函數(shù)的極值與最大最小值.ppt

二、最大值與最小值問題,一、函數(shù)的極值及其求法,第五節(jié),函數(shù)的極值與,最大值最小值,一、函數(shù)的極值及其求法,注意:,為極大點(diǎn),為極小點(diǎn),不是極值點(diǎn),2) 對(duì)常見函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為 0 或 不存在的點(diǎn).,1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).,例如 (P146例4),為極大點(diǎn) ,是極大值,是極小值,為極小點(diǎn) ,函數(shù)極值的求法,費(fèi)馬(fermat)引理,-必要條件,在駐點(diǎn)或者是連續(xù)不可導(dǎo)點(diǎn)中去尋找.,因此尋求極值點(diǎn)的方法:,注意:,例如,定理 1 (極值第一判別法),(是極值點(diǎn)情形),且在空心鄰域,內(nèi)有導(dǎo)數(shù),求極值的步驟:,(不是極值點(diǎn)情形),(1)給出定義域,并找出定義域內(nèi)所給函數(shù)的駐點(diǎn)及連續(xù)不可導(dǎo)點(diǎn);,(2)考察這些點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),從而確定極值點(diǎn);,(3)求出極值點(diǎn)的函數(shù)值,即為極值.,例1. 求函數(shù),的極值 .,解:,1) 求導(dǎo)數(shù),2) 求極值可疑點(diǎn),令,得,得,3) 列表判別,是極大點(diǎn)，,其極大值為,是極小點(diǎn)，,其極小值為,注意:函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).,定理2 (極值第二判別法),二階導(dǎo)數(shù) , 且,則 在點(diǎn) 取極大值 ;,則 在點(diǎn) 取極小值 .,證: (1),存在,由第一判別法知,(2) 類似可證 .,例2,解,圖形如下,注：運(yùn)用第二充分條件求極值也有它的局限性.,若(x)在駐點(diǎn),這三個(gè)函數(shù)在 x = 0 處就分別屬于這三種情況.,從而當(dāng),只能用第一充分條件來判定,處的二階導(dǎo)數(shù),(x) 在,處可能有極大值, 也可能有極小值,例如:,也可能沒有極值.,(只需點(diǎn)連續(xù)即可),例3. 求函數(shù),的極值 .,解: 1) 求導(dǎo)數(shù),2) 求駐點(diǎn),令,得駐點(diǎn),3) 判別,因,故 為極小值 ;,又,故需用第一判別法判別.,例4,定理3 (判別法的推廣),則:,數(shù) , 且,1) 當(dāng) 為偶數(shù)時(shí),是極小點(diǎn) ;,是極大點(diǎn) .,2) 當(dāng) 為奇數(shù)時(shí),為極值點(diǎn) , 且,不是極值點(diǎn) .,當(dāng) 充分接近 時(shí), 上式左端正負(fù)號(hào)由右端第一項(xiàng)確定 ,故結(jié)論正確 .,證:,利用 在 點(diǎn)的泰勒公式 ,可得,例如 , 例3中,極值的判別法( 定理1 定理3 ) 都是充分的.,說明:,當(dāng)這些充分條件不滿足時(shí), 不等于極值不存在 .,例如:,為極大值 ,但不滿足定理1, 定理3 的條件.,二、最大值與最小值問題,則其最值只能,在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到 .,求函數(shù)最值的方法:,(1) 求 在 內(nèi)的極值可疑點(diǎn),(2) 最大值,最小值,-駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn),特別:,當(dāng) 在 內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),當(dāng) 在 上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.,若在此點(diǎn)取極大 值 , 則也是最大 值 .,(小),對(duì)應(yīng)用問題 , 有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的,可疑點(diǎn)是否為最大 值點(diǎn)或最小值點(diǎn) .,(小),例5. 求函數(shù),在閉區(qū)間,上的最大值和最小值 .,解:,求 最大值。,例6. 設(shè) 是任意兩正數(shù)，滿足：,解: 設(shè),即求 f (x) 在 ( 0, a ) 內(nèi)的最大值,令,得,是區(qū)間唯一的駐點(diǎn)，,故 為區(qū)間(0, a)之間的最大值,( k 為某一常數(shù) ),例7. 鐵路上 AB 段的距離為100 km , 工廠C 距 A 處20,AC AB ,要在 AB 線上選定一點(diǎn) D 向工廠修一條,已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)價(jià)之比為 3:5 ,為使貨,D 點(diǎn)應(yīng)如何選取?,解: 設(shè),則,令,得,又,所以 為唯一的,極小點(diǎn) ,故 AD =15 km 時(shí)運(yùn)費(fèi)最省 .,總運(yùn)費(fèi),物從B 運(yùn)到工廠C 的運(yùn)費(fèi)最省,從而為最小點(diǎn) ,問,Km ,公路,實(shí)際問題求最值應(yīng)注意:,(1)建立目標(biāo)函數(shù);,(2)求最值;,清楚(視角 最大) ?,觀察者的眼睛1.8 m ,例8. 一張 1.4 m 高的圖片掛在墻上 , 它的底邊高于,解: 設(shè)觀察者與墻的距離為 x m ,則,令,得駐點(diǎn),根據(jù)問題的實(shí)際意義, 觀察者最佳站位存在 ,唯一,駐點(diǎn)又,因此觀察者站在距離墻 2.4 m 處看圖最清楚 .,問觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最,內(nèi)容小結(jié),1. 連續(xù)函數(shù)的極值,(1) 極值可疑點(diǎn) :,使導(dǎo)數(shù)為0 或不存在的點(diǎn),(2) 第一充分條件,過,由正變負(fù),為極大值,過,由負(fù)變正,為極小值,(3) 第二充分條件,為極大值,為極小值,最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找 ;,f (x)在某開區(qū)間或閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，若有唯一的極值點(diǎn)，則必最值點(diǎn)。,2. 連續(xù)函數(shù)的最值,在實(shí)際問題中，如果 f (x)有唯一的駐點(diǎn)，則一般為最值點(diǎn)。,思考與練習(xí),1. 設(shè),則在點(diǎn) a 處( ).,的導(dǎo)數(shù)存在 ,取得極大值 ;,取得