函數(shù)、極限、連續(xù)(58)(24題.ppt

第一講 函數(shù)、極限、連續(xù),1 函 數(shù),1函數(shù)的定義,因變量,自變量,數(shù)集D 叫作這個(gè)函數(shù)的定義域,函數(shù)值全體組成的數(shù)集,稱為函數(shù)的值域 ,記作,記作,解,由 ，則,由 ，得 x 滿足,解得,定義域：,2函數(shù)的一些幾何特性,(1) 有界函數(shù):,(2) 單調(diào)函數(shù):,(3) 函數(shù)的奇偶性:,(4) 周期函數(shù):,解,（1）,的周期,的周期,是 為周期的周期函數(shù),的周期 ，,的周期,（2）,所以 g (x) 不是周期函數(shù),（3）,的定義域 0 , +) , 有下界,所以 h(x) 不是周期函數(shù),解,（1）如果 g(x) 為偶函數(shù)，即,（2）如果 g(x) 為奇函數(shù)，即, f (g(x) 恒為偶函數(shù),（1）反函數(shù),定理(反函數(shù)存在定理),（2）復(fù)合函數(shù),設(shè)函數(shù) y=f (x) , uU ; u=g(x) , x X ,變量 u 稱為中間變量,（3）初等函數(shù),（4）分段函數(shù),符號(hào)函數(shù)：,（5）隱函數(shù),例如：,（6）變上限積分函數(shù),說(shuō)明：,用極限、導(dǎo)數(shù)、無(wú)窮級(jí)數(shù)也可表示函數(shù),解,所以,解,當(dāng) x 0 時(shí)，,反函數(shù),當(dāng) x 0 時(shí)，,反函數(shù),反函數(shù),2 極 限,1極限的定義,當(dāng) x -M 時(shí) , 有,當(dāng) 時(shí) , 有,當(dāng) 時(shí), 有,當(dāng) 時(shí), 有,右極限:,左極限:,同理可敘述:,同理可敘述:,解,選 ( D ),2重要的關(guān)系與結(jié)論,(1) 極限存在與有界性的關(guān)系,函數(shù)極限:,數(shù)列極限:,(2) 極限的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系,(證明題、計(jì)算極限）,1),（常被用來(lái)討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限）,(3) 局部保號(hào)性,( 常用證明題）,2),3),4),說(shuō)明: 結(jié)論 (a) 、(b) 反過(guò)來(lái)不成立,(4) 極限的四則運(yùn)算法則,如果 ， 則有,1）,2）,3）,解,原式,解得,此時(shí),解,(5) 極限存在的判定準(zhǔn)則,數(shù)列極限：,(a) 收斂準(zhǔn)則：,若 單調(diào)增有上界 存在,若 單調(diào)減有下界 存在,(b) 夾逼定理：,如果 且 ，則,函數(shù)極限：,夾逼定理：,則,解,從定義式可知 ，且,設(shè) ，則對(duì) k = n+1,由,由歸納法可知數(shù)列 單調(diào)增有上界，所以收斂,設(shè) , 在遞推式兩邊取極限得,解得,所以,解,設(shè) ，則,(6) 重要極限,1),2),解,解,由,解,為使極限 存在,即,此時(shí),3無(wú)窮小與無(wú)窮大,(1) 無(wú)窮小(量):,無(wú)窮小量一定是和某自變量的趨限過(guò)程相聯(lián)系的,說(shuō)明:,(2) 無(wú)窮大(量):,無(wú)窮大量一定是和某自變量的趨限過(guò)程相聯(lián)系的,說(shuō)明:,(3) 無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì),1) 有限個(gè)無(wú)窮小的和是無(wú)窮小,2) 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小,3) 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小,(4) 無(wú)窮大的運(yùn)算性質(zhì),(a) 若 則,(b) 若 (可為) , 則,(5) 無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,若 則,( 無(wú)窮大的倒數(shù)是無(wú)窮小 ),解,(A) 反例 ，而,(B) 反例,(C) 反例,(D) 正確,令 ，則,所以選 (D),(6) 無(wú)窮小的階,設(shè),記為,常用的等價(jià)無(wú)窮小:,當(dāng) x 0 時(shí) ,(7) 利用等價(jià)無(wú)窮小代換求積、商的極限,若 且 存在 ，則,解,原式,解,原式,(8) 確定無(wú)窮小階的方法,1) 利用等價(jià)關(guān)系 , 恒等變形,2) 利用泰勒公式,3) 利用洛比塔法則,解,所以選 (B),解,（關(guān)于 x 是1 階的）,（關(guān)于 x 是 2 階的）,（關(guān)于 x 是 3 階的）,（關(guān)于 x 是 2 階的）,同理有,關(guān)于 x 是 低階的,4洛比塔法則,說(shuō)明:,(2) 若 不存在 , 對(duì)原極限無(wú)明確結(jié)論 .,解,(1) 原式,(2) 原式,所以,3 連 續(xù),1連續(xù)的概念,(1) 若 , 則稱 f (x) 在 x0 處連續(xù),(2) 若 , 則稱 f (x) 在 x0 處右連續(xù),(3) 若 , 則稱 f (x) 在 x0 處左連續(xù),2連續(xù)性的重要結(jié)論,f (x) 在 x0 處連續(xù) f (x) 在 x0 處左連續(xù)且右連續(xù),(2) 連續(xù)性的四則運(yùn)算法則,如果 f (x)、g(x) 在 x0 處連續(xù) ,則,在 x0 處也連續(xù),(1) 連續(xù)的充要條件,(3) 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性:,(4) 反函數(shù)的連續(xù)性:,(5) 初等函數(shù)的連續(xù)性:,一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù),例20 下列函數(shù)中, 在定義域上連續(xù)的函數(shù)是 ( ),解,在 處， 為初等函數(shù)，所以連續(xù),所以選 (B),解,3函數(shù)的間斷點(diǎn),(1) 間斷點(diǎn): f(x) 的不連續(xù)點(diǎn)稱為間斷點(diǎn),(2) 間斷點(diǎn)的分類: 設(shè) x0 是 f(x) 的間斷點(diǎn) ,當(dāng) 時(shí) , x0 稱為可去間斷點(diǎn),當(dāng) 時(shí) , x0 稱為跳躍間斷點(diǎn),解,及使 的 為兩個(gè)間斷點(diǎn),可知 是第二類間斷點(diǎn),可知 是跳躍間斷點(diǎn),4閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)性質(zhì),(1) 最值定理,(2) 介值定理,(3) 零值定理,解,對(duì)任意的實(shí)數(shù) r ( 0