自動(dòng)控制原理典型例題.ppt

1,例4-1系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： 當(dāng)A和kg取不同值時(shí)，繪出的根軌跡是什么類(lèi)型的根軌跡。,解分以下幾種情況說(shuō)明： Kg為常數(shù)，A為變數(shù)時(shí)，為參量根軌跡； A為常數(shù)，kg為變數(shù)時(shí)，為常規(guī)根軌跡（包括180度和0度根軌跡）； 當(dāng)kg0時(shí)，若A0，則為180度根軌跡；若A0，則為0度根軌跡；若A0，為180度根軌跡。,2,例4-2已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 （1）畫(huà)出系統(tǒng)的根軌跡；（2）計(jì)算當(dāng)增益k為何值時(shí)，系統(tǒng)的阻尼比 是 ，并求此時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)特征根；（3）分析k對(duì)系統(tǒng)性能的影響。,3,當(dāng) 時(shí)，阻尼角 ，表示 角的直線為OB,其方程為 ，代入閉環(huán)特征方程整理后得： 令實(shí)部和虛部分別為零，有 解得 由圖可知當(dāng) 時(shí)直線OB與圓相切，系統(tǒng)的阻尼比 ，特征根為 。,4,對(duì)于分離點(diǎn) ，由幅值條件可知 對(duì)于會(huì)合點(diǎn) ，有 由根軌跡圖可知，當(dāng) 時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)不等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，其瞬態(tài)響應(yīng)呈過(guò)阻尼狀態(tài)。當(dāng) 時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，其瞬態(tài)響應(yīng)呈欠阻尼狀態(tài)。當(dāng) 時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)又有一對(duì)不等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，瞬態(tài)響應(yīng)又呈過(guò)阻尼狀態(tài)。,5,例4-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。試?yán)L制以a為參變量時(shí)的根軌跡。,解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,用不含參數(shù)a的項(xiàng)去除閉環(huán)特征方程的兩邊，有：,閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：,畫(huà)出以a為參變量的根軌跡：,6,例4-3系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。試?yán)L制 的根軌跡。并說(shuō)明閉環(huán)系統(tǒng)呈現(xiàn)欠阻尼狀態(tài)是的開(kāi)環(huán)增益范圍。,解這里要畫(huà)以k*參量根軌跡。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,閉環(huán)特征方程為：,等效為：,等效開(kāi)環(huán)零點(diǎn)為：0，-3,等效開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為：,7,例4-3（續(xù)1）,8,例4-3（續(xù)2）,其分離回合點(diǎn)計(jì)算如下：,根據(jù)：,整理得：,由根軌跡圖可以看出，分離回合點(diǎn)在-3，0區(qū)間，所以分離回合點(diǎn)為-1.243。對(duì)應(yīng)的根軌跡增益k*為：,當(dāng)k*在0，0.95范圍內(nèi)，閉環(huán)系統(tǒng)呈現(xiàn)欠阻尼狀態(tài)。,9,例4-4控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)： 。試?yán)L制當(dāng)kg從0到正無(wú)窮大時(shí)的根軌跡。,解,10,例4-5系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下。1、畫(huà)出根軌跡。2、求當(dāng)k=5時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)的位置。,解 1、系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：,開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為,求漸進(jìn)線：,11,求極點(diǎn) 的出射角：,求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：,列勞思陣列如下：,例4-5（續(xù)1）,12,例4-5（續(xù) 2）,當(dāng)k=12時(shí)，輔助方程為： ，解得：,13,2、當(dāng)k=5時(shí)，閉環(huán)特征方程為：,例4-5（續(xù) 3）,解方程可知，系統(tǒng)的4個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為：,該例中，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有零極點(diǎn)相消。在畫(huà)根軌跡時(shí)，可以畫(huà)相消后的系統(tǒng)根軌跡。但是，要把消去的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)補(bǔ)上。檢驗(yàn)一下消去的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)是否閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)。若是的話，在考慮主導(dǎo)極點(diǎn)的時(shí)候，要把該極點(diǎn)考慮進(jìn)去。本例中，顯然消掉的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)也是閉環(huán)極點(diǎn)。,14,例5-1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右：試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性并討論穩(wěn)定性和k的關(guān)系。,解：開(kāi)環(huán)系統(tǒng)奈氏圖是一個(gè)半徑為 ，圓心在 的圓。顯然，k=1時(shí)，包圍(-1,j0)點(diǎn)，k1時(shí)不包圍(-1,j0)點(diǎn)。,由圖中看出：當(dāng)k1時(shí)，奈氏曲線逆時(shí)針包圍 (-1,j0)點(diǎn)一圈，N=-1，而 ，則 閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,15,以上是根據(jù)畫(huà)圖得出的結(jié)論，事實(shí)上，我們可以通過(guò)計(jì)算來(lái)確定乃氏曲線與實(shí)、虛軸的交點(diǎn)。,當(dāng)虛部為零時(shí)，可求得： ，則乃氏曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)為： 。同樣可以發(fā)現(xiàn)，乃氏曲線與虛軸沒(méi)有交點(diǎn)。以某一個(gè)k值畫(huà)出乃氏曲線，發(fā)現(xiàn)乃氏曲線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所以，當(dāng)k1時(shí)，曲線逆時(shí)針包圍-1點(diǎn)，當(dāng)k1時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。,例5-1（續(xù)）,16,例5-2系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： ，試問(wèn)當(dāng)k=20時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定？,解思路：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，開(kāi)環(huán)相位穩(wěn)定裕度 大于零。即當(dāng)頻率等于幅值穿越頻率 時(shí)， 。所以先求幅值穿越頻率，再求相位穩(wěn)定裕度 。,解得：,則相位穩(wěn)定裕度為：,所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，并且有一定相角裕度。,考慮一下：當(dāng)k=20時(shí)，為了保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，延遲環(huán)節(jié)的延遲時(shí)間最大可取多少？ 當(dāng)延遲時(shí)間一定時(shí)，為了保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，k的臨界值是多少？,17,例5-3已知最小相位系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖所示。試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解求出穿越頻率處的相角，計(jì)算相角穩(wěn)定裕度，若相角穩(wěn)定裕度大于零，則系統(tǒng)穩(wěn)定。,由圖知：低頻段漸進(jìn)線斜率為-40，表明系統(tǒng)有兩個(gè)s=0開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。在w=2處，斜率變化為-20，表明遇到一個(gè)一階微分環(huán)節(jié)。在w=10處，斜率變化為-40，表明遇到一個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)。據(jù)此有：,18,例5-3（續(xù)）,設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)放大系數(shù)為K，有：20=logK-vlogw，當(dāng)w=1時(shí)，解得：K=10。故系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：,解得：,系統(tǒng)的相角穩(wěn)定裕量為： ，系統(tǒng)穩(wěn)定。,穿越頻率處的相角為：,19,例5-4系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖a所示。其中G2(s)為最小相位環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)的頻率特性如圖b所示，用乃氏判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。( ),k,G2(s),圖a,解由圖b知，G2(s)應(yīng)為零型環(huán)節(jié)，且有：,可知：,20,系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：,k,G2(s),-1,例5-4（續(xù)1）,假設(shè)k=0,21,例5-4（續(xù)2）,完整的乃氏圖見(jiàn)下頁(yè)。,22,例5-4（續(xù)3）,23,畫(huà)出完整的映射圖，可知：順時(shí)針繞-1點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一圈。而系統(tǒng)無(wú)開(kāi)環(huán)右半極點(diǎn)，所以在k0的情況下，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,例5-4（續(xù)4）,同樣，當(dāng)k0時(shí)，畫(huà)出系統(tǒng)乃氏圖如下頁(yè)所示。并畫(huà)出完整的映射圖，可知：順時(shí)針繞-1點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)2圈。而系統(tǒng)無(wú)開(kāi)環(huán)右半極點(diǎn)，所以在k0的情況下，閉環(huán)系統(tǒng)也不穩(wěn)定。,24,例5-4