浙江專用高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量8.2空間幾何體的表面積與體積講義含解析.docx

8.2空間幾何體的表面積與體積最新考綱考情考向分析會(huì)計(jì)算柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積.本部分是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，主要涉及空間幾何體的表面積與體積的計(jì)算命題形式以選擇題與填空題為主，涉及空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖等內(nèi)容，要求考生要有較強(qiáng)的空間想象能力和計(jì)算能力，廣泛應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想.1多面體的表面積、側(cè)面積因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和2圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)2rlS圓錐側(cè)rlS圓臺(tái)側(cè)(r1r2)l3.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側(cè)2S底VSh錐體(棱錐和圓錐)S表面積S側(cè)S底VSh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積S側(cè)S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3概念方法微思考1如何求旋轉(zhuǎn)體的表面積？提示求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)需要將曲面展開為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面積之和2如何求不規(guī)則幾何體的體積？提示求不規(guī)則幾何體的體積要注意分割與補(bǔ)形，將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)多面體的表面積等于各個(gè)面的面積之和()(2)臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差()(3)錐體的體積等于底面積與高之積()(4)已知球O的半徑為R，其內(nèi)接正方體的邊長為a，則Ra.()(5)圓柱的一個(gè)底面積為S，側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2S.()題組二教材改編2P27練習(xí)T1已知圓錐的表面積等于12cm2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為()A1cmB2cmC3cmD.cm答案B解析S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2.3P28A組T3如圖，將一個(gè)長方體用過相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為_答案147解析設(shè)長方體的相鄰三條棱長分別為a，b，c，它截出棱錐的體積V1abcabc，剩下的幾何體的體積V2abcabcabc，所以V1V2147.題組三易錯(cuò)自糾4一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A3B4C24D34答案D解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體為半圓柱，直觀圖如圖所示表面積為222121243.5(2018浙江省杭州名校協(xié)作體月考)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，其長分別為，1，則該三棱錐的外接球的表面積是()A24B18C10D6答案D解析由題意得，外接球的直徑是2R，所以表面積為4R2()26.6已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_答案解析由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱挖去了一個(gè)同底等高的圓錐，其體積為222222.題型一求空間幾何體的表面積1(2018全國)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A12B12C8D10答案B解析設(shè)圓柱的軸截面的邊長為x，則由x28，得x2，S圓柱表2S底S側(cè)2()22212.故選B.2(2018浙江省“七彩陽光”聯(lián)盟聯(lián)考)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的表面積為()A84B62C64D622答案A解析由三視圖知該四棱錐是如圖所示的棱長為2的正方體中的四棱錐PBCDE，其表面積為2222222284.故選A.3(2018浙江省嘉興一中聯(lián)考)一個(gè)圓錐的表面積為，它的側(cè)面展開圖是圓心角為120的扇形，則該圓錐的高為()A1B.C2D2答案B解析設(shè)圓錐底面半徑是r，母線長為l，所以r2rl，即r2rl1，根據(jù)圓心角公式，即l3r，解得r，l，所以h.思維升華空間幾何體表面積的求法(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理(3)以三視圖為載體的需確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量題型二求空間幾何體的體積命題點(diǎn)1求以三視圖為背景的幾何體的體積例1(2018浙江省杭州市七校聯(lián)考)已知圖中的網(wǎng)格是由邊長為1的小正方形組成的，一個(gè)幾何體的三視圖如圖中的粗實(shí)線和粗虛線所示，則這個(gè)幾何體的體積為()A64B.C.D128答案B解析由三視圖知該幾何體是一個(gè)三棱錐，其直觀圖如圖所示，高為4，底面三角形一邊長為8，對(duì)應(yīng)的高為4，則此三棱錐的體積V844，故選B.命題點(diǎn)2求簡單幾何體的體積例2如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐AB1DC1的體積為()A3B.C1D.答案C解析如題圖，因?yàn)锳BC是正三角形，且D為BC中點(diǎn)，則ADBC.又因?yàn)锽B1平面ABC，AD平面ABC，故BB1AD，且BB1BCB，BB1，BC平面BCC1B1，所以AD平面BCC1B1，所以AD是三棱錐AB1DC1的高所以1.思維升華空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)直接利用公式進(jìn)行求解(2)用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解(3)以三視圖的形式給出的應(yīng)先得到幾何體的直觀圖跟蹤訓(xùn)練1(1)(2018嘉興模擬)九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈；上袤二丈，無廣；高一丈，問：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬3丈，長4丈；上棱長2丈，高1丈，問它的體積是多少？”已知1丈為10尺，現(xiàn)將該楔體的三視圖給出，其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1丈，則該楔體的體積為()A5000立方尺B5500立方尺C6000立方尺D6500立方尺答案A解析(分割法)該楔體的直觀圖如圖中的幾何體ABCDEF.取AB的中點(diǎn)G，CD的中點(diǎn)H，連接FG，GH，HF，則該幾何體的體積為四棱錐FGBCH與三棱柱ADEGHF的體積之和又可以將三棱柱ADEGHF割補(bǔ)成高為EF，底面積為S31(平方丈)的一個(gè)直棱柱，故該楔體的體積V22315(立方丈)5000(立方尺)(2)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1的各條棱長均為2，D為棱B1C1上任意一點(diǎn)，則三棱錐DA1BC的體積是_答案解析題型三與球有關(guān)的切、接問題例3已知直三棱柱ABCA1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，則球O的半徑為()A.B2C.D3答案C解析如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半徑ROA.引申探究1本例若將直三棱柱改為“棱長為4的正方體”，則此正方體外接球和內(nèi)切球的體積各是多少？解由題意可知，此正方體的體對(duì)角線長即為其外接球的直徑，正方體的棱長即為其內(nèi)切球的直徑設(shè)該正方體外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r.又正方體的棱長為4，故其體對(duì)角線長為4，從而V外接球R3(2)332，V內(nèi)切球r323.2本例若將直三棱柱改為“正四面體”，則此正四面體的表面積S1與其內(nèi)切球的表面積S2的比值為多少？解正四面體棱長為a，則正四面體表面積為S14a2a2，其內(nèi)切球半徑r為正四面體高的，即raa，因此內(nèi)切球表面積為S24r2，則.3本例中若將直三棱柱改為“側(cè)棱和底面邊長都是3的正四棱錐”，則其外接球的半徑是多少？解依題意，得該正四棱錐底面對(duì)角線的長為36，高為3，因此底面中心到各頂點(diǎn)的距離均等于3，所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3.思維升華“切”“接”問題的處理規(guī)律(1)“切”的處理首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決，截面過球心(2)“接”的處理抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑跟蹤訓(xùn)練2(1)一個(gè)棱錐的三視圖如圖所示，則這個(gè)棱錐的外接球的表面積為()A34B25C41D50答案A解析根據(jù)題中所給的三視圖可以斷定該幾何體應(yīng)該是由長、寬、高分別是4,3,3的長方體所截成的四棱錐，所以該棱錐的外接球相當(dāng)于對(duì)應(yīng)的長方體的外接球，所以長方體的體對(duì)角線就是其外接球的直徑，所以有R，從而求得其表面積為S4R234，故選A.(2)(2018全國)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐DABC體積的最大值為()A12B18C24D54答案B解析由等邊ABC的面積為9，可得AB29，所以AB6，所以等邊ABC的外接圓的半徑為rAB2.設(shè)球的半徑為R，球心到等邊ABC的外接圓圓心的距離為d，則d2.所以三棱錐DABC高的最大值為246，所以三棱錐DABC體積的最大值為9618.1(2018湖州模擬)一個(gè)棱錐的三視圖如圖(單位：cm)，則該棱錐的表面積是()A42cm2B46cm2C.cm2D22cm2答案A解析由三視圖得該幾何體是底面為底為2，高為2的等腰三角形，高為2的三棱錐，且三棱錐的頂點(diǎn)在底面的投影為底面等腰三角形的底邊的中點(diǎn)，則其表面積為22222242(cm2)，故選A.2(2018浙江金華十校調(diào)研)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖與側(cè)視圖均為半徑是2的圓，則這個(gè)幾何體的表面積是()A16B14C12D8答案A解析根據(jù)給定的三視圖可知該幾何體為個(gè)球體，其半徑為2，因此該幾何體的表面積為S4222216，故選A.3算術(shù)書竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典著，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，該術(shù)相當(dāng)于給出圓錐的底面周長l與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式Vl2h，它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取3，那么，近似公式Vl2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的近似取()A.B.C.D.答案C解析Vr2h2hl2h，由，得，故選C.4(2018浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A2B4C6D8答案C解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形，高為2的直四棱柱，直角梯形的上、下底邊長分別為2,1，高為2，該幾何體的體積為V26.故選C.5(2018浙江考前熱身聯(lián)考)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線和虛線畫出的是某空間幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A.B.C2D4答案B解析構(gòu)造棱長為2的正方體如圖所示，由三視圖知該幾何體是圖中的四棱錐PABCD，其中B，D分別為棱的中點(diǎn)，則其體積V2.故選B.6(2018浙江省聯(lián)盟校聯(lián)考)已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A3B.C.D6答案B解析由三視圖還原直觀圖知，該幾何體為底面半徑為1，高為的圓錐挖去一個(gè)球心為圓錐底面圓的圓心且與圓錐相切的半球，易知圓錐的母線長為2，則圓錐的軸截面為邊長為2的等邊三角形，球的半徑為，故該幾何體的表面積為1242122，故選B.7(2018浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A82B8C8D8答案A解析由三視圖可知該幾何體為一個(gè)正方體截去兩個(gè)圓柱，正方體的體積為2228，截去的圓柱的底面半徑為，高為2，兩個(gè)圓柱的體積為()2222，故該幾何體的體積為82，故選A.8(2018浙江省十校聯(lián)盟高考適應(yīng)性考試)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于_，側(cè)面積等于_答案435解析如圖，構(gòu)造底面邊長為3和2，高為2的長方體，由三視圖可知該空間幾何體為底面邊長為3和2，高為2的四棱錐SABCD，其中平面SCD底面ABCD，所以該幾何體的體積V3224，側(cè)面積為4個(gè)三角形的面積之和，所以側(cè)面積S232223235.9(2019紹興質(zhì)檢)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為_答案解析由三視圖可知，該幾何體由四分之一個(gè)底面半徑為1、高為1的圓錐與一個(gè)底面為長方形，高為1的四棱錐組成，如圖所示該幾何體的體積V121121.10長方體的長、寬、高分別為3,2,1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為_答案14解析長方體的頂點(diǎn)都在球O的球面上，長方體的體對(duì)角線的長度就是其外接球的直徑設(shè)球的半徑為R，則2R.球O的表面積為S4R24214.11從一個(gè)正方體中截去部分幾何體，得到一個(gè)以原正方體的部分頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體，其三視圖如圖，則該幾何體的體積為_，表面積為_答案99解析由三視圖知該幾何體是如圖所示的四棱錐PABCD，因此，其體積V3333333339；表面積S33333(3)29.12如圖，在ABC中，AB8，BC10，AC6，DB平面ABC，且AEFCBD，BD3，F(xiàn)C4，AE5.求此幾何體的體積解方法一如圖，取CMANBD，連接DM，MN，DN，用“分割法”把原幾何體分割成一個(gè)直三棱柱和一個(gè)四棱錐則V幾何體V三棱柱V四棱錐由題知三棱柱ABCNDM的體積為V186372.四棱錐DMNEF的體積為V2S梯形MNEFDN(12)6824，則幾何體的體積為VV1V2722496.方法二用“補(bǔ)形法”把原幾何體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，使AABBCC8，所以V幾何體V三棱柱SABCAA24896.13(2019寧波模擬)已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是頂角為120的等腰三角形，側(cè)視圖為直角三角形，則該三棱錐的表面積為_，該三棱錐的外接球的體積為_答案4解析由三視圖得該幾何體為一個(gè)底面是底為2，高為1的等腰三角形，高為2的三棱錐，且該三棱錐的頂點(diǎn)在底面的投影為底面等腰三角形的頂點(diǎn)，則該三棱錐的表面積為2221224.三棱錐的底面所在的截面圓的半徑為2，則三棱錐的外接球的半徑為，則該三棱錐的外接球的體積為()3.14(2018溫州模擬)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是_cm3，表面積是_cm2.答案1解析如圖，在長方體中作出該幾何體的直觀圖，記為四棱錐PABCD，所以該四棱錐的體積VS梯形ABCDPD(12)121.因?yàn)镻B2PA2AB21222126，BC22，PC2PD2CD222228，所以PC2PB2BC2，所以PBBC，所以SPBCPBBC，S梯形ABCD(12)1，SPADPDAD211，SPCDPDCD222，SPABPAAB1，所以四棱錐PABCD的表面積S12.15(2018浙江省聯(lián)盟校聯(lián)考)已知矩形ABCD的周長為20，當(dāng)矩形ABCD的面積最大時(shí)，沿對(duì)角線AC將ACD折起，且二面角BACD的大小為，則折疊后形成的四面體ABCD的外接球的體積為()A.B100C.D與的大小有關(guān)答案A解析設(shè)矩形ABCD的長、寬分別為x，y，則2x2y202，