相等，兩直線平行） 【點評】 此題非?；A(chǔ)，就是要給學生呈現(xiàn)一個標準的書寫格式，每一步都要有理有據(jù)，老師們一定要給學生強調(diào)到位，突出證明過程的重要性.【例11】 已知：如圖，、四點在同一直線上，AB=DE，BF=EC，AC=DFADFCBE求證：；又知D=30，DEC=15，求CFB的度數(shù)【解析】 AC=DF，即在和中，D=AD=A=30，DEC=ABF=15CFB=A+ABF=452. 全等三角形的判定（二）尺規(guī)作圖：已知，畫一個，使并判斷和是否全等【點評】 學生版方框內(nèi)需要填充.【例12】 如圖，在ABC中，AB=CB，ABC=90，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上，且BE=BD，連結(jié)AE、DE、DC求證：ABE CBD；若CAE=30，求BCD的度數(shù)【解析】 ABC=90，D為AB延長線上一點， ABE=CBD=90 . 在ABE和CBD中, ABE CBD (SAS) AB=CB，ABC=90， CAB=45. 又 CAE=30， BAE =15. ABE CBD， BCD=BAE =15. 3. 全等三角形的判定（三）【例13】 已知，如圖，點D在邊BC上，點E在ABC外部，DE交AC于F，若AD=AB，1=2=3求證：BC=DE 【解析】1=2=3BAC=DAE 又DFC=AFEC=E 在ABC和ADE中ABC ADE (AAS)BC=DE 4. 全等三角形的判定（四）【例14】 已知：如圖，AC平分BAD，CEAB于E，CFAD于F，且BC=DC，求證：BE=DF【解析】AC平分BADFAC=EAC又CEAB于E，CFAD于FF=CEA=90在FAC和EAC中FAC EAC (AAS)CF=CE，在RtBEC和RtDFC中RtBEC RtDFC (HL)BE=DF【探究對象】全等三角形中圖形所涉及的基本構(gòu)圖【探究目的】從構(gòu)圖角度更加熟悉全等三角形的圖形及常規(guī)解法，輔以全國中考題作為例題【探究一】共邊型平移對稱 (翻折) 【變式1】如圖，己知AC=BD，要使ABCDCB，則只需添加一個適當?shù)臈l件是 (填一個即可) 【解析】AC=BD，BC是公共邊，要使ABCDCB，需添加：AB=DC（SSS）或ACB=DBC（SAS）【變式2】如圖，在ABC中，AB=AC，AD平分BAC，求證：DBC=DCB【解析】AD平分BAC，BAD=CAD 又AB=AC，AD=AD，BADCAD（SAS） BD=CD DBC=DCB【備注】等腰三角形基本知識請老師酌情補充【變式3】如圖，點E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，A=D，B=C，求證：AB=DC【解析】點E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，BE+EF=CFR+EF，即BF=CE在ABF和DCE中，A=D，B=C，BF=CE，ABF DCE（AAS） AB=DC【探究二】共角型【變式4】如圖：點D、E分別在線段AB、AC上，BE、CD相交于點O，AE=AD，要使ABE ACD，需添加一個條件是 （只需一個即可，圖中不能再添加其他點或線）【解析】A=A，AE=AD添加：ADC=AEB（ASA），B=C（AAS），AB=AC（SAS），BDO=CEO（ASA）可得ABE ACD 故填：ADC=AEB或B=C或AB=AC或BDO=CEO【變式5】如圖所示，AB=DB，ABD=CBE，要使ABC DBE，請你添加一個適當?shù)臈l件 (只需添加一個即可) 【解析】ABD=CBE，ABD+ABE=CBE+ABE即ABC=DBE 又AB=DB添加：BDE=BAC （ASA），BE=BC （SAS），ACB=DEB （AAS）可得ABC DBE故填：BDE=BAC或BE=BC或ACB=DEB【探究三】平行型【變式6】如圖，ADBC，E是AB的中點，連接DE并延長交CB的延長線于點F，點G在BC邊上，且GDF=ADF求證：ADE BFE【解析】ADBC，ADE=BFEE是AB的中點，AE=BE又AED=BEFADE BFE（AAS）【變式7】如圖，點E、F在AC上，ABCD，ABCD，AECF求證：ABF DCE【解析】 ABCD， AC AECF， AEEFCFEF，即 AFCE又 ABDC， ABF DCE（SAS）【變式8】如圖，點A、B、D、E在同一直線上，AD=EB，BCDF，C=F求證：AC=EF【解析】AD=EBADBD=EBBD，即AB=ED又BCDF，CBD=FDB ABC=EDF又C=F，ABC EDF（AAS）AC=EF【點評】此題AB=ED的證明，也可看成是共邊型【探究四】垂直型【變式9】如圖，在ABC中，C=90，點D是AB邊上的一點，DMAB，且AC=MD，過點M作MEBC交AB于點E求證：ABC MED【解析】MDAB，MDE=C=90MEBC，B=MED又AC=MDABC MED（AAS）【變式10】如圖，已知ABC中，F(xiàn)是高AD和BE的交點，則線段DF的長度為（ ）. A B 4 C D【解析】，AD是ABC的高在等腰RtABD中，AD=BDBDF=ADC=90，則根據(jù)“8字型”FBD=CADBDFADC（ASA）DF=CD=4，故選B【變式11】如圖，在ABC中，ACB=90，AC=BC，CEBE，CE與AB相交于點F，ADCF于點D，且AD平分FAC，請寫出圖中兩對全等三角形，并選擇其中一對加以證明【解析】ADC ADF、ADC CEB、ADF CEB（寫出其中兩對即可）證法一：若選擇ADC ADFAD平分FAC，CAD=FADADCF，ADC=ADF=90ADC ADF（ASA）證法二：若選擇ADC CEBADCE，BECE，ADC=CEB=90ACB=90，ACD+ECB=90又ACD+DAC=90，DAC=ECB又AC=CB，ADC CEB（AAS）【例15】 如圖所示為我國邊境線上某界河，其中A點在境外，我國地質(zhì)勘探人員在不跨越國界的情況下要測量河兩岸相對的兩點A、B間的距離，請你給出解決方案并加以證明【解析】可以在AB的垂線BF上取兩點C、D，使CD=BC再作出BF的垂線DE，使A、C、E在同一條直線上，這時測得的DE的長就是AB的長 證明：在ABC和EDC中ABC EDC（ASA）AB=ED【例16】 如圖所示，是的角平分線，你能找出圖中的全等三角形嗎？如果再加上呢？在的基礎(chǔ)上，連接交于，你能找出圖中的全等三角形嗎？在的基礎(chǔ)上，當時，你能找出圖中的全等三角形嗎？【解析】AEDAFD；AEDAFD，BED CFD，ABDACDABDACD，ADEADF，BDECDF，AEMAFM， DEM DFMABDACD，ADEADFBDECDF， AEMAFM DEM DFM【教師備選】為什么不能判定全等尺規(guī)作圖：已知線段和角，求作，使得，這樣的三角形有幾個？中，另：證明也可訓練4. 如右圖所示，與交于，于，于，那么圖中全等的三角形有哪幾對？并簡單說明理由【解析】 7對：理由略訓練5. 請分別按給出的條件畫（不寫畫法），并說明所作的三角形是否唯一；如果有不唯一的，想一想，為什么？【解析】 只有所作的三角形不唯一訓練6. 我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形不一定全等那么在什么情況下，它們會全等？ 請你畫圖舉例說明兩邊及其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形不全等； 閱讀與證明：對于兩個三角形均為銳角三角形，兩邊及其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形它們?nèi)? 可證明如下：已知：、均為銳角三角形，求證：（先把文字語言轉(zhuǎn)化成符號語言）證明：分別過點，作于，于，則 ，（如果需要添加輔助線，先說明輔助線做法） 在和中，在和中，在和中，對于這兩個三角形均為直角三角形，顯然它們?nèi)葘τ谶@兩個三角形均為鈍角三角形，可證它們?nèi)饶銈儊碓囋嚢?！歸納與敘述：由、可得到一個正確結(jié)論，請你寫出這個結(jié)論【解析】 ；略；若、均為銳角三角形或均為直角三角形或均為鈍角三角形，且，則課后作業(yè)：（小測）題型一 全等三角形的概念和性質(zhì) 鞏固練習【練習6】 判定兩個三角形全等的方法是： ； ； ；全等三角形的性質(zhì)是對應邊、對應角、周長、面積都分別 兩個三角形具備下列（ ）條件，則它們一定全等A兩邊和其中一邊的對角對應相等B三個角對應相等C兩角和一組對應邊相等D兩邊及第三邊上的高對應相等 下列命題錯誤的是（ ） A全等三角形對應邊上的高相等B全等三角形對應邊上的中線相等C全等三角形對應角的角平分線相等D有兩邊和一個角對應相等的兩個三角形全等【解析】 定義，；相等C；D【練習7】 如圖，在中，分別是邊上的點，若 ，則的度數(shù)為_題型二 全等三角形的判定 鞏固練習ACEDB【練習8】 已知：如圖，為上一點，點分別在兩側(cè)，求證：在和中，【練習9】 如圖所示，已知，垂足分別為、，試證明【分析】 法一，根據(jù)題目中給出的條件，可以利用“HL”證明，得到，然后再利用“AAS”證明，即可得出法二，此題在證明了后，根據(jù)全等三角形的面積相等，即，而這兩個三角形又是同底的，可以得出高等于高【解析】 法一：，在和中，（全等三角形的對應邊、對應角