（黃岡名師）高考數(shù)學核心素養(yǎng)提升練五十五10.9圓錐曲線中的最值與范圍問題理（含解析）新人教A版.docx

核心素養(yǎng)提升練五十五圓錐曲線中的最值與范圍問題(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.過直線y=2x+3上的點作圓x2+y2-4x+6y+12=0的切線,則切線長的最小值為()A.B.2C.D.【解析】選A.在直線y=2x+3上任取一點P(x,y),作圓的切線,設切點為M.圓x2+y2-4x+6y+12=0即(x-2)2+(y+3)2=1,圓心為C(2,-3),半徑為r=1,切線長為=,|PC|min=2 ,所以切線長的最小值為=.2.已知動點P(x,y)在橢圓+=1上,若A點坐標為(3,0),|=1,且=0,則|的最小值是()A.B.C.2D.3【解析】選B.由|=1可知點M的軌跡為以點A為圓心,1為半徑的圓,過點P作該圓的切線PM,則|PA|2=|PM|2+|AM|2,得|PM|2=|PA|2-1,所以要使得|的值最小,則要的值最小,而的最小值為a-c=2, 此時|的值最小為.3.(2018成都模擬)若直線l過拋物線C:y2=4x的焦點F交拋物線C于A,B兩點,則+的取值范圍為()A.1 B.(0,1C.1,+) D.,1【解析】選A.拋物線C:y2=4x的焦點F的坐標為(1,0),準線方程為x=-1.設過點F的直線l的斜率k存在,則直線的方程為y=k(x-1).代入拋物線方程,得k2(x-1)2=4x,化簡得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=1.根據(jù)拋物線性質(zhì)可知,|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,所以+=+=1.當直線l的斜率不存在時,直線的方程為x=1,把x=1代入y2=4x得y=2,所以+=1.4.(2018秦皇島模擬)設P是橢圓+=1上一點,M,N分別是兩圓:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的點,則|PM|+|PN|的最小值、最大值分別為()A.9,12B.8,11C.8,12D.10,12【解析】選C.如圖,由橢圓及圓的方程可知兩圓圓心分別為橢圓的兩個焦點,由橢圓定義知|PA|+|PB|=2a=10,連接PA,PB分別與圓相交于M,N兩點,此時|PM|+|PN|最小,最小值為|PA|+|PB|-2R=8;連接PA,PB并延長,分別與圓相交于M,N兩點,此時|PM|+|PN|最大,最大值為|PA|+|PB|+2R=12,即最小值和最大值分別為8,12.【變式備選】如果方程+=1表示焦點在y軸上的橢圓,則實數(shù)m的取值范圍是()A.3mC.3mD.m4-m0,所以m0)漸近線斜率大于,e=.答案:【變式備選】過拋物線y2=2x的焦點作一條直線與拋物線交于A,B兩點,它們的橫坐標之和等于2,則這樣的直線有且只有_條.【解析】設該拋物線焦點為F,A(xA,yA),B(xB,yB),則|AB|=|AF|+|FB|= xA+xB+=xA+xB+1=32p=2.所以符合條件的直線有且只有兩條.答案:兩8.(2018 衡水模擬)已知直線l:y=2x-4交拋物線y2=4x于A,B兩點,在拋物線AOB這段曲線上有一點P,則APB的面積的最大值為_.【解析】由弦長公式知|AB|=3,只需點P到直線AB距離最大就可保證APB的面積最大.設與l平行的直線y=2x+b(b-4)與拋物線相切,解得b=.所以d=,所以(SAPB)max =3=.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2018新鄉(xiāng)模擬)設O為坐標原點,已知橢圓C1:+=1(ab0)的離心率為,拋物線C2x2=-ay的準線方程為y=.(1)求橢圓C1和拋物線C2的方程.(2)設過定點M(0,2)的直線l與橢圓C1交于不同的兩點P,Q,若O在以PQ為直徑的圓的外部,求直線l的斜率k的取值范圍.【解析】(1)由已知=,所以a=2,拋物線C2的方程為x2=-2y,又e=,所以c=,b=1,所以橢圓C1的方程為+y2=1.(2)顯然直線x=0不滿足條件,可設直線l方程為y=kx+2,P(x1,y1),Q(x2,y2).由得(1+4k2)x2+16kx+12=0.因為=(16k)2-412(1+4k2)0,所以k-,-,+,x1+x2=,x1x2=,由已知0POQ0,所以=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=+2k+4=0,所以-2kb0)的右焦點為F2(3,0),離心率為e.(1)若e=,求橢圓的方程.(2)設直線y=kx與橢圓相交于A,B兩點,M,N分別為線段AF2,BF2的中點.若坐標原點O在以MN為直徑的圓上,且e,求k的取值范圍.【解析】(1)由已知得a=2,a2=12,又a2=b2+c2,解得b2=3.所以橢圓的方程為+=1.(2)由得(b2+a2k2)x2-a2b2=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=0,x1x2=,由已知可得,OMON,易證四邊形OMF2N為平行四邊形,所以AF2BF2,因為=(x1-3,y1),=(x2-3,y2),所以=(x1-3)(x2-3)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0,即+9=0,整理為k2=-=-1-,因為e,所以2a3,12a2b0)經(jīng)過點,離心率為,點A為橢圓C的右頂點,直線l與橢圓相交于不同于點A的兩個點P(x1,y1),Q(x2,y2).(1)求橢圓C的標準方程.(2)當=0時,求OPQ面積的最大值.【解析】(1)由已知得所以橢圓C的標準方程為+y2=1.(2)當直線l的斜率不存在時,設l:x=m,與+y2=1聯(lián)立,得P,Q.因為=0,所以(m-2)2-=0,解得m=或2(舍),所以|PQ|=,OPQ的面積為.當直線l的斜率存在時,由已知k0,設l:y=kx+m,與+y2=1聯(lián)立,整理得(4k2+1)x2+8kmx+4(m2-1)=0,由0得4k2-m2+10,所以x1+x2=-,x1x2=(*)因為=0,所以(x1-2)(x2-2)+y1y2=(k2+1)x1x2+(km-2)(x1+x2)+(m2+4)=0,將(*)式代入得12k2+5m2+16km=0