有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì).ppt

第6章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),6.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn) 6.2 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器 6.3 利用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器 6.4 利用切比雪夫逼近法設(shè)計(jì)FIR濾波器 6.5 IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較,設(shè)FIR濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)長(zhǎng)度為N，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為： H(z)是 的N-1次多項(xiàng)式，它在z平面上有N-1個(gè)零點(diǎn)，原點(diǎn)z=0是N-1階重極點(diǎn)。因此H(z)永遠(yuǎn)穩(wěn)定。 穩(wěn)定和線性相位是FIR濾波器突出的優(yōu)點(diǎn)。,6.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn),本節(jié)主要介紹FIR濾波器具有線性相位的條件及幅度特性。 1. 線性相位條件 對(duì)于長(zhǎng)度為N的h(n)，傳輸函數(shù)定義為,(6.1.1),(6.1.2),式中，Hg()稱為幅度特性，()稱為相位特性。注意，這里Hg()不同于|H(ej)|,Hg()為的實(shí)函數(shù)，可能取負(fù)值，而|H(ej)|總是正值。H(ej)線性相位是指()是的線性函數(shù)，即 ()=-, 為常數(shù) (6.1.3) 如果()滿足下式： ()=0-, 0是起始相位 (6.1.4) 嚴(yán)格地說(shuō)，此時(shí)()不具有線性相位，但以上兩種情況都滿足群時(shí)延是一個(gè)常數(shù)，即,一般稱滿足(6.1.3)式是第一類線性相位；滿足(6.1.4)式為第二類線性相位。 下面推導(dǎo)與證明滿足第一類線性相位的條件是： h(n)是實(shí)序列且對(duì)(N-1)/2偶對(duì)稱，即 h(n)=h(N-n-1) (6.1.5) 滿足第二類線性相位的條件是： h(n)是實(shí)序列且對(duì)(N-1)/2奇對(duì)稱，即 h(n)=-h(N-n-1) (6.1.6),(1) 第一類線性相位條件證明：,將(6.1.5)式代入上式得,令m=N-n-1,則有,(6.1.7),按照上式可以將H(z)表示為,將z=e j代入上式，得到：,按照(6.1.2)式，幅度函數(shù)Hg()和相位函數(shù)分別為,(6.1.8),(6.1.9),(2) 第二類線性相位條件證明：,(6.1.10),令m=N-n-1,則有,同樣可以表示為,因此，幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為,(6.1.11),(6.1.12),該類線性相位FIR濾波器適合于在微分器及90度移相器中應(yīng)用，故又稱這類濾波器為正交變換網(wǎng)絡(luò)。,6.2 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器,設(shè)希望設(shè)計(jì)的濾波器傳輸函數(shù)為Hd(ej),hd(n)是與其對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)，因此,如果已知 則可求出hd(n)，經(jīng)過(guò)z變換可得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。 但是一般 逐段恒定，在邊界頻率處有不連續(xù)點(diǎn)，故致使hd(n)是無(wú)限時(shí)寬的，且是非因果序列。 例如：理想的低通濾波器的傳輸函數(shù),(6.2.1),相應(yīng)的單位取樣響應(yīng)hd(n)為,(6.2.2),為了構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)度為N的線性相位濾波器，只有將hd(n)截取一段，并保證截取的一段對(duì)(N-1)/2對(duì)稱。 設(shè)截取的一段用h(n)表示，即 h(n)=hd(n)RN(n) (6.2.3),圖6.2.1 理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗,我們知道Hd(ej)是一個(gè)以2為周期的函數(shù)，可以展開(kāi)為傅氏級(jí)數(shù)，即,對(duì)(6.2.3)式進(jìn)行傅里葉變換，根據(jù)復(fù)卷積定理，得到：,(6.2.4),式中，Hd(ej)和RN(ej)分別是hd(n)和RN(n)的傅里葉變換，即,(6.2.5),RN()稱為矩形窗的幅度函數(shù)；將Hd(ej)寫成下式：,按照(6.2.1)式，理想低通濾波器的幅度特性Hd()為,將Hd(ej)和RN(ej)代入(6.2.4)式，得到：,將H(ej)寫成下式：,(6.2.6),該式表明了濾波器的幅度特性等于理想低通濾波器的幅度特性 與矩形窗幅度特性 的卷積。,圖6.2.2 矩形窗對(duì)理想低通 幅度特性的影響,通過(guò)以上分析可知，對(duì)hd(n)加矩形窗處理后，H()和原理想低通Hd()差別有以下兩點(diǎn)： (1)在理想特性不連續(xù)點(diǎn)=c附近形成過(guò)渡帶。過(guò)渡帶的寬度，近似等于RN()主瓣寬度，即4/N。 (2)通帶內(nèi)增加了波動(dòng)，最大的峰值在c-2/N處。阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大的負(fù)峰在c+2/N處。通帶與阻帶中的波動(dòng)與窗函數(shù)的幅度譜有關(guān)系。RN()波動(dòng)越快(N加大時(shí))，通帶、阻帶波動(dòng)越快，RN()旁瓣的大小直接影響H()波動(dòng)的大小。,以上兩點(diǎn)就是對(duì)hd(n)用矩形窗截?cái)嗪?，在頻域的反映，稱為吉布斯效應(yīng)。,通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析：調(diào)整窗口的長(zhǎng)度N可以有效的控制過(guò)渡帶的寬度。減少帶內(nèi)波動(dòng)以及加大阻帶的衰減只能從窗函數(shù)的形狀上找解決辦法。 思路：能否找到窗函數(shù)的形狀，使其譜函數(shù)的主瓣包含更多的能量，相應(yīng)旁瓣幅度就減小了，旁瓣的減小可使通帶、阻帶波動(dòng)減小，從而加大阻帶衰減。,下面介紹幾種常用的窗函數(shù)。設(shè) h(n)=hd(n)w(n) 式中w(n)表示窗函數(shù)。 1. 矩形窗(Rectangle Window) wR(n)=RN(n) 前面已分析過(guò)，按照(6.2.5)式，其頻率響應(yīng)為,2. 三角形窗(Bartlett Window),(6.2.8),其頻率響應(yīng)為,(6.2.9),3. 漢寧(Hanning)窗升余弦窗,當(dāng)N1時(shí)，N-1N,圖6.2.3 漢寧窗的幅度特性,4. 哈明(Hamming)窗改進(jìn)的升余弦窗,(6.2.11),其頻域函數(shù)WHm (e j)為,其幅度函數(shù)WHm()為,當(dāng)N1時(shí)，可近似表示為,5. 布萊克曼(Blackman)窗,(6.2.13),其頻域函數(shù)為,其幅度函數(shù)為,(6.2.14),6. 凱塞貝塞爾窗(Kaiser-Basel Window),式中,I0(x)是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，可用下面級(jí)數(shù)計(jì)算：,圖6.2.4 常用的窗函數(shù),圖6.2.5 常用窗函數(shù)的幅度特性 (a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗； (d)哈明窗；(e)布萊克曼窗,圖6.2.6 理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5) (a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗； (d)哈明窗；(e)布萊克曼窗,表6.2.2 六種窗函數(shù)的基本參數(shù),MATLAB提供了窗函數(shù)的子程序：,1)w=boxcar(M)在數(shù)組w中產(chǎn)生M點(diǎn)的矩形窗函數(shù)； 2)w=triang(M)在數(shù)組w中產(chǎn)生M點(diǎn)的三角形窗函數(shù)； 3)w=hanning(M)在數(shù)組w中產(chǎn)生M點(diǎn)的hanning窗函數(shù)； 4)w=hamming(M)在數(shù)組w中產(chǎn)生M點(diǎn)的hamming窗函數(shù)； 5)w=blackman(M)在數(shù)組w中產(chǎn)生M點(diǎn)的blackman窗函數(shù)； 6)w=kaiser(M,beta)在數(shù)組w中產(chǎn)生beta值M點(diǎn)的矩形窗函數(shù)；,下面介紹用窗函數(shù)設(shè)計(jì)FIR濾波器的步驟。 (1)根據(jù)技術(shù)要求確定待求濾波器的單位取樣響應(yīng)hd(n)。如果給出待求濾波器的頻響為Hd(ej)，那么單位取樣響應(yīng)用下式求出： 如果Hd(ej)較復(fù)雜，或者不能用封閉的公式表示時(shí)，則不能用上式求出hd(n)?？梢詫?duì)Hd(ej)從0至 采樣M點(diǎn)，并用 代替(6.2.17)中的 ， (6.2.17)近似寫為：,(6.2.17),(6.2.18),根據(jù)頻率采樣定理，hM(n)與hd(n)應(yīng)滿足如下關(guān)系：,因此，如果M取得比較大，可以保證在窗口內(nèi)hM(n)有效的逼近hd(n)。實(shí)際計(jì)算時(shí)，可以用Hd(ej)的M點(diǎn)采樣值，進(jìn)行M點(diǎn)IDFT得到。 如果給出通帶阻帶衰減和邊界頻率的要求，可選用理想濾波器作為逼近函數(shù)，從而用理想濾波器的特性作傅立葉逆變換，求出hd(n)。,(2)根據(jù)對(duì)過(guò)渡帶及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估計(jì)窗口長(zhǎng)度N。設(shè)待求濾波器的過(guò)渡帶用表示，它近似等于窗函數(shù)主瓣寬度。因過(guò)渡帶近似與窗口長(zhǎng)度N成反比， ，A取決于窗口形式。 (3) 計(jì)算濾波器的單位取樣響應(yīng)h(n) h(n)=hd(n)w(n),其中 是已選好的窗函數(shù)。如果要求線性相位，則要求hd(n)和 均對(duì)(N-1)/2對(duì)稱。 (4)驗(yàn)算技術(shù)指標(biāo)是否滿足要求。設(shè)計(jì)出的濾波器頻率響應(yīng)用下式計(jì)算： 計(jì)算時(shí)可用FFT算法。如果H(ej)不滿足要求，根據(jù)具體情況重復(fù)(2),(3),(4)步，直到滿足要求。,例6.2.1 設(shè)計(jì)線性相位FIR低通濾波器，給定采樣頻率 ，通帶截止頻率 ，阻帶截止頻率 ，阻帶衰減不少于-50dB，幅度特性如圖所示。,解：1求各對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率。,2理想的低通線性相位濾波器 求 故 取 滿足線性相位。,3.由 確定窗函數(shù)形狀，確定N。 ，查表可選用哈明窗。 故 4.由 確定h(n).,故 5.檢驗(yàn)各項(xiàng)指標(biāo)是否滿足要求，不滿足則需改變N或窗形狀。,例 設(shè)計(jì)數(shù)字FIR低通濾波器，技術(shù)指標(biāo)如下：,解：使用hamming和blackman窗函數(shù)都能提供大于50dB阻帶衰減。這里選用hamming窗函數(shù)，它給出比較小的過(guò)渡帶，因此有較低的階。 wp = 0.2*pi; ws = 0.3*pi; tr_width = ws - wp M = ceil(8*pi/tr_width) n=0:1:M-1; wc = (ws+wp)/2 hd = ideal_lp(wc,M); w_ham = (hamming(M);,h = hd .* w_ham; db,mag,pha,grd,w = freqz(h,1); % plots subplot(1,1,1) subplot(2,2,1); stem(n,hd); title(Ideal Impulse Response) axis(0 M-1 -0.1 0.3); xlabel(n); ylabel(hd(n) subplot(2,2,2); stem(n,w_ham);title(Hamming Window) axis(0 M-1 0 1.1); xlabel(n); ylabel(w(n) subplot(2,2,3); stem(n,h);title(Actual Impulse Response) axis(0 M-1 -0.1 0.3); xlabel(n); ylabel(h(n) subplot(2,2,4); plot(w/pi,db);title(Magnitude Response in dB);grid axis(0 1 -100 10); xlabel(frequency in pi units); ylabel(Decibels) set(gca,XTickMode,manual,XTick,0,0.2,0.3,1) set(gca,YTickMode,manual,YTick,-50,0) set(gca,YTickLabelMode,manual,YTickLabels,50; 0),6.3 IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較,首先，從性能上來(lái)說(shuō)，IIR濾波器傳輸函數(shù)的極點(diǎn)可位于單位圓內(nèi)的任何地方，因此可用較低的階數(shù)獲得高的選擇性，所用的存貯單元少，所以經(jīng)濟(jì)而效率高。但是這個(gè)高效率是以相位的非線性為代價(jià)的，選擇性越好的IIR濾波器其相位特性越差。在相同的技術(shù)指標(biāo)下, IIR濾波器由于存在著輸出對(duì)輸入的反饋，可以用比FIR濾波器少的階數(shù)來(lái)滿足指標(biāo)的要求，所用存儲(chǔ)單元少，運(yùn)算次數(shù)少，較為經(jīng)濟(jì)。 FIR濾波器除了原點(diǎn)處的極點(diǎn)沒(méi)有可控制的極點(diǎn)，所以要獲得與IIR濾波器相同的技術(shù)指標(biāo)，其階數(shù)可能是IIR的5-10倍。,從結(jié)構(gòu)上看，IIR濾波器必須采用遞歸結(jié)構(gòu)，極點(diǎn)位置必須在單位圓內(nèi)，否則系統(tǒng)將不穩(wěn)定。 從設(shè)計(jì)工