優(yōu)化建模與LINGO第08章.ppt

優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件 第 8 章 目標規(guī)劃模型,內(nèi)容提要,8.1 線性規(guī)劃與目標規(guī)劃 8.2 目標規(guī)劃的數(shù)學模型 8.3 目標規(guī)劃模型的實例 8.4 數(shù)據(jù)包絡分析,8.1 線性規(guī)劃與目標規(guī)劃,線性規(guī)劃通?？紤]一個目標函數(shù)(問題簡單),目標規(guī)劃考慮多個目標函數(shù)(問題復雜),線性規(guī)劃,目標規(guī)劃,某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，需要用到A,B,C三種設備，關于產(chǎn)品的盈利與使用設備的工時及限制如下表所示。,例8.1 生產(chǎn)安排問題,問該企業(yè)應如何安排生產(chǎn)，使得在計劃期內(nèi)總利潤最大？,1. 線性規(guī)劃建模,該例8.1是一個線性規(guī)劃問題，直接考慮它的線性規(guī)劃模型,設甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x1, x2,建立線性規(guī)劃模型：,用Lindo或Lingo軟件求解,得到最優(yōu)解,2. 目標規(guī)劃建模,在上例8.1中，企業(yè)的經(jīng)營目標不僅要考慮利潤，還需要考慮多個方面，因此增加下列因素(目標)：,力求使利潤指標不低于1500元,考慮到市場需求,甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量比應盡量保持1:2,設備A為貴重設備，嚴格禁止超時使用,設備C可以適當加班，但要控制；設備B既要求充分利用，又盡可能不加班，在重要性上，設備B是設備C的3倍,從上述問題可以看出，僅用線性規(guī)劃方法是不夠的，需要借助于目標規(guī)劃的方法進行建模求解,某汽車銷售公司委托一個廣告公司在電視上為其做廣告，汽車銷售公司提出三個目標：,例8.2 汽車廣告費問題,廣告公司必須決定購買兩種類型的電視廣告展播各多少分鐘？,第一個目標，至少有40萬高收入的男性公民(記為HIM)看到這個廣告,第二個目標，至少有60萬一般收入的公民(記為LIP)看到這個廣告,第三個目標，至少有35萬高收入的女性公民(記為HIW)看到這個廣告,廣告公司可以從電視臺購買兩種類型的廣告展播：足球賽中插播廣告和電視系列劇插播廣告。廣告公司最多花費60萬元的電視廣告費。每一類廣告展播每一分鐘的花費及潛在的觀眾人數(shù)如下表所示,3.嘗試線性規(guī)劃建模,對于例8.2考慮建立線性規(guī)劃模型,設x1, x2分別是足球賽和電視系列劇中插播的分鐘數(shù)，按照要求，可以列出相應的線性規(guī)劃模型,用Lindo或Lingo軟件求解,會發(fā)現(xiàn)該問題不可行。,4. 線性規(guī)劃建模局限性,線性規(guī)劃要求所有求解的問題必須滿足全部的約束，而實際問題中并非所有約束都需要嚴格的滿足；,線性規(guī)劃只能處理單目標的優(yōu)化問題，而對一些次目標只能轉化為約束處理。但在實際問題中，目標和約束好似可以相互轉化的，處理時不一定要嚴格區(qū)分；,線性規(guī)劃在處理問題時，將各個約束(也可看作目標)的地位看成同等重要，而在實際問題中，各個目標的重要性即有層次上的差別，也有在同一層次上不同權重的差別,線性規(guī)劃尋求最優(yōu)解，而許多實際問題只需要找到滿意解就可以了。,8. 2 目標規(guī)劃的數(shù)學模型,為了克服線性規(guī)劃的局限性,目標規(guī)劃采用如下手段：,1. 設置偏差變量; 2. 統(tǒng)一處理目標與約束; 3. 目標的優(yōu)先級與權系數(shù)。,目標規(guī)劃的基本概念,1. 設置偏差變量,用偏差變量(Deviational variables)來表示實際值與目標值 之間的差異，令 - 超出目標的差值，稱為正偏差變量 - 未達到目標的差值，稱為負偏差變量 其中 與 至少有一個為0,約定如下： 當實際值超過目標值時，有 當實際值未達到目標值時，有 當實際值與目標值一致時，有,2. 統(tǒng)一處理目標與約束,在目標規(guī)劃中，約束可分兩類，一類是對資源有嚴格限制 的，稱為剛性約束(Hard Constraint)；例如在用目標規(guī)劃 求解例8.1中設備A禁止超時使用，則有剛性約束,另一類是可以不嚴格限制的，連同原線性規(guī)劃的目標,構 成柔性約束(Soft Constraint).例如在求解例8.1中，我們 希望利潤不低于1500元，則目標可表示為,求解例8.1中甲、乙兩種產(chǎn)品 的產(chǎn)量盡量保持1:2的比例， 則目標可表示為,設備C可以適當加班，但要控制， 則目標可表示為,設備B既要求充分利用，又盡可能 不加班，則目標可表示為,從上面的分析可以看到： 如果希望不等式保持大于等于，則極小化負偏差； 如果希望不等式保持小于等于，則極小化正偏差； 如果希望保持等式，則同時極小化正、負偏差,3.目標的優(yōu)先級與權系數(shù),在目標規(guī)劃模型中，目標的優(yōu)先分為兩個層次，第一個層次是目標分成不同的優(yōu)先級，在計算目標規(guī)劃時，必須先優(yōu)化高優(yōu)先級的目標，然后再優(yōu)化低優(yōu)先級的目標。通常以P1,P2,.表示不同的因子,并規(guī)定PkPk+1，第二個層次是目標處于同一優(yōu)先級，但兩個目標的權重不一樣，因此兩目標同時優(yōu)化，用權系數(shù)的大小來表示目標重要性的差別。,解 在例.1中設備A是剛性約束，其于是柔性約束首先，最重要的指標是企業(yè)的利潤，將它的優(yōu)先級列為第一級；其次，甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量保持1:2的比例，列為第二級；再次，設備 B和C的工作時間要有所控制，列為第三級，設備B的重要性是設備C的三倍，因此它們的權重不一樣。由此可以得到相應的目標規(guī)劃模型。,目標規(guī)劃模型的建立,例8.3 用目標規(guī)劃方法求解例8. 1,目標規(guī)劃的一般模型,目標規(guī)劃模型的一般數(shù)學表達式為：,求解目標規(guī)劃的序貫式算法,其算法是根據(jù)優(yōu)先級的先后次序，將目標規(guī)劃問題分解成 一系列的單目標規(guī)劃問題，然后再依次求解。 算法8.1 對于k=1,2,q,求解單目標問題,解 因為每個單目標問題都是一個線性規(guī)劃問題， 因此可以采用LINDO軟件進行求解。按照算法8.1和 例8.3目標規(guī)劃模型編寫單個的線性規(guī)劃求解程序。 求第一級目標企業(yè)利潤最大，列出LINDO程序。 程序名：exam0804a.ltx,例8.4 用算法8.1求解例8. 3,目標,解 因求出的目標函數(shù)的最優(yōu)值為，即第一級偏差為 .再求第二級目標，列出其LINDO程序。 程序名：exam0804b.ltx,例8.4 用算法8.1求解例8. 3,修改的目標,增加的約束,解 因求出的目標函數(shù)的最優(yōu)值仍為，即第二級偏差 仍為. 繼續(xù)求第三級目標，列出其LINDO程序。 程序名：exam0804c.ltx,例8.4 用算法8.1求解例8. 3,求出的目標函數(shù)的最優(yōu)值為29,即第三級偏差為29,分 析結果, x1為2, x2為4, DPLUS1 為100,因此目標規(guī)劃的 最優(yōu)解為x *=(2,4),最優(yōu)利潤為1600.,修改的目標,增加的約束,解 按照算法8.1和例8.3目標規(guī)劃模型編寫LINGO求解程 序，列出其LINGO程序, 程序名：exam0805.lg4,例8.5 (繼例8.4) 用算法8.1求解例8. 3的LINGO程序,程序運行說明，分三次求解： 在做第一級目標計算時，P(1),P(2)和P(3)分別輸入1,0和0，Goal(1)和Goal(2)輸入兩個較大的數(shù)，表示這兩項約束不起作用； 在做第二級目標計算時，P(1),P(2)和P(3)分別輸入0,1和0，由于第一級的偏差為0，因此Goal(1)為0，Goal(2)輸入一個較大的數(shù)； 在做第三級計算時，P(1),P(2)和P(3)分別輸入0,0和1，由于第一級、第二級的偏差為0，因此Goal(1)和Goal(2)的輸入值也為0。 結果可以參見程序演示！,由于在例8.4中雖然給出了目標規(guī)劃問題的最優(yōu)解,但需要連續(xù)編幾個LINDO程序,在使用時不方便,下面使用LINGO軟件,編寫一個通用程序。,8. 3 目標規(guī)劃模型的實例,前面介紹了目標規(guī)劃的求解方法，接著再介紹幾個目標規(guī)劃模型的實例。,某音像商店有5名全職售貨員和4名兼職售貨員。全職售貨員每月工作160小時，兼職售貨員每月工作80小時。根據(jù)過去的工作記錄，全職售貨員每小時銷售CD25張，平均每小時工資15元，加班工資每小時22.5元。兼職售貨員每小時銷售CD10張，平均每小時工資10元，加班工資每小時10元。現(xiàn)在預測下月CD銷售量為27500張，商店每周開門營業(yè)6天，所以可能要加班。另每出售一張CD盈利1.5元。,例8.6,該商店經(jīng)理認為，保持穩(wěn)定的就業(yè)水平加上必要的加班，比不加班但就業(yè)水平不穩(wěn)定要好。但全職售貨員如果加班過多，就會因疲勞過度而造成效率下降，因此不允許每月加班超過100小時。建立相應的目標規(guī)劃模型，并運用LINGO軟件進行求解。,解 首先建立目標約束的優(yōu)先級。 P1：下月的CD銷售量達到27500張； P2： 限制全職售貨員加班時間不超過100小時； P3： 保持全體售貨員充分就業(yè)，因為充分工作是良 好勞資關系的重要因素，但對全職售貨員要比 兼職售貨員加倍優(yōu)先考慮； P4： 盡量減少加班時間，但對兩種售貨員區(qū)別對 待，優(yōu)先權因子由他們對利潤的貢獻而定。,例8.6,例8.6,第二，建立目標約束。 (1) 銷售目標約束。設 x1 ：全體全職售貨員下月的工作時間； x2 ：全體兼職售貨員下月的工作時間； ：達不到銷售目標的偏差； ：超過銷售目標的偏差。 希望下月的銷售量超過27500張CD片，因此銷售目標為,例8.6,第二，建立目標約束。 (2) 正常工作時間約束，設 ：全體全職售貨員下月的停工時間； ：全體全職售貨員下月的加班時間； ：全體兼職售貨員下月的停工時間； ：全體兼職售貨員下月的加班時間。 由于希望保持全體售貨員充分就業(yè)，同時加倍優(yōu)先考慮全職售貨員,因此工作目標約束為,例8.6,第二，建立目標約束。 (3) 正常工作時間約束，設 ：全體全職售貨員下月加班不足100小時的偏差； ：全體全職售貨員下月加班超過100小時的偏差。 限制全職售貨員加班時間不超過100小時，將加班約束看成正常上班約束，不同的是右端加上100小時，因此加班目標約束為,例8.6,第二，建立目標約束。 接上(3) 另外，全職售貨員加班1小時，商店得到的利潤 為15元(25*1.5-22.5=15)，兼職售貨員加班1小時，商店得 到的利潤為5元(10*1.5-10=5)，因此加班1小時全職售貨員 獲得的利潤是兼職售貨員的3倍，故權因子之比為,所以，另一個加班目標約束為：,例8.6,第三，按目標的優(yōu)先級，寫出相應的目標規(guī)劃模型：,第四，寫出相應的LINGO程序，程序名：exam0806.lg4.,程序運行說明，分四次求解： 在做第一級目標計算時，P(1),P(2),P(3)和P(4)分別輸入1,0,0和0，Goal(1), Goal(2)和Goal(3)輸入兩個較大的數(shù)，表示這兩項約束不起作用； 在做第二級目標計算時，P(1),P(2),P(3)和P(4)分別輸入0,1,0和0，由于第一級的偏差為0，因此Goal(1)為0,Goal(2)和Goal(3)輸入一個較大的數(shù)； 在做第三級計算時，P(1),P(2),P(3)和P(4)分別輸入0,0,1和0，由于第一級,第二級的偏差為0，因此Goal(1)和Goal(2)的輸入值也為0， Goal(3)輸入一個較大的數(shù)； 在做第四級計算時，P(1),P(2),P(3)和P(4)分別輸入0,0,0和1，由于第一級,第二級和第三級的偏差為0,因此Goal(1),Goal(2)和Goal(3)輸入值也為0； 全職售貨員總工作時間為900小時(加班100小時)，兼職售貨員總工作 時間500小時(加班180小時)，下月共銷售CD27500張，商店共獲得利潤 27500*1.5-800*15-100*22.5-500*10=22000(元) 其結果可以參見程序演示！,某計算機公司生產(chǎn)三種型號的筆記本電腦A,B,C。這 三種筆記本電腦需要在復雜的裝配線上生產(chǎn)，生產(chǎn) 1臺A,B,C型號的筆記本電腦分別需要5,8,12小時。 公司裝配線正常的生產(chǎn)時間是每月1700小時。公司 營業(yè)部門估計A,B,C三種筆記本電腦的利潤分別是 每臺1000,1440,2520元，而公司預測這個月生產(chǎn)的筆 記本電腦能夠全部售出。,例8.7,例8.7,公司經(jīng)理考慮以下目標： 第一目標：充分利用正常的生產(chǎn)能力，避免開工不足； 第二目標：優(yōu)先滿足老客戶的需求，A,B,C三種型號的電腦 50,50,80臺，同時根據(jù)三種電腦的純利潤分配不同的權因子； 第三目標：限制裝配線加班時間，不允許超過200小時； 第四目標：滿足各種型號電腦的銷售目標,A,B,C型號分別為 100,120,100臺,再根據(jù)三種電腦的純利潤分配不同的權因子； 第五目標：裝配線的加班時間盡可能少。 請列出相應的目標規(guī)劃模型,并用LINGO軟件求解。,例8.7,解 建立目標約束。 (1) 裝配線正常生產(chǎn) 設生產(chǎn)A,B,C型號的電腦為x1, x2, x3臺， 裝配線正常生產(chǎn)時間未利用數(shù)， 裝配線加班時間， 希望裝配線正常生產(chǎn),避免開工不足,因此裝配線 約束目標為,例8.7,例8.7,(2) 銷售目標 (接上) 再考慮一般銷售，類似上面的討論，得到,例8.7,(3) 加班限制 首先是限制裝配線加班時間，不允許超過200 小時，因此得到,其次裝配線的加班時間盡可能少，即,例8.7,寫出相應的目標規(guī)劃模型：,寫出相應的LINGO程序，程序名：exam0807.lg4.,程序運行說明： 經(jīng)5次計算得到x1=100, x2=55, x3=80。裝配線生產(chǎn)時間為1900小時，滿足裝配線加班不超過200小時的要求。能夠滿足老客戶的需求，但未能達到銷售目標。銷售總利潤為 100x1000+55x1440+80x2520=380800(元),其結果可以參見程序演示！,例8.8,已知三個工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品供應給四個用戶，各工廠 生產(chǎn)量、用戶需求量及從各工廠到用戶的單位產(chǎn)品 的運輸費用如表所示。由于總生產(chǎn)量小于總需求量, 上級部門經(jīng)研究后，制定了調(diào)配方案的8項指標，并 規(guī)定重要性的次序是:,例8.8,第一目標：用戶4為重要部門,需求量必須全部滿足； 第二目標：供應用戶1的產(chǎn)品中，工廠3的產(chǎn)品不少 于100個單位；第三目標：每個用戶的滿足率不低于 80%；第四目標：應盡量滿足各用戶的需求； 第五目標：新方案的總運費不超過原運輸問題的調(diào)度 方案的10%；第六目標：因道路限制，工廠2到用戶4 的路線應盡量避免運輸任務； 第七目標：用戶1和用戶3的滿足率應盡量保持平衡； 第八目標：力求減少總運費。 請列出相應的目標規(guī)劃模型，并用LINGO軟件求解。,例8.8,解 求解原運輸問題。 由于總生產(chǎn)量小于總需求量,虛設工廠4,生產(chǎn)量為100 個單位,到各個用戶間的運輸單價為0,利用第7章介紹 的運輸問題的求解方法,用LINGO軟件求解,得到總 運費是2950元,運輸方案如表所示.,例8.8,從上表可以看出，上述方案中，第一個目標就不滿 足，用戶4的需求量得不到滿足。下面按照目標的 重要性的等級列出目標規(guī)劃的約束和目標函數(shù)。 設 xi j 為工廠 i 調(diào)配給用戶 j 的運量.,(1) 供應約束應 嚴格滿足, 即,(2) 供應用戶1的產(chǎn)品中, 工廠3的產(chǎn)品不少于100 個單位, 即,例8.8,(3) 需求約束. 各用戶的滿 足率不低于 80%, 即,需求應盡量 滿足各用戶 的需求，即,新方案的總運費不超過原運方案的10%（原運輸 方案的運費為2950元），即,(5) 工廠2到用戶4的路線 應盡量避免運輸任務, 即,(6) 用戶1和用戶3的滿足率應盡量保持平衡，即,(7)力求總運 費最少, 即,例8.8,寫出相應的目標函數(shù)為,寫出相應的LINGO程序，程序名：exam0808.lg4.,程序運行說明,其結果可以參見程序演示！,經(jīng)8次計算，得到最終的計算結果，見下表所示。 總運費為3360元，高于原運費410元，超過原方案 10%的上限115元。,8. 4 數(shù)據(jù)包絡分析,1978年A. Charnes, W. W. Cooper和E. Rhodes 給出了評價決策單元相對有效性的數(shù)據(jù)包絡分 析方法(Data Envelopment Analysis), 即DEA. 目前，數(shù)據(jù)包絡分析(DEA)是評價具有多指 標輸入和多指標輸出系統(tǒng)的較為有效的方法。,例8.9 (多指標評價問題)某市教委需要對六所重點中學進行 評價,其相應的指標如下表所示,表中的生均投入和非低收入 家庭百分比是輸入指標,生均寫作得分和生均科技得分是輸 出指標.請根據(jù)這些指標,評價中哪些學校是相對有效的.,相對有效評價問題,例8.9,為求解例8.9, 先對例表作簡單的分析。 學校C的兩項輸出指標都是最高的,達到29.4和317,應該說,學校C是最有效的.但從另一方面說,對它的投入也是最高的,達到108.13和99.6,因此,它的效率也可能是最低的.究竟如何評價這六所學校呢？這還需要仔細地分析. 這是一個多指標輸入和多指標輸出的問題,對于這類評價問題,A. Charnes, W. W. Cooper和 E. Rhodes建立了評價決策單元相對有效性的C2R 模型。,假設有n個部門或單位(稱為決策單元,Decision Making Units),這n個單元都具有可比性.每個單元有m個輸入變量和 s個輸出變量,如下表所示.,數(shù)據(jù)包絡分析的基本概念,v1 1 v2 2 ： ： vm m ,1 2 . j . n, 1 u1 2 u2 ： ： s us,在上表中, xij(i=1,2,.,m,j=1,2,., n)表示第j個決策單元對第i種輸入的投入 量，并且滿足xij0; yrj (r=1,2,.,s, j=1,2,., n)表示第j個決策