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1 第一章第一章 空間直角坐標(biāo)，平面和直線空間直角坐標(biāo)，平面和直線 1在給定坐標(biāo)系中畫出下列各點(diǎn)： 341510421421，。 2自點(diǎn) M321，和 Ncba,分別引各坐標(biāo)平面和坐標(biāo)軸的垂線，求各垂足的坐標(biāo)。 解： 點(diǎn) M321，在平面 XOY， XOZ， YOZ 上的垂足分別為： 320301021， 在 X，Y，Z 軸上的垂足分別為： 300020001， 點(diǎn) Ncba,在平面 XOY，XOZ，YOZ 上的垂足分別為： cb，ca，ba, 0, 00 , 在 X，Y，Z 軸上的垂足分別為： ，c，b，a，000000 3. 給定點(diǎn)M3 , 2, 1和Ncba,，求它們分別對于坐標(biāo)平面、坐標(biāo)軸和原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)。 解： 關(guān)于 XOY 對稱 關(guān)于 XOZ 對稱 關(guān)于 YOZ 對稱 關(guān)于原點(diǎn)對稱 M（1，-2，3） （1，-2，-3） （1，2，3） （-1，-2，3） （-1，2，-3） N（a, b, c） （a, b, -c） （a, -b, c） （-a, b, c） （-a, -b, -c） 關(guān)于 X 軸對稱 關(guān)于 Y 軸對稱 關(guān)于 Z 軸對稱 M（1，-2，3） （1，2，-3） （-1，-2，-3） （-1，2，3） N（a, b, c） （a, -b, -c） （-a, b, -c） （-a, -b, c） 4求點(diǎn) M（4，-3，5）到原點(diǎn)、各坐標(biāo)軸和各坐標(biāo)平面的距離。 解：點(diǎn) M 到原點(diǎn)的距離：255) 3(4 222 OM 點(diǎn) M 在 XOY，XOZ，YOZ 上的垂足分別為 A（4，-3，0） ，B（4，0，5） ，C（O，-3，5） ， 則距離為：52500MA，30) 3(0 2 MB，40042MC， 點(diǎn) M 在 X，Y，Z 軸上的垂足分別為)0 , 0 , 4( A ，B（0，-3，0） ，C（0，0，5）則距離為： 345) 3( 22 AM，1454B 22 M，543C 22 M 5求點(diǎn)（1，2，-2）和（-1，0，-2）之間的距離。 解：所求距離為：3121)(1d 222 6求下列方向余弦： （1，2，-2） ， （2，0，0） ， （0，2，-2） ， （-1，-2，-5） 。 解： （1，2，-2）的方向余弦為：)2, 2 , 1 ( 3 1 ，即： （ 3 2 3 2 3 1 ，） 2 （2，0，0）的方向余弦為：)00 , 2( 2 1 ，即： （001，） （0，2，-2）的方向余弦為：)220( 22 1 ，即： （) 2 2 2 2 0， （-1，-2，-5）的方向余弦為：)521( 30 1 ，即： （) 6 30 15 30 30 30 ， 7求從點(diǎn)（1，2，-2）到點(diǎn)（-1，0，-1）的方向的方向數(shù)和方向余弦。 解：從點(diǎn)（1，2，-2）到點(diǎn)（-1，0，-1）的方向的方向數(shù)為（-1-1，0-2，-1+2） ，即（-2， -2，1） ；方向余弦為（) 3 1 , 3 2 , 3 2 。 8求下列方向的方向角： （0,0,-1）,()4, 1, 2(),0 , 2 1 , 2 3 。 解： （0，0，-1）的方向余弦為：0，0，-1，則方向角為： , 2 , 2 （)0 , 2 1 , 2 3 的方向余弦為：0 , 2 1 , 2 3 ，則方向角為： 2 , 3 , 6 （-2，-1，-4）的方向余弦為： 21 214 , 21 21 , 21 212 ，則方向角為： 21 214 arccos, 21 21 arccos, 21 212 arccos 9求下列各對方向之間的夾角： 1） （1，0，1）和（0，0，1） ；2） （-1，-2，3）和（2，0，1） ；3） （01，-4，-5）和（2， 3，4） 。 解： 1） 方向余弦為 （ 2 2 , 0 , 2 2 ） 和 （0， 0， 1） ， 則： 2 2 1 2 2 000 2 2 cos 而), 0( 故 4 2）方向余弦為（ 14 142 , 7 14 , 14 14 ）和（ 5 5 , 0 , 5 52 ） ，則： 70 70 arccos 70 70 5 5 14 143 0) 7 14 ( 5 52 14 14 cos 3）方向余弦為（ 42 5 , 42 4 , 42 1 ）和（ 29 4 , 29 3 , 29 2 ） ，則： 3 609 121817 arccos 609 121817 29 4 42 5 29 3 42 4 29 3 24 1 cos 10. 證明：頂點(diǎn)是 A（2，4，3） ，B（4，1，9） ，C（10，-1，6）的三角形是直角三形角形。 求出各邊的長和各內(nèi)角的大小。 證明：7,27, 7)6 , 1,10(),9 , 1 , 4(),3 , 4 , 2(BCACABCBA 即： 222 ACBCAB RtABC是 又：BCAB 2 , 4 BCA 故各邊長為：;27, 7ACBCAB 各內(nèi)角為： 2 , 4 BCA 11在給定的坐標(biāo)系中畫出下列平面： 1）; 0632zyx 2); 0122zyx 3) ; 023y 4) ; 0234 zx 5). 043zyx 12.求下列平面的方程： 1）過點(diǎn)（0，-1，4） ，法向的方向數(shù)為（2，-1，0） ； 解：1）設(shè)所求方程為：02Dyx，又點(diǎn)（0，-1，4）在平面上 0) 1(02D 1D 012yx：所求平面方程為 2）過點(diǎn)（-1，-5，4） ，平行于平面; 0523 yx 解：2）設(shè)平面方程為：023Dyx，則： 0)5(2) 1(3D 7D 0723yx：所求平面方程為 3）過點(diǎn)（1，3，5） ， （-1，-2，3） ， （2，0，-3） ； 解：設(shè)平面方程為：0(DCzByAx，則由題可得： 11 18 34 35 35 11 35 18 35 34 032 032 053 C B A ，D DC DB DA DCA DCBA DCBA 則令 4 035111834zyx：所求平面方程為 4）過點(diǎn)（3，-1，4）和（1，0，-3） ，垂直于平面; 0152zyx 解：設(shè)平面方程為：0DCzByAx，則由題可得： 6 1 3 1 6 3 052 03 043 D B A ，C CD CB CA CBA DCA DCBA 則令 063zyx：所求平面方程為 5）過點(diǎn)（0，-1，3）和 Y 軸； 解：設(shè)平面方程為：0CzAx，則： 6）過點(diǎn)（-2，-1，3）和（0，-1，2） ，平行于 Z 軸。 解：設(shè)平面方程為：0DByAx，則由題可得： 01 00 02 y： A DB DB DBA 所求平面方程為 13將 11 題中的平面方程化為法式方程： 解：1）法式方程為：0 7 143 14 14 14 143 7 14 zyx 2）法式方程為：0 14 14 14 143 7 14 14 14 zyx 3）法式方程為：0 3 2 y 4）法式方程為：0 5 2 5 3 5 4 zx 5）法式方程為：0 13 262 26 26 26 263 zyx 14在給定的直角坐標(biāo)系中畫出下列直線： 1） 1 4 1 2 1 1 xyx ； 2） 2 3 1 2 0 1 zyx ； 3） 2 1 2 3 1 2 zyx ； 4） . 0134 , 0132 zyx yx 15求下列直線的方程： 000030x：ACCA所求平面方程為而 5 1）過點(diǎn)（-2，3，5） ，方向數(shù)為（-1，3，4） ； 解：直線方程為： 4 5 3 3 1 2 zyx 2）過點(diǎn)（0，3，1）和（-1，2，7） ； 解：直線的方向數(shù)為： （-1，-1，6） ，則直線方程為： 6 7 1 2 1 1 zyx 3）過點(diǎn)（-1，2，9） ，垂直于平面 3x+2y-z+5=0; 解：由題可知直線的方向數(shù)為： （3，2，-1） ，則直線方程為： 1 9 2 2 3 1 zyx 4）過點(diǎn)（2，4，-1） ，與三個(gè)坐標(biāo)軸成等角。 解：由于直線與三個(gè)坐標(biāo)軸成等角，則（1，1，1）為其一個(gè)方向數(shù)，則：直線方程為： 1 1 1 4 1 1 zyx 16給定直線 3 2 1 1 2 1 : zyx l，求 1）過 l 平行于 Z 軸的平面； 解：由題可設(shè)平面方程為：0DByAx，則： 1 2 1 2 0 02 D B ：，A AD AB DBA BA 則令 012yx：所求平面方程為 2）l 在 XY 平面上的投影。 解：由 0 1 1 2 1 z yx 得直線 l 在 XY 平面上的投影為： 0 012 z yx 17求下列直線在各坐標(biāo)平面上的投影；并畫圖： 1） 1 1 2 3 1 1 zyx 解：由 0 2 3 1 1 z yx 得直線在 XOY 平面上的投影為：012zyx 由 0 1 1 1 1 y zx 得直線在 XOZ 平面上的投影為：02yzx 由 0 1 1 2 3 x zy 得直線在 YOZ 平面上的投影為：052xzy 6 2） 2 2 1 1 0 1 zyx ； 解：由 0 1 1 0 1 z yx 得直線在 XOY 平面上的投影為：01zx 由 0 2 2 0 1 y zx 得直線在 XOZ 平面上的投影為：022yx 由 0 2 2 1 1 x zy 得直線在 YOZ 平面上的投影為：042xzy 3） 032 013 zx zyx 解：由 032 013 zx zyx 得直線的點(diǎn)向方程為： 2 7 11 2 zyx 0 11 2 z yx 由 得直線在 XOY 平面上的投影為：02zyx 由 0 2 7 1 2 y zx 得直線在 YOZ 平面上的投影為：032yzx 由 0 2 7 1 x zy 得直線在 YOZ 平面上的投影為：072xzy 4） 02 01 z x 解：直線的點(diǎn)向方程為： 0 2 10 1 zyx 0 10 1 z yx 由 得直線在 XOY 平面上的投影為：01zx 由 0 0 2 0 1 y zx 得直線在 YOZ 平面上的投影為：)2 , 0 , 1( 7 由 0 0 2 1 x zy 得直線在 YOZ 平面上的投影為：02xz 18將下列直線的方程化為點(diǎn)向式： （1） ; 0132 , 03 zyx zyx 解：由 13 5 4 8 84 53 0132 03 zyx ： zx zy zyx zyx 直線點(diǎn)向方程為 （2） ; 01 , 01 z yx 解：由 0 1 1 1 11 1 01 01 zyx ： z yx z yx 直線點(diǎn)向方程為 （3） ; 0134 , 023 zy yx 解：由 4 3 3 2 134 23 0124 023 zyx ： xz xy zy yx 直線點(diǎn)向方程為 （4） ; 02 , 01 z y 解：由 00 1 12 1 02 01 zzyx ： z y z y 直線點(diǎn)向方程為 19求下列各對直線之間的夾角： 1） 2 3 0 1 10 1 1 2 1 1 zyxzyx 與； 解：設(shè)直線間的夾角為 ， 由于兩直線的方向數(shù)為 （1,-1,0） ,(-1,0,2),則方向余弦為 （0 , 2 2 , 2 2 ） ，（ 5 52 , 0 , 5 5 ） 10 10 5 52 00 2 2 ) 5 5 ( 2 2 cos 10 10 arccos 2） 3 1 42 1 2 4 1 3 1 1 zyxzyx 與； 解：設(shè)直線間的夾角為 ， 兩直線的方向數(shù)為（-1，1，2） ， （-2，4，-3） ，由于： （-1） （-2）+1 4+2 （-3）=0 8 2 兩直線間的夾角. 3） . 023 , 013 012 , 01 zy yx xyx zyx 與； 解：設(shè)直線間的夾角為 ， 由題可知兩直線的方向數(shù)為 （-3， 1， 2） ，（ 3 1 1 3 1 ，） ， 則方向余弦為 （ 14 2 14 1 14 3 ，） ， （ 11 1 11 3 11 1 ，） ， 77 1542 ) 11 1 ( 14 2 11 3 14 1 ) 11 1 ( 14 3 cos 77 1542 arccos 20求直線與平面的交點(diǎn)： 1）023 1 2 3 1 2 1 zyx zyx 與； 解： 11 25 11 20 11 5 11 25 11 20 11 5 023 1 2 3 1 2 1 ， z y x zyx zyx 交點(diǎn)為 2）平面與XZ zyx zyx 022 , 0132 ； 解： 3 5 0 3 1 3 5 0 3 1 0 022 0132 ， z y x y zyx zyx 交點(diǎn)為 3）0623 4 2 1 1 2 2 zyx zyx 與； 解：0142132 而直線上一定點(diǎn)（-2，1，-2）也在平面上 直線在平面上即：直線與平面有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)。 4）0723 4 2 1 1 2 2 zyx zyx 與. 解：0142132 但直線上一定點(diǎn)（-2，1，-2）不在平面上 9 直線平行于平面即：直線與平面沒有交點(diǎn)。 21求直線：)2( 0 , 0 : 21 2222 1111 CC DzCyBxA DzCyBxA l 與 Z 軸相交的條件。 解：令 X=0，y=0，則：, 0 0 22 11 DZC DZC 即： 2 2 1 1 C D Z C D Z 直線 l 與 z 軸相交的條件是： 2 2 1 1 C D C D ，即： 2 2 1 1 C D C D 22證明：直線 n zz m yy l xx p 000 : 落在平面0:DCzByAx上必須且 只須. 0, 0 000 DCzByAxCnBmAl同時(shí)，寫出 p 平行于 但不在 上的條 件。 證明：直線 p 與平面 的方向數(shù)分別為： （l, m, n）,（A, B, C） Al+Bm+Cn=0 直線 p 平行于平面 。 又：點(diǎn)（x0, y0, z0）在直線 p 上，且 Ax0+By0+Cz0+D=0,即點(diǎn)（x0, y0, z0）也在平面 上 直線 p 在平面 上。 23求經(jīng)過直線 01323 09232 zyx zyx 和點(diǎn)（1, 2, 1）的平面方程。 解：設(shè)平面方程為：0) 1323()9232(zyxBzyxA， 又：點(diǎn)（1, 2, 1）在平面上 0) 1132213()9122312(BA A=-B 令 B=-1，則 A=1 故：所求平面方程為：085zyx 24設(shè)平面 1與 2不平行，它們的方程分別為 0 1111 DzCyBxA， 0 2222 DzCyBxA。 證明：過 1和 2的交線的所有平面的方程都可以表示成 0)()( 22221111 DzCyBxADzCyBxA，其中 和 為不全為零的 實(shí)數(shù)。 證明： 21 , 21 L 且 0 08 : 2222 111 DzCyBxA zCyBxA L 10 設(shè)0)()( 22221111 DzCyBxADzCyBxA其中0 22 ，由 21 知該方程是一個(gè)三元一次方程，即方程表示一個(gè)平面設(shè)Lzyx 000 ,，則：把點(diǎn) 000 ,zyx代入 中有： 0)()( 20202021010101 DzCyBxAMDzCyBxA 即：左邊=右邊 L 在 上。 由,的任意性可知：所有過 L 的平面上方程都可以成： 0)()( 22221111 DzCyBxADzCyBxA 11 第二章第二章 向量代數(shù)向量代數(shù) 1已知平行四邊形 ABCD 的對角DACD，BC，ABbBDaAC和求,。 解： 2 2 ba AB ba BC bBDABBC aACABBC 2 2 ba BCCBDA ab ABBACD 故：)( 2 1 );( 2 1 ),( 2 1 ),( 2 1 baDAabCDbaBCbaAB 2已知平行四邊形 ABCD 的邊 BC 和 CD 的中點(diǎn)分別為 K 和 L，且lALkAK ,，求 CDBC和。 解：設(shè)bBC ，aCD ，則： klb kla lab bka 3 2 3 4 3 4 3 2 2 1 ( 2 1 klCD klBC 3 4 3 2 3 2 3 4 3MBAM 。證明：對任意一點(diǎn) O，OBOAOM 2 1 。 證明：方法一：)( 2 1 2 1 2 1 OBOAOAOBAOOAABAMOAOM )( 2 1 OBOAOM 方法二：由已知可得 A、M、B 三點(diǎn)共線，且 M 為線段 AB 的中點(diǎn)。 延長 OM 至 N，使MON20，連 OA、OB、AN、BN，易證四邊形 OANB 為平行四 邊形。 OBOAON而ONOM 2 1 )( 2 1 OBOAOM 4設(shè) M 是三角形 ABC 的重心。證明：對任意一點(diǎn) O，OCOBOAOM 3 1 。 證明：方法一：),CMOCOMBMOBOMAMOAOM )( 3 1 )( 3 1 CMBMAMOCOBOAOM 而：OMCMBMA 即：OCMBMAM 12 )( 3 1 OCOBOAOM 方法二：設(shè)三角形 ABC 三點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A（x1,y1,z1）, B（x2, y2, z2）,(x3, y3, z3) 由重心坐標(biāo)公式得： z zzzyyyxxx M 3 , 3 , 3 321321321 )( 3 1 OCOBOAOM 5設(shè) M 是平行四邊形 ABCD 的對角線的交點(diǎn)。證明：對任意一點(diǎn) O， ).( 4 1 ODOCOBOAOM 證明：AMOAOM，BMOBOM，CMOCOM，DMODOD 而：,OMDMCMBMA即：,ODMCMBMAM )( 4 1 ODOCOBOAOM 6設(shè) A，B，C，D 是一個(gè)四面體的頂點(diǎn)，M，N 分別是邊 AB，CD 的中點(diǎn)。 證明：)( 2 1 BCADMN。 證明：取 AC 的中點(diǎn) O，則 OM，ON 分別為中位線，故有：BCMO 2 1 ，ADON 2 1 )( 2 1 ADBCONMOMN 即：)( 2 1 BCADMN 7設(shè) AD，BE，CF 是三角形 ABC 的中線。 1）用AB，AC表示AD，BE，CF； 解：)( 2 1 ACABAD ABACACBABABCBABE 2 1 )( 2 1 )( 2 1 ACABCBACF 2 1 )( 2 1 2）求CFBEAD。 解：OACABABACACABCFBEAD 2 1 2 1 )( 2 1 8設(shè) n ppp, 21 是以 O 為中心的圓周上的 n 等分點(diǎn)，證明：0 21 n OPOPOP。 證明： n ppp, 21 是 n 等份點(diǎn) 相鄰邊的夾角相等。 iii OPOPOP 11 （其中2） 又： )()()()()(2 212422121nnn OPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOPOP 13 即：OOPOPOP n )(2( 21 而02 OOPOPOP n )( 21 9設(shè) O 是點(diǎn) A 和 B 的聯(lián)線以外的一點(diǎn)。證明：三點(diǎn) A，B，C 共線必須且只須 OBOAOC，其中1。 證明：A，B，C 三點(diǎn)共線OBOAOC，其中1。 “”：CBA,三點(diǎn)共線 )(OAOBABACOAOC 即：OBOAOAOBOAa)1 ( 令1，則：OBOAOC （其中1） “”：OBOAOC)1 ( OAOBOAOC)1 ()1 ( 即：ABABAC)1 ( CBA,三點(diǎn)共線 10設(shè) O 是不共線的三點(diǎn) A，B，C 所在平面以外的一點(diǎn)，證明：四點(diǎn) A，B，C，D 共面必 須且只須OBOAOD，其中1V “”：DCBA,四點(diǎn)共面 CAkBCkAD 21 即：akkOBkOAkakOAkOBkOCkOAOD)()1 ( 21122211 令 2112 ,1kkVkk，則：,OCvOBOAOD 其中1v “”：OCvOBOAvOCvOBOAOD)1 ( ACvABOAOAOCvOAOBOA)()( ACvABOAOD 即：ACvABAD A，B，C，D 四點(diǎn)共面 11已知 321 ,rOCrOBrOA是以原點(diǎn) O 為頂點(diǎn)的平行六面體的三條邊，求此平行六 面體過點(diǎn) O 的對角線與平面 ABC 的交點(diǎn)的定位向量。 解：設(shè)體對角線為 OD，OD 與平面 ABC 的交點(diǎn)為 E，則： 321 rrrOD 定位向量：)( 3 2 3 2 32 1 rrrODED 12設(shè) AL 和 BM 是三角形 ABC 的中線，它們的交點(diǎn)是 O，證明BMBOALOA 3 2 , 3 2 。 14 證明：過 L 作 LD=BM。 AMMCDCMDLCBL 2 1 2 1 ALOAALAO AM AM AD AM AL AO 3 2 3 2 2 3 同理可得：BMBO 3 2 13證明：三角形 ABC 的三條中線相交于一點(diǎn)。 證明：方法一：設(shè) D，E，F(xiàn) 分別為 BC，AC，AB 的中點(diǎn)，則： )( 2 1 OBOAOF 又：)(22OBODOBBDOBBCOBOC BOAOOBOD 2 OFOC2 而：OC，OF 共點(diǎn) O FCO,三點(diǎn)共線 故：三角線 ABC 的三條中線相交于一點(diǎn)。 方法二：設(shè)),(),(),( 332211 yxCyxByxA則： ) 2 , 2 (), 2 , 2 (), 2 , 2 ( 212132323131 yyxx F yyxx D yyxx E ) 2 , 2 ( 2 31 2 31 y yy x xx BE 由 12 題結(jié)論可知：) 3 2 3 , 3 2 3 ( 3 2 2 31 2 31 y yy x xx BEBO ) 3 2 , 3 2 () 3 , 3 ( 321321 3 321 3 321 yyyxxx y yyy x xxx BOCBCO 而：) 2 2 , 2 2 () 2 , 2 ( 321321 3 21 3 21 yyyxxx y yy x xx CF CFCO 3 2 故：C，O，F(xiàn) 三點(diǎn)共線 三角形 ABC 的三條中線相交于一點(diǎn)。 14設(shè) a=(5, 7, 2), b=（3, 0, 4）, c=（-6，1，-1）求 1）3a-2b+c； 解：) 3,22, 3() 1, 1 , 6()42 , 0 , 32()23 , 73 , 53(23cba 2）5a+6b+c. 解：)33,36,37() 1, 1 , 6()46 , 0 , 36()25 , 75 , 55(65cba 15給定點(diǎn) A（1，2，4）和 B（0，-1，7） ，求AB的坐標(biāo)。 A B O M D L C C D E F O B A 15 解：) 3 , 3, 1(AB 16給定點(diǎn) A（2，0，-1）和向量AB（1，4，5） ，求 B 的坐標(biāo)。 解：B（3，4，4） 17判斷下列各組的三個(gè)向量 a，b，c 是否共面？能否將 c 表成 a，b 的線性組合？若能表 示則寫出表示式。 1）a=(5,2,1), b=(-1,4,2), c=(-1,-1,5); 解：01010414100 521 142 115 cba cba,不共面，c不能表示成ba,的線性組合。 2）a=(6,4,2), b=(-9,6,3), c=(-3,6,3); 解：033633631225436336 332 664 396 cba cba,共面，設(shè)c=ba， 則： 3 2 2 1 664 396 baC 3 2 2 1 3) a=(1,2,-3), b=(-2,-4,6), c=(1,0,5); 解：020121220 563 042 121 cba cba,共面 設(shè)c=ba，則方程無解 042 12 C不能表示成A，B的線性組合。 18設(shè)點(diǎn) C 分線段 AB 為 5：2，A 的坐標(biāo)為（3，7，4） ，C 的坐標(biāo)為（8，2，3， ） ，求 B 的 坐標(biāo)。 解：) 5 13 , 0 ,10(B 16 19已知三角形的三頂點(diǎn)為 A（2，5，0） ，B（11，3，8）和 C（5，11，12） ，求各邊和各 中線之長。 解：)8 , 2, 9( AB，AB 邊上的中線)8, 7, 2 3 ()( 2 1 CBCA )4 , 8 , 6(BC，BC 邊上的中線)10, 2 , 6()( 2 1 ACAB )12, 6 , 3(AC，AC 邊上的中線)2, 5 , 2 15 ()( 2 1 BABC 則：149829 222 AB，AB 邊上的中線長： 2 461 87) 2 3 ( 222 292486 222 BC，BC 邊上的中線長：3521026 222 2121263 222 AC，AC 邊上的中線長： 2 341 25) 2 15 ( 222 20求 a b，已知： 1） 3 , 5, 8 baba； 解：20 2 1 58,cosbababa 2）a=（3，5，6） ，b=（1，-2，3） 。 解：11362513ba 21已知 a=（3，5，7） ，b=（0，4，3）c=（-1，2，-4） ，求yxyayx,和: 1) x=3a+4b-c, y=2b+c; 解：)2,10, 1(2),37,29,10(43cbycbax 242550 354 arccos,105,2310,354yxyxyx 2）x=4a+3b+2c, y=a+2b-c; 解：)17,11, 4(2),29,36,10(234cbaycbax 952962 929 arccos,426,2237,929yxyxyx 22已知 6 , 2, 3 baba求，3a+2b 與 2a-5b 的內(nèi)積和夾角。 解：3331411)52()23( 2 2 bobaabbaba 17 36013652,3369723baba 2 2 36013633697 33314 5223 )52)(23( cos baba baba 4 3 故：兩向量間的夾角為 4 3 23證明下列各對向量互相垂直： 1） （3, 2, 1）與（2, -3, 0） ； 證明：0013223)0, 3, 2() 1, 2, 3( 向量（3，2，1）與（2，-3，0）互相垂直。 2）a(b c)-b(a c)與 c。 證明：0)()()()()(cacbcbcaccabcba ccabcba與向量)()(互相垂直。 24設(shè) OABC 是一個(gè)四面體，, 3 , 1, 2 AOCAOBOCOBOA , 6 BOCL 是 AB 的中點(diǎn)，M 是OMOL。ABC求的重心和OM，OL。 解：3 3 2OLAOB，OBOA ) 2 1 ( 3 2 )( 3 2 3 2 BACBOCBLCBOCCLOCCMOCOM )( 3 1 )( 2 1 3 2 )( 3 2 OCOBOAOBOAOCOBOC 3215 3 1 )( 9 1 2 OCOBOAOM 又： 6 13 ) 3 1 3 1 3 1 )( 2 1 2 1 () 2 1 ( OCOBOAOAOBOMABOAOMOL 32156 33 arccos, 32156 33 ,cos OMOL OMOL OMOL OMOL 故 32156 33 arccos,3215 3 1 , 3 OMOLOMOL 25CD，CT 和 CH 分別是三角形 ABC 的中線、分角線和高線，,cbCBaCA 求 D，T 和 H 分 AB 的分比。 18 解：CD 為三角形的 ABC 的中線 DBAD 1 1 DB AD ， 即：D 分 AB 的比為 1 CT 由三角形 ABC 的角平分線，由內(nèi)角平分線定理得： b a ABT： b a b a TB AT BC AC 的中為分即, 2 cos2 22 abbaAB：AB，CH，ABCCH由余弦定理得則的高線為三角形 而： AB abb BH AB aba AH abbaABHBAH HBBCAHAC cos cos cos2 2 2 22 222 2 cos cos , cos cos 2 2 2 2 3 abb aba ABH： abb aba HB AH 的線為分即 26證明：三角形三條中線的長度的平方和等于三邊的長度的平方和的 4 3 。 證明： 2222222 4 1 cos 4 1 ACBCBBCABBCABCFBEAD AABACABACCACBCcos 4 1 cos 22 =)coscoscos()( 4 5 222 AABACCACBCBBCABACBCAB = 2222222222 ( 2 1 )( 4 5 ACABBCACACBCABACBCAB ) 22 BCAB =)( 4 3 222 ACBCAB 即證。 27證明：三角形的三條高線相交于一點(diǎn)。 證明：已知,BCAOACBO則： OACOBOBCOA, 又：CBACACACACOACBACACOAABOC)( 故：三角形的三條高線相交于一點(diǎn)。 C D E F B A 0 A B C 19 28證明：0BDCAADBCCDAB 證明：BDCABDABABACCDABBDCAADBCCDAB)()( =BDCABDABABBDACABACCDAB 2 =0)( 222 ABABABBDACCDAB 0BDCAADBCCDAB 29求 a b 和以 a，b 為邊的平行四邊形的面積： 1）a=(2, 3, 1), b=(5, 6, 4); 解：) 3, 3, 6()4, 6, 5() 1, 3, 2(ba 63336 222 S 2）a=(5, -2, 1), b=(4, 0, 6 ); 解：)8,26,12()6, 0, 4() 1, 2, 5(ba 221282612 222 S 3）a=(-2, 6, 4), b=(3, -9, 6, ); 解：)0,24,72()6, 9, 3()4, 6, 2(ba 102402472 22 S 30.給定 a=(1, 0, -1), b=(1, -2, 0) ,c=(-1, 2, 1)，求 1）abba ,； 解：)2, 1, 2(),2, 1, 2(abba 2）)()3(cbacba； 解：)0, 4, 1(),4, 4, 5(3cbacba )16, 4,16()()3(cbacba 3）cbacba,； 解：)0, 1, 2(),2, 1, 2(cbba 2, 2cbacba 20 4）)(,)(cbacba。 解：) 1, 2, 1()(),5, 4, 3()(cbacba 31證明下列等式： 1）)()(cbdadbcadcba； 證明：)()()()(dcbcdbadcbadcbadcba =)()()()()()(cbdadbcacbbadbca 故：)()()()(cbdadbcadcba 2）0)()()(bacacbcba。 證明：)()()( ,)()()(acbcabacbabcbaccba cbaabcbac)()()( 0)()()(bacacbcba 32一個(gè)四面體的頂點(diǎn)為 A（1，2，0） ，B（-1，3，4） ，C（-1，-2，-3）和 D（0，-1，3） ， 求它的面積。 解：) 3 , 3, 1(),3, 4, 2(),4 , 1 , 2(ADACAB 四面體的體積為： 6 59 59 6 1 )( 6 1 ADACABV 33證明：如果0accbba，那末 a, b, c 共面。 證明： 0accbba 0)()(cacccbcba 即：0)(cba cba,共面 34下列等式是否正確？ 1） 2 aaa； 解：等式錯(cuò)誤。等式左邊為向量，右邊為實(shí)數(shù)，但向量與實(shí)數(shù)是無比較性的。 2） 2 )(abbba； 解：等式正確。 3）babaa 2 )(； 21 解：等式錯(cuò)誤。等式左邊表示向量baa的倍，而右邊表示b的 2 a倍。 4） 222 )(baba； 解：等式錯(cuò)誤。 22 22 2 22 2 )(cos)(baba），ba（baba的夾角與為 5）)()(cbacba； 解：等式錯(cuò)誤。等式左邊表示向量bac的倍，右邊表示a的cb倍。 6）)()(cbacba。 解：等式錯(cuò)誤。等式左邊表示與cba,都垂直的向量，而左邊表示與a，cb垂直的 向量。 35下列推斷是否正確？ 1）如果0,ccabc且，那么 a=b； 解：推斷錯(cuò)誤。若0c，但bc ，則0cabc，但ba 2）如果0,ccabc且，那么 a=b； 解：推斷錯(cuò)誤。由cacabcbc：cabc,sin,sin得，則只能推得 caabcb,sin,sin，并不能得出ba 。 36討論 x 和 y 的關(guān)系，已知： 1）x 與 xy 共線； 解：當(dāng)yx,中有一個(gè)為0時(shí)，結(jié)論顯然成立。 當(dāng)yx,都不為0時(shí)，由yxx與共線可得：0)(yxx。 即：0)()(yxxxyx y yx x x 2 yx與共線 故：yx與共線或yx與中至少有一個(gè)為0。 2）x，y，xy 共面。 當(dāng)yx,中至少有一個(gè)為0時(shí)，結(jié)論顯然成立。 當(dāng)yx,都不為0時(shí)，由題可知：0)()(yxyx 0yx 22 故：yx與共線或yx與中至少有一個(gè)為0。 37設(shè) a 和 b 都是非零向量，且, 0ba為任意的數(shù)，并知bx=a，xa求：x. 解：axb abxbb)( 而：xbbxbbbxbxbb 2 2)()()( 2 2 2 2 b abb x：abxbb 故 38設(shè), 0, 0, 0cbbacba并知,cbxax求：x。 解：cbx cabxa)( 而：bxbabxaxbabxa2)()()()( ba cab x：cabxba 2 2)(故 39證明：a, b, c 不共面必須且只須accbba,不共面。 證明：accbbacba,不共面不共面： “” ：0)()()(,bacacbcbacba不共面 )()()()()()(accbbabcbaaccbba =0)()()()()( 2 cbabaccbaacbcba 0)()()(accbba 即：accbba,不共面。 “” ：accbba,不共面。 0)()()(accbba 而： 2 )()()()(cbaaccbba 0)( 2 cba cba：cba,0即不共面。即證。 40設(shè)cxbxaxcba, 0，求：x。 23 解：設(shè) 1 cacbba cba xw ，則： 1 ccaccbcba cba cxcw =owcba cba cw 0) 1 故：cacbba cba x 1 411）已知用得到右旋角度繞將，rerere 1 , 1,e，r 和表出 r1； 解：由題可得： cinrcinrrrr rerrerrrr er 2 11 111 1 sincossin 0 2）給定三點(diǎn)，POAPAPAO 1 ,0 ,得到右旋角度繞將用 1 ,OPOPO