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第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點,一、函數(shù)的連續(xù)性 二、函數(shù)的間斷點 三、小結(jié) 思考題,一、函數(shù)的連續(xù)性,1.函數(shù)的增量,2.連續(xù)的定義,可見 , 函數(shù),在點,(1),在點,即,(2) 極限,(3),連續(xù)必須具備下列條件:,存在 ;,有定義 ,存在 ;,例1,證,由定義2知,3.單側(cè)連續(xù),定理,例2,解,右連續(xù)但不左連續(xù) ,對自變量的增量,有函數(shù)的增量,左連續(xù),右連續(xù),當,時, 有,函數(shù),在點,連續(xù)有下列等價命題:,4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間,在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.,continue,例如,在,上連續(xù) .,( 有理整函數(shù) ),又如, 有理分式函數(shù),在其定義域內(nèi)連續(xù).,在閉區(qū)間,上的連續(xù)函數(shù)的集合記作,只要,都有,例3,證,補充. 設(shè),在x=0處連續(xù)，求常數(shù)a與b應滿足的關(guān)系。,二、函數(shù)的間斷點,1.跳躍間斷點,例4,解,2.可去間斷點,例5,解,注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.,如例5中,跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.,特點,3.第二類間斷點,例6,解,例7,解,注意 不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點.,思考：,解,討論,若有間斷點判別其類型，并作出圖形（P65，EX4）,解,三、小結(jié),1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;,3.間斷點的分類與判別;,2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);,第一類間斷點:可去型,跳躍型.,第二類間斷點:無窮型,振蕩型.,間斷點,(見下圖),第一類間斷點,跳躍型,無窮型,振蕩型,第二類間斷點,

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