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文檔簡介

7.5 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù),一 泰勒級(jí)數(shù),二 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù),一 泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù),1.泰勒公式：,2.麥克勞林公式,3.定義 如果f(x)在點(diǎn) 處任意階可導(dǎo),則冪級(jí)數(shù) 稱為 在點(diǎn) 的泰勒級(jí)數(shù). 稱為 在 點(diǎn) 的麥克勞林級(jí)數(shù).,二 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù),1. 麥克勞林級(jí)數(shù)直接展開法,設(shè)函數(shù) f(x) 在區(qū)間（-R,R）內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，,且能,展開成x的冪級(jí)數(shù),由可導(dǎo)性知，,例1 用直接展開法將函數(shù),展成 x,的冪級(jí)數(shù)。,解 由于,則,冪級(jí)數(shù)為,因?yàn)?該冪級(jí)數(shù)收斂半徑,收斂區(qū)間為,所以,例2 用直接展開法將函數(shù),展成,x的冪級(jí)數(shù)。,解 由于,故,依次循環(huán)取0，1，0，-1，于是得級(jí)數(shù),易知它的收斂半徑,收斂區(qū)間為,所以,2 . 間接展開法,以上求,的冪級(jí)數(shù)展開式都需要求出,的,任意階導(dǎo)數(shù)，,求出,代入公式，顯然比較麻煩。,下面介紹利用已知函數(shù)展開式，通過冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算或變,量代換求函數(shù)展開式的方法，稱之為間接展開法。,例3 將函數(shù),展成 x 的冪級(jí)數(shù)。,解 因?yàn)?兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo)得,例4 由等比級(jí)數(shù)知,將上式中的 x 握換成,將上面兩端分別從 0 到 x 積分，得,例5 將函數(shù),展開

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