【高考輔導(dǎo)資料】2010年高考壓軸題跟蹤演練系列一

備戰(zhàn)2010高考數(shù)學(xué)壓軸題跟蹤演練系列一1（12分）已知拋物線、橢圓和雙曲線都經(jīng)過點，它們在軸上有共同焦點，橢圓和雙曲線的對稱軸是坐標(biāo)軸，拋物線的頂點為坐標(biāo)原點.（）求這三條曲線的方程；（）已知動直線過點，交拋物線于兩點，是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由.解：（）設(shè)拋物線方程為，將代入方程得（1分）由題意知橢圓、雙曲線的焦點為（2分）對于橢圓，（4分）對于雙曲線，（6分）（）設(shè)的中點為，的方程為：，以為直徑的圓交于兩點，中點為令（7分）（12分）2（14分）已知正項數(shù)列中，點在拋物線上；數(shù)列中，點在過點，以方向向量為的直線上.（）求數(shù)列的通項公式；（）若，問是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，說明理由；（）對任意正整數(shù)，不等式成立，求正數(shù)的取值范圍.解：（）將點代入中得（4分）（）（5分）（8分）（）由（14分）3.（本小題滿分12分）將圓O: 上各點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?(橫坐標(biāo)不變), 得到曲線C.(1) 求C的方程;(2) 設(shè)O為坐標(biāo)原點, 過點的直線l與C交于A、B兩點, N為線段AB的中點,延長線段ON交C于點E.求證: 的充要條件是.解: (1)設(shè)點, 點M的坐標(biāo)為,由題意可知(2分)又.所以, 點M的軌跡C的方程為.(4分)(2)設(shè)點, , 點N的坐標(biāo)為,當(dāng)直線l與x軸重合時, 線段AB的中點N就是原點O, 不合題意,舍去; (5分)設(shè)直線l: 由消去x, 得(6分),點N的坐標(biāo)為.(8分)若, 坐標(biāo)為, 則點E的為, 由點E在曲線C上, 得, 即 舍去). 由方程得又.(10分)若, 由得點N的坐標(biāo)為, 射線ON方程為: ,由 解得 點E的坐標(biāo)為.綜上, 的充要條件是.(12分)4.（本小題滿分14分）已知函數(shù).(1) 試證函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱;(2) 若數(shù)列的通項公式為, 求數(shù)列的前m項和(3) 設(shè)數(shù)列滿足: , . 設(shè).若(2)中的滿足對任意不小于2的正整數(shù)n, 恒成立, 試求m的最大值.解: (1)設(shè)點是函數(shù)的圖象上任意一點, 其關(guān)于點的對稱點為.由 得所以, 點P的坐標(biāo)為P.(2分)由點在函數(shù)的圖象上, 得. 點P在函數(shù)的圖象上.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱. (4分)(2)由(1)可知, , 所以,即(6分)由, 得 由, 得(8分)(3) , 對任意的. 由、, 得即.(10分)數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.關(guān)于n遞增. 當(dāng), 且時, .(12分)即 m的最大值為6. (14分)5（12分）、是橢圓的左、右焦點，是橢圓的右準(zhǔn)線，點，過點的直線交橢圓于、兩點.（1） 當(dāng)時，求的面積；（2） 當(dāng)時，求的大小；（3） 求的最大值.解：（1）（2）因，則（1） 設(shè) ，當(dāng)時，6（14分）已知數(shù)列中，當(dāng)時，其前項和滿足，（2） 求的表達(dá)式及的值；（3） 求數(shù)列的通項公式；（4） 設(shè)，求證：當(dāng)且時，.解：（1）所以是等差數(shù)列.則.（2）當(dāng)時，綜上，.（3）令，當(dāng)時，有 （1）法1：等價于求證.當(dāng)時，令，則在遞增.又，所以即.法（2） （2） （3）因，所以由（1）（3）（4）知.法3：令，則所以因則，所以 （5）由（1）（2）（5）知7 (本小題滿分14分)第21題設(shè)雙曲線=1( a 0, b 0 )的右頂點為A，P是雙曲線上異于頂點的一個動點，從A引雙曲線的兩條漸近線的平行線與直線OP分別交于Q和R兩點.(1) 證明：無論P點在什么位置，總有|2 = | ( O為坐標(biāo)原點)；(2) 若以O(shè)P為邊長的正方形面積等于雙曲線實、虛軸圍成的矩形面積，求雙曲線離心率的取值范圍；解：(1) 設(shè)OP：y = k x, 又條件可設(shè)AR: y = (x a ), 解得：= (,), 同理可得= (,), | =|+| =. 4分 設(shè) = ( m, n ) , 則由雙曲線方程與OP方程聯(lián)立解得:m2 =, n2 = , |2 = :m2 + n2 = +