高等數(shù)學方明亮版數(shù)學課件10.6傅立葉級數(shù).ppt

2019年7月6日星期六,1,第六節(jié) 傅立葉級數(shù),第十章,(Fourier Series),一、三角級數(shù) 三角函數(shù)系的正交性,二、函數(shù)展開成傅立葉級數(shù),三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù),四、周期為2 l的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù),五、小結(jié)與思考練習,2019年7月6日星期六,2,一、三角級數(shù) 三角函數(shù)系的正交性,(Trigonometric series),簡單的周期運動 :,(諧波函數(shù)),( A為振幅,復雜的周期運動 :,令,得函數(shù)項級數(shù),為角頻率,為初相 ),(諧波迭加),稱上述形式的級數(shù)為三角級數(shù).,2019年7月6日星期六,3,證:,同理可證 :,正交 ,上的積分等于 0 .,即其中任意兩個不同的函數(shù)之積在,定理 1 組成三角級數(shù)的函數(shù)系,2019年7月6日星期六,4,上的積分不等于 0 .,且有,但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積在,2019年7月6日星期六,5,二、函數(shù)展開成傅立葉級數(shù),(Expanding to Fourier series),定理 2 設 f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 且,右端級數(shù)可逐項積分, 則有,證: 由定理條件,對在,逐項積分, 得,2019年7月6日星期六,6,(利用正交性),類似地, 用 sin k x 乘 式兩邊, 再逐項積分可得,2019年7月6日星期六,7,葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù) 稱為,的傅里葉系數(shù) ;,由公式 確定的,以,的傅里,的傅里葉級數(shù) .,稱為函數(shù),2019年7月6日星期六,8,設 f (x) 是周期為2的,周期函數(shù),并滿足狄利克雷( Dirichlet )條件:,1) 在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;,2) 在一個周期內(nèi)只有有限個極值點,則 f (x) 的傅里葉級數(shù)收斂 , 且有,x 為間斷點,其中,( 證明略 ),為 f (x) 的傅里葉系數(shù) .,x 為連續(xù)點,注意: 函數(shù)展成傅里葉級數(shù)的條件比展成冪級數(shù)的條件低得多.,定理3 (收斂定理, 展開定理),2019年7月6日星期六,9,設 f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在,上的表達式為,解: 先求傅里葉系數(shù),將 f (x) 展成傅里葉級數(shù).,例1,2019年7月6日星期六,10,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2019年7月6日星期六,11,1) 根據(jù)收斂定理可知,時,級數(shù)收斂于,2) 傅氏級數(shù)的部分和逼近,f (x) 的情況見右圖.,說明:,2019年7月6日星期六,12,上的表達式為,將 f (x) 展成傅里葉級數(shù).（由課本 例2改編）,解:,設 f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在,例2,2019年7月6日星期六,13,說明: 當,時, 級數(shù)收斂于,2019年7月6日星期六,14,周期延拓,傅里葉展開,上的傅里葉級數(shù),其它,定義在 ,上的函數(shù) f (x)的傅氏級數(shù)展開法,2019年7月6日星期六,15,級數(shù) .（自學課本例4）,則,解: 將 f (x)延拓成以,展成傅里葉,2為周期的函數(shù) F(x) ,例3 將函數(shù),2019年7月6日星期六,16,利用此展式可求出幾個特殊的級數(shù)的和.,當 x = 0 時, f (0) = 0 , 得,說明:,2019年7月6日星期六,17,設,已知,又,2019年7月6日星期六,18,三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù),1. 正弦級數(shù)和余弦級數(shù)的概念,定理4 對周期為 2 的奇函數(shù) f (x) , 其傅里葉級數(shù)為,周期為2的偶函數(shù) f (x) , 其傅里葉級數(shù)為余弦級數(shù) ,它的傅里葉系數(shù)為,正弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為,(Sine series and cosine series),2019年7月6日星期六,19,的表達式為 f (x)x ,將 f (x) 展成傅里葉級數(shù).（課本例6）,是周期為2 的周期函數(shù),它在,解: 若不計,周期為 2 的奇函數(shù),因此,例4 設,2019年7月6日星期六,20,n1,根據(jù)收斂定理可得 f (x) 的正弦級數(shù):,級數(shù)的部分和,n2,n3,n4,逼近 f (x) 的情況見右圖.,n5,2019年7月6日星期六,21,展成傅里葉級數(shù).,解:,是周期為2 的,周期偶函數(shù) , 因此,例5 將周期函數(shù),（課本 例7）,2019年7月6日星期六,22,2019年7月6日星期六,23,周期延拓 F (x),f (x) 在 0 , 上展成,周期延拓 F (x),余弦級數(shù),奇延拓,偶延拓,正弦級數(shù),f (x) 在 0 , 上展成,2. 函數(shù)展開為正弦級數(shù)或余弦級數(shù),2019年7月6日星期六,24,分別展成正弦級,數(shù)與余弦級數(shù) . （課本例8）,解: 先求正弦級數(shù).,去掉端點, 將 f (x) 作奇周期延拓,例6 將函數(shù),2019年7月6日星期六,25,注意:,在端點 x = 0, , 級數(shù)的和為0 ,與給定函數(shù),因此得,f (x) = x + 1 的值不同 .,2019年7月6日星期六,26,將,則有,作偶周期延拓 ,再求余弦級數(shù).,2019年7月6日星期六,27,說明: 令 x = 0 可得,即,2019年7月6日星期六,28,2019年7月6日星期六,29,四、周期為2l的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù),周期為 2l 函數(shù) f (x),周期為 2 函數(shù) F(z),變量代換,將F(z) 作傅氏展開,f (x) 的傅氏展開式,2019年7月6日星期六,30,設周期為2l 的周期函數(shù) f (x)滿足收斂定理條件,則它的傅里葉展開式為,(在 f (x) 的連續(xù)點處),其中,定理5,2019年7月6日星期六,31, 則,令,則,所以,且它滿足收斂,定理條件,將它展成傅里葉級數(shù):,( 在 F(z) 的連續(xù)點處 ),變成,是以 2 為周期的周期函數(shù) ,證明: 令,2019年7月6日星期六,32,其中,令,( 在 f (x) 的 連續(xù)點處 ),證畢,2019年7月6日星期六,33,其中,(在 f (x) 的連續(xù)點處),如果 f (x) 為偶函數(shù), 則有,(在 f (x) 的連續(xù)點處),其中,注: 無論哪種情況 ,在 f (x) 的間斷點 x 處, 傅里葉級數(shù),收斂于,如果 f (x) 為奇函數(shù), 則有,說明:,2019年7月6日星期六,34,展開成,(1) 正弦級數(shù); (2) 余弦級數(shù).,解: (1) 將 f (x) 作奇周期延拓, 則有,例8 把,2019年7月6日星期六,35,作偶周期延拓,則有,(2) 將,2019年7月6日星期六,36,說明: 此式對,也成立,由此還可導出,據(jù)此有,（自行練習課本 例1011）,2019年7月6日星期六,37,方法1,令,即,在,上展成傅里葉級數(shù),周期延拓,將,在,代入展開式,上的傅里葉級數(shù),其傅里葉展開方法:,當函數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時,2019年7月6日星期六,38,令,在,上展成正弦或余弦級數(shù),奇或偶式周期延拓,將 代入展開式,在,即,上的正弦或余弦級數(shù),方法2,2019年7月6日星期六,39,展成傅里葉級數(shù).,解: 令,設,將F(z) 延拓成周期為 10 的周期函數(shù),理條件.,由于F(z) 是奇函數(shù), 故,則它滿足收斂定,例9 將函數(shù),（課本例12）,2019年7月6日星期六,40,內(nèi)容小結(jié),1. 周期為 2 的函數(shù)的傅里葉級數(shù)及收斂定理,其中,注意: 若,為間斷點,則級數(shù)收斂于,2. 周期為 2 的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù),奇函數(shù),正弦級數(shù),偶函數(shù),余弦級數(shù),2019年7月6日星期六,41,3. 在 0 , 上函數(shù)的傅里葉展開法,作奇周期延拓 ,展開為正弦級數(shù),作偶周期延拓 ,展開為余弦級數(shù),為正弦 級數(shù).,4. 周期為2l 的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開公式,(x 間斷點),其中,當f (x)為奇 函數(shù)時,(偶),(余弦),5. 在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開法,變換,延拓,2019年7月6日星期六,42,課外練習,習題106 1； 2(1)；3(2)；4；6,思考練習,1. 在 0 , 上的函數(shù)的傅里葉展開法唯一嗎 ?,答: 不唯一 , 延拓方式不同級數(shù)就不同 .,傅氏級數(shù)的和函數(shù) .,2. 寫出函數(shù),答案:,2019年7月6日星期六,43,處收斂于,則它的傅里葉級數(shù)在,在,處收斂于 .,提示:,設周期函數(shù)在一個周期內(nèi)的表達式為,3.,2019年7月6日星期六,44,又設,求當,的表達式 .,解: 由題設可知應對,作奇延拓:,由周期性:,為周期的正弦級數(shù)展開式的和函數(shù),定義域,4. 設,2019年7月6日星期六,45,數(shù)展式為,則其中系數(shù),提示:,利用“偶倍奇零”,(93 考研),的傅里葉級,5.,2019年7月6日星期六,46,是以 2 為周期的函數(shù) ,其傅氏系數(shù)為,則,的傅氏系數(shù),提示:,令,6. 設,2019年7月6日星期六,47,立葉級數(shù), 并由此求級數(shù),(91 考研),解:,為偶函數(shù),因 f (x) 偶延拓后在,展開成以2為周期的傅,的和.,故得,7.,2019年7月6日星期六,48,得,故,2019年7月6日星期六,49,傅里葉 (1768 1830),法國數(shù)學家.,他的著作熱的解析,理論(1822) 是數(shù)學史上一部經(jīng)典性,書中系統(tǒng)的運用了三角級數(shù)和,三角積分,他的學生將它們命名為傅,里葉級數(shù)和傅里葉積分.,最卓越的工具.,以后以傅里葉著作為基礎發(fā)展起來的,文獻,他深信數(shù)學是解決實際問題,傅里葉分析對近代數(shù)學以及物理和工程技術(shù)的發(fā)展,都產(chǎn)生了深遠的影響.,2019年7月6