高中數(shù)學(xué)1-3-2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)復(fù)習(xí)課件新人教A版.ppt

“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì),1.了解楊輝三角，并能由它解決簡單的二項式系數(shù)問題. 2.了解二項式系數(shù)的性質(zhì)并能簡單應(yīng)用. 3.掌握“賦值法”并會靈活應(yīng)用.,本節(jié)重點是二項式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用 本節(jié)難點是楊輝三角的特點,1.楊輝三角的特點 (1)在同一行中,每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數(shù) _； (2)在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩 個數(shù)的_，即 _.,相等,和,2.二項式系數(shù)的性質(zhì),增大,減小,在(ab)n展開式中，與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等，即_,當(dāng)k 時，二項式系數(shù)是逐漸_的； 當(dāng)k 時，二項式系數(shù)是逐漸_的.,當(dāng)n為偶數(shù)時，中間的一項_取得最大； 當(dāng)n為奇數(shù)時，中間的兩項_，_相等，且同時取得最大值.,1.觀察楊輝三角，歸納猜想出第幾行的各個數(shù)字都是奇數(shù)？ 提示：從表中可看出第一行、第二行、第四行、第八行都是奇數(shù)，歸納得出第2n1行(n1,2,3)都是奇數(shù). 2.(1-x)10的展開式中二項式系數(shù)之和為_. 【解析】(a+b)n展開式的二項式系數(shù)之和為2n，只與n有關(guān).故二項式系數(shù)之和為210. 答案：210,3.(1-x)10的展開式中各項系數(shù)之和為_. 【解析】令x=1即可得到各項系數(shù)之和為0. 答案：0,1.關(guān)于“楊輝三角”的規(guī)律拓展 (1)楊輝三角的第2n1行各個數(shù)都是奇數(shù). (2)如圖(1)，第n條橫線與第n1條橫線數(shù)字之和等于第n2條橫線上數(shù)字之和.,(3)如圖(2)，每一斜行任取n個數(shù)字之和都等于第n個數(shù)字右下“腳”的數(shù)字.,2.對二項式系數(shù)性質(zhì)的深層理解 (1)對稱性：源于組合數(shù)的性質(zhì) ，基礎(chǔ)是 ，然后從左右向中間靠攏，便有 (2)最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時，(ab)n的展開式共n1項，n1是奇數(shù)，這時展開式的形式是 中間一項是第 1項，它的二項式系數(shù)是 ，它是所有二項式系數(shù)中的最大值；,當(dāng)n是奇數(shù)時，(ab)n的展開式共有n1項，n1是偶數(shù)，這時展開式的形式是 中間兩項是第 項，它們的二項式系數(shù)是： 、 ，這兩個系數(shù)相等，并且是所有二項式系數(shù)中的最大值.,楊輝三角的有關(guān)問題 【技法點撥】 楊輝三角問題解決的一般方法 觀察-分析；實驗-猜想；結(jié)論證明，要得到楊輝三角中蘊含的諸多規(guī)律，取決于我們的觀察能力，觀察能力有：橫看、豎看、斜看、連續(xù)看、隔行看，從多角度觀察.如表所示：,表達(dá),規(guī)律,觀察,結(jié)論,對數(shù)據(jù)要橫看、豎看、斜看、連續(xù)看、 隔行看，多角度觀察,通過觀察找出每一行的數(shù)之間, 行與行之間的數(shù)據(jù)的規(guī)律,將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用數(shù)學(xué)式子表達(dá),由數(shù)學(xué)表達(dá)式得出結(jié)論,【典例訓(xùn)練】 1.如圖所示，滿足第n行首尾兩數(shù)均為n；表中的遞推關(guān)系類似楊輝三角，則第n行(n2)的第2個數(shù)是_.,2.將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖所示的 0-1三角數(shù)表.從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，第n次全行的數(shù)都為1的是第_行；第61行中1的個數(shù)是_.,【解析】1.由圖中數(shù)字規(guī)律可知，第n行的第2個數(shù)是123(n1)1 答案： 2.觀察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都為1，故第n次全行的數(shù)都為1的是第2n-1行；n=626-1=63，故第63行共有64個1，逆推知第62行共有32個1，第61行共有32個1. 答案：2n -1 32,【變式訓(xùn)練】如圖所示，在楊輝三角中，斜線AB上方箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形的數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10，記這個數(shù)列的前n項和為Sn，求S19.,【解析】由題干圖知，數(shù)列中的首項是 ，第2項是 ，第3項是 ，第4項是 ，第17項是 ，第18項是 ，第19項是 S19 ,有關(guān)二項式及系數(shù)和的問題 【技法點撥】 1.解決二項式系數(shù)和問題思維流程,求 二 項 式 系 數(shù) 的 和,切入點,思考點,思維流程,對式子中的x賦值，目的是將 二項式的系數(shù)分離出來,怎么對x賦值?,展開式的常數(shù)項和最高次項系數(shù)如何求出？,如何得到所求值的代數(shù)關(guān)系?,對x賦值,變形,結(jié)論,2.賦值法 (1)“賦值法”是求二項展開式系數(shù)問題常用的方法，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解決問題時要避免漏項等情況. (2)一般地，二項展開式f(x)的各項系數(shù)和為f(1)，奇次項系數(shù)和為 f(1)-f(-1)，偶次項系數(shù)和為 f(1)+f(-1),【典例訓(xùn)練】 展開式中不含x4項的系數(shù)的和為( ) (A)1 (B)0 (C)1 (D)2 2.在 的展開式中，所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和 為1 024，則中間項系數(shù)是_. 3.若(3x-1)7=a7x7+a6x6+a1x+a0， 求：(1)a1+a2+a7； (2)a1+a3+a5+a7； (3)a0+a2+a4+a6.,【解析】1.選B.令 =a0+a1x+a8x4，令x=1，得a0+a1+a8= 含x4項的系數(shù)為 ，所以不含x4的項的系數(shù)和為1-1=0. 2.二項式的展開式中所有項的二項式系數(shù)和為2n，而所有偶 數(shù)項的二項式系數(shù)和與所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和相等，故由 題意知2n-1=1 024，n=11，展開式共12項，中間項為第六 項、第七項，其系數(shù)為 答案：462,3.(1)令x=0，則a0=-1， 令x=1，則 a7+a6+a1+a0=27=128， a1+a2+a7=129. (2)令x=-1，則 -a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-4)7. 由 ，得 a1+a3+a5+a7= 128-(-4)7=8 256.,(3)由 ，得 a0+a2+a4+a6 = (a7+a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0)+(-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0) = 128+(-4)7=-8 128.,【互動探究】題1的條件不變，求不含常數(shù)項的系數(shù)和為多少？ 【解題指南】先求出常數(shù)項，再結(jié)合所有系數(shù)和求解. 【解析】常數(shù)項為28=256，所以不含常數(shù)項的系數(shù)和為 1-256=-255.,【思考】解決題1，2的關(guān)鍵點及解決題3的方法是什么？ 提示：(1)解決題1，2的關(guān)鍵是采用賦值法逆向求解. (2)形如題3常見的方法是賦值法.,【變式訓(xùn)練】已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7， 求：(1)a1+a2+a7； (2)a1+a3+a5+a7； (3)|a0|+|a1|+|a7|. 【解析】(1)當(dāng)x=1時，(1-2x)7=(1-2)7=-1， 展開式右邊為a0+a1+a2+a7， a0+a1+a2+a7=-1， 當(dāng)x=0時，a0=1， a1+a2+a7=-1-1=-2，,(2)令x=1， a0+a1+a2+a7=-1 令x=-1， a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37 - 得：2(a1+a3+a5+a7)=-1-37， a1+a3+a5+a7=,(3)由展開式知：a1，a3，a5，a7均為負(fù)，a0，a2，a4，a6均為正， 由(2)中+ 得：2(a0+a2+a4+a6)=-1+37， a0+a2+a4+a6= |a0|+|a1|+|a7|=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7 =(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=37.,利用二項式系數(shù)的性質(zhì)解相關(guān)問題 【技法點撥】 二項式系數(shù)的最大項與展開式中系數(shù)的最大項的求法 (1)求二項式系數(shù)的最大項，可根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)最大，當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大.,(2)求展開式中系數(shù)的最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的，需要根據(jù)各項系數(shù)的正、負(fù)變化情況，一般采用列不等式組，解不等式組求范圍的方法求得.,【典例訓(xùn)練】 1.(x-2y)7展開式中系數(shù)最大的項為_. 2.在(x-y)11的展開式中，解答下列問題： (1)通項Tr+1； (2)二項式系數(shù)最大的項； (3)項的系數(shù)絕對值最大的項； (4)項的系數(shù)最大的項； (5)項的系數(shù)最小的項；,(6)二項式系數(shù)的和； (7)各項系數(shù)的和. 【解析】1.展開式中共有8項，系數(shù)最大項必為正項，即在第一、三、五、七這四項中取得，又因(x-2y)7括號內(nèi)兩項中后項系數(shù)絕對值大于前項系數(shù)的絕對值，故系數(shù)最大項必在中間或偏右，故只需要比較T5和T7兩項系數(shù)大小即可. 系數(shù)最大的項是第五項，,2.(1) (2)二項式系數(shù)最大的項為中間兩項： (3)項的系數(shù)絕對值最大的項也是中間兩項： (4)因為中間兩項系數(shù)的絕對值相等，一正一負(fù)，第7項為正，故項的系數(shù)最大的項為,(5)項的系數(shù)最小的項為 (6)二項式系數(shù)的和為 (7)各項系數(shù)和為(1-1)11=0.,【互動探究】若將題1改為“(x+2y)7”如何求解. 【解題指南】求展開式中的二項式系數(shù)最大的項，首先要分清n的奇偶，才能把握最大項是一項還是兩項. 一般是列出不等式組，假設(shè)第r+1項系數(shù)最大，則第r+1項的系數(shù)就大于等于它前面所有項的系數(shù)，同時又大于等于它后面所有項的系數(shù)即可.,【解析】設(shè)r+1項系數(shù)最大，則有 即 又0r7，r=5， 系數(shù)最大的項為,【想一想】解決題2的關(guān)鍵點和注意事項是什么？ 提示：(1)讀清題意是解決題2的關(guān)鍵，注意“系數(shù)絕對值最大”、“二項式系數(shù)最大”、“系數(shù)最大”、“系數(shù)最小”等幾個關(guān)鍵詞，靈活選取方法. (2)借助前問解題，如(4)(5)兩問，只需將(3)問進(jìn)行簡單分析即可，在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)加以重視.,【變式訓(xùn)練】(2012梅州高二檢測)(1)在 的二項展開式中所有奇數(shù)項的系數(shù)之和為512，求展開式的所有有理項(指數(shù)為整數(shù)). (2)求(1-x)3+(1-x)4+(1-x)n展開式中x2項的系數(shù).,【解析】(1) n-1=9,n=10， = Z,r=0,6. 所以有理項為 (2) x2項的系數(shù)為,【易錯誤區(qū)】審題疏忽導(dǎo)致計算錯誤 【典例】已知(2x1)n二項展開式中，奇次項系數(shù)的和比偶次項系數(shù)的和小38，則 的值為( ) (A)28 (B)28-1 (C)27 (D)27-1,【解題指導(dǎo)】,【解析】選B.設(shè)(2x1)na0a1xa2x2anxn，且奇次項的系數(shù)和為A，偶次項的系數(shù)和為B. 則Aa1a3a5，Ba0a2a4a6 由已知可知：BA38.令x1， 得：a0a1a2a3an(1)n(3)n， 即：(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)(3)n，即：BA(3)n. (3)n38(3)8，n8. 由二項式系數(shù)性質(zhì)可得：,【閱卷人點撥】通過閱卷后分析，對解答本題的常見錯誤及解題啟示總結(jié)如下：,【即時訓(xùn)練】(2012武威高二檢測)若 展開式的各項系數(shù)之和為32，其展開式中的常數(shù)項為_(用數(shù)字作答). 【解析】令x=1得 展開式的各項系數(shù)之和為2n,由題意知2n=32,故n=5， 展開式的通項式是 令10-5r=0得r=2. 因此展開式中的常數(shù)項為 答案：10,1.已知(2-x)10=a0+a1x+a2x2+a10x10，則a8=( ) (A)180 (B)-180 (C)45 (D)-45 【解析】選A.,2.(1-x)13展開式中系數(shù)最小的項為( ) (A)第六項 (B)第七項 (C)第八項 (D)第九項 【解析】選C.展開式共有14項，中間兩項(第七、八項)的二項式系數(shù)最大，由于二項展開式中二項式系數(shù)和項的系數(shù)滿足：奇數(shù)項相等，偶數(shù)項互為相反數(shù)，所以系數(shù)最小的項為第八項，系數(shù)最大的項為第七項.,3.(2x-6y)20的各項系數(shù)和為_. 【解