人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)課外輔導(dǎo)專題講義： 13.3 等腰三角形（無(wú)答案）

等腰三角形【考點(diǎn)總匯】一、等腰三角形的判定與性質(zhì)1.判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也 （簡(jiǎn)寫“ ”）。2.性質(zhì) （1）等腰三角形的兩個(gè)底角 （簡(jiǎn)寫為“ ”）。 （2）等腰三角形頂角的 、底邊上的高和底邊上的 互相重合（簡(jiǎn)寫成“三線合一”）。（3）等腰三角形是 圖形，底邊上的中線（或底邊上的高或頂角的平分線）所在的直線是它的對(duì)稱軸。微撥爐：1.等腰三角形的定義既是等腰三角形的一個(gè)性質(zhì)，又是等腰三角形的一種判定方法。2.等腰三角形性質(zhì)是已知兩腰相等得出兩角相等，而等腰三角形的判定則是已知兩角相等得出兩邊相等。二者題設(shè)和結(jié)論正好相反，注意不要混淆。二、等邊三角形的判定與性質(zhì)1.判定（1）三個(gè)角 的三角形是等邊三角形。（2）有一個(gè)角等于60的 三角形是等邊三角形。 2.性質(zhì)（1）等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都 ，并且每一個(gè)角都等于 。（2）等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，并且有 條對(duì)稱軸。微撥爐：1.由于等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以等邊三角形具有等腰三角形的所有性質(zhì)，但等邊三角形具有的性質(zhì)等腰三角形不一定具有。2.等邊三角形的性質(zhì)和判定的題設(shè)和結(jié)論也正好相反，要注意區(qū)別。三、線段的垂直平分線1.性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離 。2.判定：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的 上。微撥爐：1.線段的垂直平分線的性質(zhì)是證明線段相等或垂直的重要方法。2.垂直平分線的性質(zhì)與判定的題設(shè)和結(jié)論也正好相反，注意區(qū)別。高頻考點(diǎn)1、等腰三角形的性質(zhì)與判定【范例】如圖，分別在上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)。（1）求證：。 （2）與垂直嗎？并說(shuō)明理由。得分要領(lǐng)：等腰三角形的“三線合一”，包括以下三個(gè)結(jié)論：如圖，在中，。1.若，則，。2.若，則，。3.若，則，。【考題回放】1.若等腰三角形的頂角為40，則它的底角數(shù)為（ ）A.40 B.50 C.60 D.702.如圖，在中，且為上一點(diǎn)，則的度數(shù)為（ ）A.30 B.36 C.40 D.45第2題 第3題3.如圖，在中，點(diǎn)在上，則的度數(shù)是 。4.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為 。5.如圖，在中，點(diǎn)分別在邊上，與交于點(diǎn)，給出下列三個(gè)條件：；。（1）上述三個(gè)條件中，由哪兩個(gè)條件可以判定是等腰三角形？（用序號(hào)寫出所有在立的情形）（2）請(qǐng)選擇（1）中的一種情形，寫出證明的過(guò)程。高頻考點(diǎn)2、等邊三角形的性質(zhì)與判定【范例】如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)分別在邊上，且，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。（1）求的度數(shù)。 （2）若，求的長(zhǎng)。得分要領(lǐng)：等邊三角形是特殊的等腰三角形，解題時(shí)，要靈活運(yùn)用下列性質(zhì)：（1）三條邊相等。（2）三個(gè)角相等，并且都等于60。（3）是軸對(duì)稱圖形，并且有三條對(duì)稱軸。（4）具有“等邊對(duì)等角”及“三線合一”的性質(zhì)?！究碱}回放】1.如圖，等邊中，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，則的度數(shù)為（ ）A.30 B.60 C.120 D.150 第1題 第2題2.如圖，和均是等邊三角形，分別與交于點(diǎn)，有如下結(jié)論：；。其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）A.3個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè) D.0個(gè) 3.如圖，已知矩形，把矩形沿直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，若是等邊三角形，則 。高頻考點(diǎn)3、線段垂直平分線的性質(zhì)與判定【范例】如圖，在Rt中，分別以點(diǎn)為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)連接，與分別交于點(diǎn)，連接。（1）求。（直接寫出結(jié)果）（2）當(dāng)，時(shí)，求的周長(zhǎng)。得分要領(lǐng)：線段垂直平分線的應(yīng)用特征1.線段垂直平分線中的兩組線段相等：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；被垂直平分的線段，被分為兩條相等的線段。2.當(dāng)出現(xiàn)“垂直平分”字眼或題目中有垂直，且垂足是中點(diǎn)時(shí)，要聯(lián)想到線段垂直平分線的性質(zhì)?！究碱}回放】1.在中，按以下步驟作圖：分別以為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)；作直線交于點(diǎn)，連接。若，則的度數(shù)為 。2.如圖，等腰中，的垂直平分線交于點(diǎn)，則的度數(shù)是 。第2題 第3題3.如圖，Rt中，垂直平分，垂足為，且，則的長(zhǎng)為 ?！惧e(cuò)誤診斷】分析下面解題的錯(cuò)誤并糾正在右邊【例題】等腰三角形一腰長(zhǎng)為5，一邊上的高為3，則 底邊長(zhǎng)為 。解：若3是該等腰三角形底邊上的高，如圖1此時(shí)由勾股定理得：，則底 圖1 若3是該等腰三角形腰上的高，等腰三角形為銳角三角形時(shí)， 如圖2，由勾股定理易得，則在Rt中，由勾股定理得：答案：8或 圖2【規(guī)避策略】1.確定底和腰。當(dāng)已知等腰三角形的兩邊時(shí)，要先確定哪條邊作腰或底邊，分情況進(jìn)行討論。2.注意高的位置。當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀遣淮_定時(shí)，這個(gè)三角形有可能是銳角三角形，也有可能是鈍角三角形，也要進(jìn)行分類討論?！緦?shí)戰(zhàn)演練】1.等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為4和8，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為（ ）A.16 B.18 C.20 D.16或202.已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60，則這個(gè)等腰三角形的頂角是（ ）A.30 B.60 C.150 D.30或1503.如圖，在中，的垂直平分線交于，交于，下述結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）A.平分 B.的周長(zhǎng)等于 C. D.點(diǎn)是線段的中點(diǎn)4.如圖，是等邊三角形，是的平分線上一點(diǎn)，于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（ ）A.2 B. C. D.3 5.如圖，和都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)在同一條直線上，連接，則的長(zhǎng)為（ ）A. B. C. D.6.如圖，是的角平分線，則圖中的等腰三角形有 個(gè)。第6題 第7題7.如圖，中，的平分線相交于點(diǎn)，過(guò)作，若，則等于 。8.如圖，點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)。（1）求證：。（2）判斷的形狀，并說(shuō)明理由。9.如圖，已知為等邊三角形，點(diǎn)分別在邊上，且，與相交于點(diǎn)。（1）求證：。 （2）求的度數(shù)。10.如圖，是等邊三角形，點(diǎn)是上一點(diǎn)，。請(qǐng)判斷的形狀，并說(shuō)明理由?！鞠迺r(shí)小測(cè)】建議用時(shí)30分鐘?？偡?0分一、選擇題（每小題3分，共12分）1.如圖，已知，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，若，則（ ）A.3 B.4 C.5 D.6第1題 第2題2.如圖，在中，cm，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（ ）A.4cm B.3cm C.2cm D.1cm3. 如圖，在中，分別是，的角平分線，則圖中的等腰三角形有（ ）A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè) 第3題 第4題4.如圖所示，在等邊中，高相交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)是（ ）A.15 B.20 C.25 D.30二、填空題（每小題4分，共12分）5.若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為50，則它的頂角為 。6.已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為，且滿足，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為 。7.如圖鋼架中，焊上等長(zhǎng)的13根鋼條來(lái)加固鋼架，若，則的度數(shù)是 。三、解答題（共26分）8.（12分）如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上。（1）求證