偏導(dǎo)數(shù)與全微分(3).ppt

四、小結(jié) 思考題,一、偏導(dǎo)數(shù),三、高階偏導(dǎo)數(shù),6.4 偏導(dǎo)數(shù)與全微分,二、全微分,一、偏導(dǎo)數(shù),1.【偏導(dǎo)數(shù)的定義】,(1)【二元函數(shù)在一點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)】,(2)【二元函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的偏導(dǎo)數(shù)】,注意求偏導(dǎo)的方法！,偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù),如u = f (x , y , z) 在(x , y , z) 處,(3)【多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)】,例1 . 求,解法1,解法2,在點(diǎn)(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù).,先求后代,先代后求再代,【解】,不存在,例7.9 例7.10 例7.11,2.【有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明】,(1),(2),求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；,解,例如,一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo) 連續(xù)，,多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，,(3). 【偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系】,？,【解】,【例7.12】,按定義可知：,但函數(shù)在原點(diǎn)處并不連續(xù)(令y=kx,知極限不存在,故不連續(xù)).,偏導(dǎo)數(shù)存在,【思考題】連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)存在.,？,【結(jié)論】,連續(xù).,(4). 【偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義】,如圖,(復(fù)習(xí):反函數(shù)求導(dǎo)法則的幾何意義),【幾何意義】,復(fù)習(xí),一元函數(shù),在,可微,微分,即,二、全微分,由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得,2. 【全增量的概念】,1. 【偏增量與偏微分】,二元函數(shù) 對(duì)x和對(duì)y的偏增量,二元函數(shù) 對(duì)x和對(duì)y的偏微分,3.【全微分定義】,即,【定義】,函數(shù)可微的充分條件與必要條件,1. 【可微的必要條件】,事實(shí)上,可微,連續(xù),【定理7.2】,即：,可導(dǎo)與可微的關(guān)系: 一元函數(shù)：在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在,多元函數(shù)：各偏導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在,？,【結(jié)論】多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全微分存在。故偏導(dǎo)數(shù)存在是可微分的必要條件而不是充分條件。,即 可微 可偏導(dǎo),【警惕】若偏導(dǎo)數(shù)存在，雖能從形式上寫出,但它不一定是函數(shù)的全微分.,但如果再假定多元函數(shù)的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則可以證明函數(shù)是可微分的。即有下面的定理。,(1)習(xí)慣上，記全微分為,(3)全微分的定義（或疊加原理）可推廣到三元及三元以上函數(shù),(2)全微分符合疊加原理即：全微分=各偏微分之和,【注】,2.【可微的充分條件】,3. 【充要條件】,（即是定義）,【注意】用全微分定義驗(yàn)證一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的可微性只需,?,驗(yàn)證,例7.14 偏微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。 例7.15,多元函數(shù)的極限存在、連續(xù)、可偏導(dǎo)、可微、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)之間的關(guān)系,三、高階偏導(dǎo)數(shù),設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù),若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，,則稱它們是z = f ( x , y ),的二階偏導(dǎo)數(shù) .,按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個(gè)二階偏導(dǎo),數(shù):,【定義式】,其余類推,(2) 同樣可得：三階、四階、以及n 階偏導(dǎo)數(shù)。,(3) 定義二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。,【解】,例7.17,說(shuō)明:,函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 ,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo),數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.,因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) ,而初等,證明,具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？,(2)【問(wèn)題】,即混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān).,即：二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下與求導(dǎo)的先后順序無(wú)關(guān)。,例7.18,偏導(dǎo)數(shù)的定義：,偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,高階偏導(dǎo)數(shù),（偏增量比的極限）,純偏導(dǎo),混合偏導(dǎo),（相等的條件）,四、小結(jié),可偏導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：,可偏導(dǎo),連續(xù),多元函數(shù)全微分的概念；,多元函數(shù)全微分的求法；,多元