一個新混沌系統(tǒng)的同步研究1.doc

精品論文一個新混沌系統(tǒng)的同步研究1郭麗峰，褚衍東，江浩，劉開明 蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院，甘肅蘭州（730070） e-mail：摘 要:針對一個新三維混沌自治系統(tǒng),研究了該混沌系統(tǒng)的同步問題.利用線性負(fù)反饋法,設(shè) 計了實現(xiàn)其同步的一種非線性控制器利用李雅普諾夫穩(wěn)定性定理,證明了同步誤差系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的matlab 數(shù)值仿真結(jié)果表明所設(shè)計的非線性控制器能有效地實現(xiàn)混沌同步 關(guān)鍵詞:新混沌系統(tǒng)；混沌同步；李雅普諾夫穩(wěn)定性中圖分類號:o415.5文獻標(biāo)識碼:a0. 引言混沌是非線性動力系統(tǒng)所特有的一種運動形式，它廣泛存在于自然界中混沌系統(tǒng)的最 大特點在于它對初始條件極其敏感，系統(tǒng)整體上是穩(wěn)定的但局部又是不穩(wěn)定的對于混沌現(xiàn) 象的研究1, 2 是非線性科學(xué)領(lǐng)域的熱點問題之一，而混沌同步與控制由于在保密通信，激光物理，化學(xué)反應(yīng)，生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域的巨大應(yīng)用潛力3, 4 ，引起了人們的廣泛關(guān)注自從 1990 年 pecora 和 carroll 發(fā)現(xiàn)混沌信號同步5 以來，混沌系統(tǒng)的同步方法不斷涌現(xiàn)，如線性和非 線性反饋控制，模糊控制，驅(qū)動響應(yīng)同步等方法6,7 最近，文獻8中提出了一個新三維混沌系統(tǒng),并深入研究了該系統(tǒng)的非線性動力學(xué)性質(zhì).本文將研究該三維自治系統(tǒng)的同步問題.基于穩(wěn)定性理論,設(shè)計了一種非線性控制器,實現(xiàn)了 混沌系統(tǒng)的同步.matlab 數(shù)值仿真實驗驗證了上述同步方法都是有效的1. 新混沌系統(tǒng)的描述文獻8提出了一個新三維混沌自治系統(tǒng),其狀態(tài)方程如下: x& = a( y x),- 4 - y& = bx + cy xz,(1) z& = x 2 hz,式中 ( x, y, z) r 3 為系統(tǒng)的狀態(tài).當(dāng)選取參數(shù) a = 20 , b = 14 , c = 10.6 , h = 2.8 , ,時,系統(tǒng)(1)處于混沌狀態(tài),其時間響應(yīng)曲線和混沌吸引子分別如圖 1(a),(b)所示.4040x,y,z20z 2000-20050t/s10010y 0-10100 x-10(a)(b)圖 1 系統(tǒng)(1)的時間響應(yīng)曲線圖(a)和混沌吸引子圖(b).1本課題得到國家自然科學(xué)基金(50474008)的資助。2. 系統(tǒng)(1)的混沌同步2.1 系統(tǒng)同步化的簡單數(shù)學(xué)描述n現(xiàn)考慮兩個 n 維非線性動力系統(tǒng)，x& =f ( x )(a)式中 x= ( x1 , x2 ,l, xn ) ry& = g (y ) + u, y = ( y1 , y2 ,l, yn ) r(b)n為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，u 為控制量，通常將系統(tǒng) (a) 稱為驅(qū)動系統(tǒng)，系統(tǒng) (b) 稱為響應(yīng)系統(tǒng)定義誤差 e = e(t ) = y (t ) x (t ) ，則可得誤差系統(tǒng)為e& = y& x&= g (y ) f ( x ) + u(c)如果系統(tǒng) (a) 與系統(tǒng) (b) 同步，那么就意味著 lim e(t)n= 0 ，也就是說誤差系統(tǒng) (c) 在原點是漸近穩(wěn)定的于是可將系統(tǒng) (a) 與系統(tǒng) (b) 同步化問題轉(zhuǎn)化為如下問題：如何選擇合適的控 制量u ，使誤差系統(tǒng)的零解漸近穩(wěn)定？2.2 系統(tǒng)(1)的同步控制設(shè)系統(tǒng)(1)為驅(qū)動系統(tǒng)變換為如下形式,x&1 = a( x2 x1 ),x&2 = bx1 + cx2 x1 x3 ,(2)2x&3 = x1再取如下的系統(tǒng)(2)為響應(yīng)系統(tǒng)， hx3 . y&1 = a( y2 y1 ) + u1 ,2 y& 2 = by1 + cy2 y1 y3 + u2 ,(3)式中u = (u1 , u2, u3 y& 3 = y1) r 3 定義誤差 hy3 + u3 .則誤差系統(tǒng)可表示為e = (e1 , e2 , e3 ) = ( y1 x1 , y2 x2 , y3 x3 ) ,e&1 = ae1 + ae2 + u1 ,e&2 = be1 + ce2 y1 y3 + x1 x3 + u2 ,e&3 = x1e1 + y1e1 he3 + u3 .(4)為了使系統(tǒng)(9)與系統(tǒng)(10)同步,我們設(shè)計了如下一個非線性控制器：u1 = ae2 ,u2 = be1 2ce2 + y1 y3 x1 x3 ,u3 = x1e2 y1e1(5)于是便有如下結(jié)論:定理已知驅(qū)動系統(tǒng)(2)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)，若系統(tǒng)(10)中的控制量u = (u1 , u2 , u3 ) 選取式(5)，則可以實現(xiàn)驅(qū)動系統(tǒng)(2)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)的全局同步即對于誤差系統(tǒng)(4)，當(dāng)控制量u = (u1 , u2 , u3 ) 取式(5)時，誤差系統(tǒng)(4)的零解漸近穩(wěn)定證明將式(5)代入系統(tǒng)(4)，原誤差系統(tǒng)簡化為e&1 = ae1 ,e&2 = ce2 ,e&3 = he3 .再構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)v = 1 (e 2 + e 2 + e 2 ) 0 ，則2123222v& = e&1e1 + e&2 e2 + e&3 e3 = ae1 ce2 he3 .因為 a = 20 0, c = 10.6 0, h = 2.8 ，所以v& 0 ，即v& 負(fù)定根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，可知在式(4)的作用下，誤差系統(tǒng)(4)的零解是漸近穩(wěn)定的，即 lim e(t )t = 0 ，從而可使驅(qū)動系統(tǒng)(2)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)全局同步3. 混沌同步數(shù)值仿真下面利用四階 runge-kutta 算法對受控系統(tǒng)(2)進行數(shù)值計算,以驗證上述分析結(jié)果.系統(tǒng)參數(shù)固定為 a = 20 , b = 14 , c = 10.6 , h = 2.8,.在 matlab 上對受控系統(tǒng)(2)進行數(shù)值模擬:當(dāng)控制量選取式(5), 時，數(shù)值仿真結(jié)果分別如圖 2 所示誤差系統(tǒng)(4) 的初始值為(e1 (0), e2 (0), e3 (0) = (1,3.5,2) ，由圖 2 可以看到，在非線性控制器的作用下，在 1.6s以后， e1 , e2 , e3 全部趨向于零，這表明新混沌系統(tǒng)達(dá)到了全局同步控制0.5403e01e22-0.5e3-1-0.51-1.5-10120012-2012(a) e1 隨時間 t 變化圖(b) e2 隨時間 t 變化圖(c) e3 隨時間 t 變化圖圖 2 系統(tǒng)的同步誤差4. 結(jié)語數(shù)值計算和穩(wěn)定性分析都是實現(xiàn)混沌同步的有效方法本文將兩者相結(jié)合，由系統(tǒng)同步 化的定義出發(fā)，基于穩(wěn)定性理論，設(shè)計出一個非線性控制器，實現(xiàn)了新混沌系統(tǒng)的全局同步 控制，方法簡單易掌握，而且實現(xiàn)同步的時間短，是實現(xiàn)混沌同步的有效方法。參考文獻1周井玲,沈世德,程海正等.五桿機構(gòu)的混沌運動j.南通工學(xué)院學(xué)報.2001, 17(4):27-30 2劉宗華.混沌動力學(xué)基礎(chǔ)及其應(yīng)用m.北京:高等教育出版社,2006 3黃潤生,黃浩.混沌及其應(yīng)用m.武漢:武漢大學(xué)出版社,2005 4c.格里博格,j.a.約克.楊立,劉巨斌等譯.混沌對科學(xué)和社會的沖擊c.長沙:湖南科學(xué)技術(shù)出版社,20015t l carrol, l m pecora. synchronization in chaotic systems j. physics review letters, 1990, 64(8):821-824 6bielawski s, derozier d, glorieux p. controlling unstable periodic orbits by a delayed continuous feedbackj. phy rev e, 1994, 49(7):632-6367lu j a. parameter identification and tracking of unified system j.chin phys lett, 2002, 19(5):632-636 8蔡國梁.一個新的混沌系統(tǒng)的動力學(xué)分析和混沌控制j.物理學(xué)報.2007, 11(2):6230-6237study of synchronization in new chaotic systemguo li-feng, chu yan-dong, jiang hao, liu kai-mingschool of mathematics, physics and software engineer, lanzhou jiaotong university, lanzhou(730070)abstractthis paper presents the chaotic synchronization in a new chaotic system. a kind of nonlinear controllers are designed to realize the synchronization by means of lyapunov stability theorem, it isproved that the dynamics of the synchronization error is globally and asymptotically stable. numerical simulations by matlab are provided to demonstrate