概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章隨機(jī)事件的概率第三節(jié)：條件概率.ppt

第三節(jié) 條件概率,條件概率 乘法公式,全概率公式與貝葉斯公式,P(A )=1/6，,例如, 擲一顆均勻骰子, A=擲出2點(diǎn),B=擲出偶數(shù)點(diǎn),P(A|B)=？,已知事件B發(fā)生, 此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B，,P(A|B)= 1/3.,B中共有3個(gè)元素, 它們的出現(xiàn)是等可能的, 其中只有1個(gè)在集合A中.,容易看到,P(A|B),于是,P(A )=3/10，,又如, 10件產(chǎn)品中有7件正品, 3件次品; 7件正品中有3件一等品, 4件二等品. 現(xiàn)從這10件中任取一件，記,B=取到正品,A=取到一等品，,P(A|B),則,在解決許多概率問題時(shí)，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.,一、條件概率(Conditional Probability),1. 條件概率的概念,如在事件B發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，將此概率記作P(A|B).,一般地 P(A|B) P(A),若事件B已發(fā)生, 則為使 A 也發(fā)生, 試驗(yàn)結(jié)果必須是既在 B 中又在A中的樣本點(diǎn), 即此點(diǎn)必屬于AB.,設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(B)0,則稱 (1),2. 條件概率的定義,為在事件B發(fā)生的條件下,事件A的條件概率.,由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生, 故B變成了新的樣本空間,于是 有(1).,3. 條件概率的性質(zhì),2) 從加入條件后改變了的情況去算,4. 條件概率的計(jì)算,1) 用定義計(jì)算:,P(B)0,P(A|B）=,B發(fā)生后的縮減 樣本空間所含樣 本點(diǎn)總數(shù),在縮減樣本空 間中A所含樣 本點(diǎn)個(gè)數(shù),例1 擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點(diǎn), 問 “擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”的概率是多少?,解法2:,解: 設(shè) A=擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10 B=第一顆擲出6點(diǎn),應(yīng)用 定義,在B發(fā)生后的縮減樣本 空間中計(jì)算,由條件概率的定義：,P(AB)=P(B)P(A|B) (2),二、乘法公式(Multiplication Law of Probability),P(AB)=P(A)P(B|A) (3),(2)和(3)式都稱為乘法公式, 利用 它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率,注意P(AB)與P(A | B)的區(qū)別！,例2 甲, 乙兩廠共同生產(chǎn)1000個(gè)零件, 其中 300件是乙廠生產(chǎn)的.,所求為P(AB).,甲、乙共生產(chǎn) 1000 個(gè),189個(gè)是 標(biāo)準(zhǔn)件,300個(gè) 乙廠生產(chǎn),設(shè)B=零件是乙廠生產(chǎn),A=零件是標(biāo)準(zhǔn)件,若改為“發(fā)現(xiàn)它是 乙廠生產(chǎn)的,問它 是標(biāo)準(zhǔn)件的概率 是多少?”,求的是 P(A|B) .,解:,而在這300個(gè)零件中, 有189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件,現(xiàn)從這1000個(gè)零件中任取一個(gè),問這個(gè)零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少？,B發(fā)生, 在P(AB)中作為結(jié)果; 在P(A|B)中作為條件.,例3 設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上的概率為0.8, 活到25年以上的概率為0.4. 問現(xiàn)年20歲的這種動(dòng)物,它能活到25歲以上的概率是多少?,解: 設(shè)A=能活20年以上，B=能活25年以上,依題意， P(A)=0.8, P(B)=0.4,所求為 P(B|A) .,P(A) 與 P(A|B) 的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同, 它們是兩個(gè)不同的概念,在數(shù)值上一般也不同.,乘法公式應(yīng)用舉例,例如，一個(gè)罐子中包含 b 個(gè)白球和 r 個(gè)紅球. 隨機(jī)地抽取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中， 并且再加進(jìn) c 個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球. 這種手續(xù)進(jìn)行四次， 試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率.,（波里亞罐子模型）,于是 W1W2R3R4 表示事件 “連續(xù)取四個(gè)球，第一、第二個(gè)是白球， 第三、四個(gè)是紅球. ”,隨機(jī)取一個(gè)球, 觀看顏色后放回罐中,并且再加進(jìn) c 個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球.,解: 設(shè) Wi=第i次取出是白球, i=1,2,3,4,Rj=第j次取出是紅球， j=1,2,3,4,試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率.,用乘法公式容易求出,當(dāng) c 0 時(shí)，由于每次取出球后會(huì)增加下一次也取到同色球的概率. 這是一個(gè)傳染病模型. 每次發(fā)現(xiàn)一個(gè)傳染病患者，都會(huì)增加再傳染的概率.,=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3),P(W1W2R3R4),隨機(jī)取一個(gè)球, 觀看顏色后放回罐中,并且再加進(jìn) c 個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球.,例，一場(chǎng)精彩的足球賽將要舉行, 5個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場(chǎng)券. 大家都想去,只好用抽簽的方法來解決.,5張同樣的卡片,只有一張上寫有“入場(chǎng)券”,其余的什么也沒寫. 將它們放在一起,洗勻,讓5個(gè)人依次抽取.,后抽比先抽的確實(shí)吃虧嗎？,到底誰說的對(duì)呢？讓我們用概率論的知識(shí)來計(jì)算一下, 每個(gè)人抽到“入場(chǎng)券”的概率到底有多大?,“大家不必爭(zhēng)先恐后，你們一個(gè)一個(gè)按次序來， 誰抽到入場(chǎng)券的機(jī)會(huì)都一樣大.”,解: 我們用 Ai 表示“第i個(gè)人抽到入場(chǎng)券”, i1,2,3,4,5.,顯然，P(A1)=1/5，P( )4/5,第1個(gè)人抽到入場(chǎng)券的概率是1/5.,也就是說，,因?yàn)槿舻?個(gè)人 抽到了入場(chǎng)券， 第1個(gè)人肯定沒抽到.,也就是要想第2個(gè)人抽到入場(chǎng)券, 必須第1個(gè)人未抽到，,由于,由乘法公式,P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5,計(jì)算得：,則 表示“第i個(gè)人未抽到入場(chǎng)券”,同理，第3個(gè)人要抽到“入場(chǎng)券”， 必須第1、第2個(gè)人都沒有抽到. 因此:,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,繼續(xù)做下去就會(huì)發(fā)現(xiàn), 每個(gè)人抽到“入場(chǎng)券” 的概率都是1/5.,抽簽不必爭(zhēng)先恐后.,也就是說，,有三個(gè)箱子, 分別編號(hào)為1,2,3. 1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球, 2號(hào)箱裝有2個(gè)紅球3個(gè)白球, 3號(hào)箱裝有3個(gè)紅球. 某人從三箱中任取一箱, 從中任意摸出一球, 求取得紅球的概率.,解: 記 Bi=球取自i號(hào)箱, i=1,2,3; A =取得紅球,A發(fā)生總是伴隨著B1，B2，B3 之一同時(shí)發(fā)生，,其中 B1、B2、B3兩兩互斥,看一個(gè)例子:,三、全概率公式 (Law of Total Probability),將此例中所用的方法推廣到一般的情形， 就得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式.,對(duì)求和中的每 一項(xiàng)運(yùn)用乘法 公式得,P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A),代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：P(A)=8/15,運(yùn)用加法公式得到:,即 A= B1A+B2A+B3A， 且 B1A、B2A、B3A 兩兩互斥,一個(gè)事件發(fā)生.,1.,B1,B2,Bn,A,2.,某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因, 如果A是由原因Bi (i=1,2,n) 所引起，則A發(fā)生的概率是:,每一原因都可能導(dǎo)致A發(fā)生, 故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和,即全概率公式.,P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi),我們還可以從另一個(gè)角度去理解全概率公式.,由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果, 每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”, 即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān). 全概率公式表達(dá)了它們之間的關(guān)系 .,諸Bi是原因B是結(jié)果,例 甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊, 三人擊中的 概率分別為0.4、0.5、0.7. 飛機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2, 被兩人擊中而擊落的概率為0.6, 若三人都擊中, 飛機(jī)必定被擊落, 求飛機(jī)被擊落的概率.,設(shè)A=飛機(jī)被擊落 Bi=飛機(jī)被i人擊中, i=1,2,3,由全概率公式,則 A=B1A+B2A+B3A,解,P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2),+ P(B3)P(A |B3),可求得,為求P(Bi ), 設(shè) Hi=飛機(jī)被第i人擊中, i=1,2,3,將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得,P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.,P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3),=0.458,=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1,即飛機(jī)被擊落的概率為0.458.,于是,該球取自哪號(hào)箱的可能性最大?,這一類問題是“已知結(jié)果求原因”. 在實(shí)際中更為常見, 它所求的是條件概率, 是已知某結(jié)果發(fā)生條件下,探求各原因發(fā)生可能性大小.,某人從任一箱中任意摸出一球, 發(fā)現(xiàn)是紅球, 求該球是取自1號(hào)箱的概率.,或者問:,四、貝葉斯公式(Bayes theorem),看一個(gè)例子:,貝葉斯公式,有三個(gè)箱子, 分別編號(hào)為1,2,3, 1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球, 2號(hào)箱裝有2紅球3白球, 3號(hào)箱裝有3紅球. 某人從三箱中任取一箱, 從中任意摸出一球,發(fā)現(xiàn)是紅球, 求該球是取自1號(hào)箱的概率 .,1,1紅4白,某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球， 求該球是取自1號(hào)箱的概率.,記 Bi=球取自i號(hào)箱, i=1,2,3; A =取得紅球,求 P(B1|A),運(yùn)用全概率公式 計(jì)算P(A),將這里得到的公式一般化，就得到,貝葉斯公式,該公式于1763年由貝葉斯 (Bayes) 給出. 它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下， 尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個(gè)原因的概率.,貝葉斯公式在實(shí)際中有很多應(yīng)用.,它可以幫助人們確定某結(jié)果 (事件A) 發(fā)生的最可能原因.,例 某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005, 患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.95, 正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.04, 現(xiàn)抽查了一個(gè)人, 試驗(yàn)反應(yīng)是陽性, 問此人是癌癥患者的概率有多大?,則 表示“抽查的人不患癌癥”.,已知 P(C)=0.005, P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04,解:,設(shè) C=抽查的人患有癌癥， A=試驗(yàn)結(jié)果是陽性，,求 P(C|A).,現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義.,由貝葉斯公式，可得,0.1066,2) 檢出陽性是否一定患有癌癥?,1) 這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無意義？,如果不做試驗(yàn),抽查一人,他是患者的概率:,若試驗(yàn)后得陽性反應(yīng), 則根據(jù)試驗(yàn)得來的信息, 此人是患者的概率為:,從0.005增加到0.1066,將近增加約21倍.,1) 這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有意義.,P(CA)= 0.1066,P(C)=0.005,2) 即使你檢出陽性, 尚可不必過早下結(jié)論你有癌癥, 這種可能性只有10.66% (平均來說，1000個(gè)人中大約只有107人確患癌癥), 此時(shí)醫(yī)生常要通過再試驗(yàn)來確認(rèn).,P(Bi) (i=1,2,n) 是在沒有進(jìn)一步信息(不知道事件A是否發(fā)生)的情況下, 人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí).,當(dāng)有了新的信息(知道A發(fā)生), 人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小P(Bi |A)有了新的估計(jì).,貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化,在貝葉斯公式中, P(Bi)和P(Bi |A)分別稱為原因的 先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率.,P(B) is the prior probability or marginal probability of B. It is “prior“ in the sense that it does not take into account any information about A. P(B|A) is the conditional probability of B, given A. It is also called the posterior probab