【高考輔導(dǎo)資料】2009年高考試題——湖北卷(數(shù)學(xué)理)解析版

2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(湖北卷)數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘。祝考試順利注意事項：1. 答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上指定位置。2. 選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，答在試題卷上無效。3. 填空題和解答題用0.5毫米黑色墨水簽字筆答在答題卡上每題對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，答在試題卷上無效。4. 考試結(jié)束，請將本試題卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是滿足題目要求的。1、已知是兩個向量集合，則A1，1 B. -1，1 C. 1，0 D. 0，11【答案】A【解析】因為代入選項可得故選A.2.設(shè)a為非零實數(shù)，函數(shù)A、 B、C、 D、2【答案】D【解析】由原函數(shù)是，從中解得即原函數(shù)的反函數(shù)是，故選擇D3、投擲兩顆骰子，得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n,則復(fù)數(shù)（m+ni）(n-mi)為實數(shù)的概率為A、 B、C、 D、3【答案】C【解析】因為為實數(shù)所以故則可以取1、26，共6種可能，所以4.函數(shù)的圖象按向量平移到,的函數(shù)解析式為當(dāng)為奇函數(shù)時，向量可以等于 4【答案】B【解析】直接用代入法檢驗比較簡單.或者設(shè)，根據(jù)定義，根據(jù)y是奇函數(shù)，對應(yīng)求出，。5.將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個班，則不同分法的種數(shù)為w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5【答案】C【解析】用間接法解答：四名學(xué)生中有兩名學(xué)生分在一個班的種數(shù)是，順序有種，而甲乙被分在同一個班的有種，所以種數(shù)是6.設(shè)，則 6【答案】B【解析】令得令時令時兩式相加得：兩式相減得：代入極限式可得，故選B7.已知雙曲線的準(zhǔn)線過橢圓的焦點(diǎn)，則直線與橢圓至多有一個交點(diǎn)的充要條件是A. B. C. D. 7【答案】A【解析】易得準(zhǔn)線方程是 所以 即所以方程是聯(lián)立可得由可解得A8.在“家電下鄉(xiāng)”活動中，某廠要將100臺洗衣機(jī)運(yùn)往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn)，現(xiàn)有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用。每輛甲型貨車運(yùn)輸費(fèi)用400元，可裝洗衣機(jī)20臺；每輛乙型貨車運(yùn)輸費(fèi)用300元，可裝洗衣機(jī)10臺。若每輛車至多只運(yùn)一次，則該廠所花的最少運(yùn)輸費(fèi)用為A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2800元8【答案】B【解析】設(shè)甲型貨車使用x輛，已型貨車y輛.則,求Z=400x+300y最小值.可求出最優(yōu)解為（4，2）故故選B.9.設(shè)球的半徑為時間t的函數(shù)。若球的體積以均勻速度c增長，則球的表面積的增長速度與球半徑A.成正比，比例系數(shù)為C B. 成正比，比例系數(shù)為2C C.成反比，比例系數(shù)為C D. 成反比，比例系數(shù)為2C 9.【答案】D【解析】由題意可知球的體積為，則，由此可得，而球的表面積為，所以，即，故選D10.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)。比如：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 他們研究過圖1中的1，3，6，10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，這樣的數(shù)為正方形數(shù)。下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是A.289 B.1024 C.1225 D.137810.【答案】C【解析】【解析】由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項，同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項，則由可排除A、D，又由知必為奇數(shù)，故選C.二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上,一題兩空的題,其答案按先后次序填寫.11.已知關(guān)于的不等式0的解集是.則 .11.【答案】-2【解析】由不等式判斷可得a0且不等式等價于由解集特點(diǎn)可得12.樣本容量為200的頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計,樣本數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻數(shù)為 ，數(shù)據(jù)落在內(nèi)的概率約為 .12.【答案】64 0.4【解析】由于在范圍內(nèi)頻數(shù)、組距是0.08，所以頻率是0.08*組距=0.32，而頻數(shù)=頻率*樣本容量，所以頻數(shù)=（0.08*4）*200=64同樣在范圍內(nèi)的頻數(shù)為16，所以在范圍內(nèi)的頻數(shù)和為80，概率為80/200=0.4 OBCAOBCA13.如圖,衛(wèi)星和地面之間的電視信號沿直線傳播,電視信號能夠傳送到達(dá)的地面區(qū)域,稱為這個衛(wèi)星的覆蓋區(qū)域.為了轉(zhuǎn)播2008年北京奧運(yùn)會,我國發(fā)射了“中星九號”廣播電視直播衛(wèi)星，它離地球表面的距離約為36000km.已知地球半徑約為6400km,則“中星九號”覆蓋區(qū)域內(nèi)的任意兩點(diǎn)的球面距離的最大值約為 km.(結(jié)果中保留反余弦的符號).13.【答案】12800arccos【解析】如圖所示，可得AO=42400，則在RtABO中可得cosAOB=所以14.已知函數(shù)則的值為 .14.【答案】1【解析】因為所以故15已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），若，則m所有可能的取值為_。15.【答案】4 5 32【解析】（1）若為偶數(shù)，則為偶, 故當(dāng)仍為偶數(shù)時， 故當(dāng)為奇數(shù)時，故得m=4。（2）若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，故必為偶數(shù)，所以=1可得m=5三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16（本小題滿分10分）（注意：在試題卷上作答無效）一個盒子里裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)2，3，4，5；另一個盒子也裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)3，4，5，6?，F(xiàn)從一個盒子中任取一張卡片，其上面的數(shù)記為x；再從另一盒子里任取一張卡片，其上面的數(shù)記為y，記隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 16.解析：依題意，可分別取、6、11取，則有的分布列為567891011 .17（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）已知向量（）求向量的長度的最大值；（）設(shè)，且，求的值。17.解析：（1）解法1：則，即 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當(dāng)時，有所以向量的長度的最大值為2.解法2：，當(dāng)時，有，即，的長度的最大值為2.（2）解法1：由已知可得。，即。由，得，即。,于是。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解法2：若，則，又由，得，即，平方后化簡得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解得或，經(jīng)檢驗，即為所求18（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效） 如圖，四棱錐SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且（）求證：對任意的，都有（）設(shè)二面角CAED的大小為，直線BE與平面ABCD所成的角為，若，求的值w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 18.（）證法1：如圖1，連接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得ACBD。 SD平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，ACBE（）解法1：如圖1，由SD平面ABCD知，DBE= , SD平面ABCD，CD平面ABCD, SDCD。 又底面ABCD是正方形， CDAD，而SD AD=D，CD平面SAD.連接AE、CE，過點(diǎn)D在平面SAD內(nèi)作DEAE于F，連接CF，則CFAE，故CDF是二面角C-AE-D的平面角，即CDF=。在RtBDE中，BD=2a，DE=在RtADE中, 從而在中，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由，得.由，解得，即為所求.（I） 證法2：以D為原點(diǎn)，的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如 圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則 D（0，0，0），A（，0，0），B（，0），C（0，0），E（0，0）， ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 即。（II） 解法2：由（I）得.設(shè)平面ACE的法向量為n=(x，y，z)，則由得。 易知平面ABCD與平面ADE的一個法向量分別為. . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 0， . 由于，解得，即為所求。19、（本小題滿分13分）（注意：在試題卷上作答無效）已知數(shù)列的前n項和（n為正整數(shù)）。（）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（）令，試比較與的大小，并予以證明。19.解析：（I）在中，令n=1，可得，即當(dāng)時，. . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又?jǐn)?shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列. 于是.(II)由（I）得，所以由-得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 于是確定的大小關(guān)系等價于比較的大小由 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 可猜想當(dāng)證明如下：證法1：（1）當(dāng)n=3時，由上驗算顯示成立。（2）假設(shè)時所以當(dāng)時猜想也成立綜合（1）（2）可知 ，對一切的正整數(shù)，都有證法2：當(dāng)時綜上所述，當(dāng)，當(dāng)時20、（本小題滿分14分）（注意：在試題卷上作答無效）過拋物線的對稱軸上一點(diǎn)的直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，自M、N向直線作垂線，垂足分別為、。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）當(dāng)時，求證：；（）記、 、的面積分別為、，是否存在，使得對任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，說明理由。20題。本小題主要考察拋物線的定義和幾何性質(zhì)等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運(yùn)算的能力。（14分）解：依題意，可設(shè)直線MN的方程為，則有由消去x可得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 從而有 于是 又由，可得 （）如圖1，當(dāng)時，點(diǎn)即為拋物線的焦點(diǎn)，為其準(zhǔn)線此時 可得證法1：證法2： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()存在，使得對任意的，都有成立，證明如下：證法1：記直線與x軸的交點(diǎn)為,則。于是有 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 將、代入上式化簡可得上式恒成立，即對任意成立w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 證法2：如圖2，連接,則由可得,所以直線經(jīng)過原點(diǎn)O，同理可證直線也經(jīng)過原點(diǎn)O又設(shè)則21.(本小題滿分14分) （注意：在試題卷上作答無效） 在R上定義運(yùn)算