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文檔簡介
第1講直線與圓考情考向分析高考考查重點是求直線和圓的方程、直線間的平行和垂直關(guān)系、距離、直線與圓的位置關(guān)系,此類問題難度屬于中檔,偶爾出現(xiàn)解答題其中直線方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程是C級要求熱點一直線、圓的方程例1(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過點M(1,0)的直線l與圓x2y25交于A,B兩點,其中點A在第一象限,且2,則直線l的方程為_答案xy10解析方法一易知l的斜率必存在,設(shè)l:yk(x1)由2,可設(shè)BM2t,MAt,如圖,過原點O作OHl于點H,則BH.設(shè)OHd,在RtOBH中,d22r25,在RtOMH中,d22OM21,解得d2.所以d2,解得k1或k1,因為點A在第一象限,2,由圖知k1,所以l:xy10.方法二設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以(1x2,y2),(x11,y1)因為2,所以有即又代入可得解得x12,代入可得y11,又點A在第一象限,故A(2,1),由點A和點M的坐標(biāo)可得直線AB的方程為xy10.(2)已知圓M的圓心在x軸上,且圓心在直線l1:x2的右側(cè),若圓M截直線l1所得的弦長為2,且與直線l2:2xy40相切,則圓M的方程為_答案(x1)2y24解析由已知,可設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)為(a,0),a2,半徑為r,則解得圓M的方程為(x1)2y24.思維升華求具備一定條件的直線或圓的方程時,其關(guān)鍵是尋找確定直線或圓的兩個幾何要素,待定系數(shù)法也是經(jīng)常使用的方法,解題時要注意平面幾何知識的應(yīng)用跟蹤演練1(1)過點P(4,0)的直線l與圓C:(x1)2y25相交于A,B兩點,若點A恰好是線段PB的中點,則直線l的方程為_答案x3y40解析設(shè)AB的中點為D,則CDAB,設(shè)CDd,ADx,則PAAB2x,在RtACD中,由勾股定理得d2x2r25,在RtPDC中,由勾股定理得d29x2CP225,由解得d2.易知直線l的斜率一定存在,設(shè)為k,則l:yk(x4),圓心C(1,0)到直線l的距離為d,解得k2,k,所以直線l的方程為y(x4),即為x3y40.(2)若圓上一點A(2,3)關(guān)于直線x2y0的對稱點仍在圓上,且圓與直線xy10相交的弦長為2,則圓的方程為_答案(x6)2(y3)252或(x14)2(y7)2244解析設(shè)圓的方程為(xa)2(yb)2r2,點A(2,3)關(guān)于直線x2y0的對稱點仍在圓上,說明圓心在直線x2y0上,即a2b0,且(2a)2(3b)2r2.而圓與直線xy10相交的弦長為2,故r222,由,解得或所以所求圓的方程為(x6)2(y3)252或(x14)2(y7)2244.熱點二直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系例2(2018江蘇儀征中學(xué)檢測)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:x2y24x0及點A, B.(1)若直線l平行于AB,與圓C相交于M,N兩點,MNAB,求直線l的方程;(2)在圓C上是否存在點P,使得PA2PB212 ?若存在,求點P的個數(shù);若不存在,請說明理由解(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為2y24,所以圓心C,半徑為2.因為lAB, A, B,所以直線l的斜率為1,設(shè)直線l的方程為xym0, 則圓心C到直線l的距離為d.因為MNAB2,而CM2d22,所以42, 解得m0或m4,故直線l的方程為xy0或xy40.(2)假設(shè)圓C上存在點P,設(shè)P,則2y24,PA2PB2222212,即x2y22y30,即x224, 因為22,所以圓2y24與圓x224相交,所以點P的個數(shù)為2.思維升華(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法:幾何法:利用d與r的關(guān)系;代數(shù)法:聯(lián)立方程之后利用判斷;點與圓的位置關(guān)系法:若直線恒過定點且定點在圓內(nèi),可判斷直線與圓相交(2)判斷圓與圓的位置關(guān)系,一般用幾何法,其步驟為:確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長;利用平面內(nèi)兩點間的距離公式求出圓心距d,r1r2,|r1r2|;比較d,r1r2,|r1r2|的大小,寫出結(jié)論跟蹤演練2(1)設(shè)直線yx2a與圓C:x2y22ay20相交于A,B兩點,若AB2,則圓C的面積為_答案4解析圓C:x2y22ay20,即C:x2(ya)2a22,圓心為C(0,a),半徑r,C到直線yx2a的距離d.又由AB2,得22a22,解得a22,所以圓C的面積為(a22)4.(2)(2018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:(x1)2y22,點A(2,0),若圓C上存在點M,滿足MA2MO210,則點M的縱坐標(biāo)的取值范圍是_答案解析設(shè)點M(x,y),因為MA2MO210,所以(x2)2y2x2y210, 即x2y22x30,因為(x1)2y22,所以y22(x1)2,所以x22(x1)22x30,化簡得x.因為y22(x1)2,所以y2,所以y.熱點三 直線、圓的綜合問題例3如圖所示,已知圓A的圓心在直線y2x上,且該圓存在兩點關(guān)于直線xy10對稱,又圓A與直線l1:x2y70相切,過點B(2,0)的動直線l與圓A相交于M,N兩點,Q是MN的中點,直線l與l1相交于點P.(1)求圓A的方程;(2)當(dāng)MN2時,求直線l的方程;(3)()是否為定值?如果是,求出此定值;如果不是,請說明理由解(1)由圓存在兩點關(guān)于直線xy10對稱知圓心A在直線xy10上由得A(1,2),設(shè)圓A的半徑為R,圓A與直線l1:x2y70相切,R2,圓A的方程為(x1)2(y2)220.(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時,易知x2符合題意;當(dāng)直線l與x軸不垂直時,設(shè)直線l的方程為yk(x2),即kxy2k0,連結(jié)AQ,則AQMN,MN2,AQ1.由AQ1,得k,直線l的方程為3x4y60,所求直線l的方程為x2或3x4y60.(3)AQBP,0,()22()2;當(dāng)直線l與x軸垂直時,得P,則,又(1,2),()210;當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為yk(x2),由解得P,()2210,綜上所述,()為定值10.思維升華直線、圓的綜合問題包括和圓有關(guān)的定點定值問題、范圍問題及探究性問題解決的基本思路有兩種:代數(shù)法和幾何法,解題時要注意充分利用方程、向量及圖形的特征跟蹤演練3(2016江蘇)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2y212x14y600及其上一點A(2,4)(1)設(shè)圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x6上,求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點,且BCOA,求直線l的方程;(3)設(shè)點T(t,0)滿足:存在圓M上的兩點P和Q,使得,求實數(shù)t的取值范圍解(1)圓M的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x6)2(y7)225,圓心M(6,7),半徑r5,由題意,設(shè)圓N的方程為(x6)2(yb)2b2(b0)且b5.解得b1,圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x6)2(y1)21.(2)kOA2,可設(shè)l的方程為y2xm,即2xym0.又BCOA2.由題意,圓M的圓心M(6,7)到直線l的距離為d2.即2,解得m5或m15.直線l的方程為2xy50或2xy150.(3)由,則四邊形AQPT為平行四邊形,又P,Q為圓M上的兩點,PQ2r10.TAPQ10,即10,解得22t22.故所求t的取值范圍為22,221(2018江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A為直線l:y2x上在第一象限內(nèi)的點,B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若0,則點A的橫坐標(biāo)為_答案3解析設(shè)A(a,2a),則a0.又B(5,0),故以AB為直徑的圓的方程為(x5)(xa)y(y2a)0.由題意知C.由解得或D(1,2)又0,(5a,2a),(5a,2a)a25a0,解得a3或a1.又a0,a3.2圓心在直線y4x上,且與直線xy10相切于點P(3,2)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_答案(x1)2(y4)28解析方法一設(shè)圓心為(a,4a),則有r,解得a1,r2,則圓的方程為(x1)2(y4)28.方法二過點P(3,2)且垂直于直線xy10的直線方程為xy50,聯(lián)立方程組解得則圓心坐標(biāo)為(1,4),半徑為r 2,故圓的方程為(x1)2(y4)28.3(2018江蘇省南京師大附中模擬)已知直線xyb0與圓x2y29交于不同的兩點A,B.若O是坐標(biāo)原點,且|,則實數(shù)b的取值范圍是_答案(3,3)解析設(shè)AB的中點為D,則2,故|,即22,再由直線與圓的弦長公式可得,AB2(d為圓心到直線的距離),又直線與圓相交,故dr,得3,所以3b0,8a35,a1.故圓M的方程為2y21.(2)由已知可設(shè)AC的斜率為k1,BC的斜率為k2,則直線AC的方程為yk1xt,直線BC的方程為yk2xt6.由方程組得C點的橫坐標(biāo)為x0.ABt6t6,S6,圓M與AC相切,1,k1,同理, k2,k1k2,S6,5t2,2t31,8t26t14,Smax6,Smin6,ABC的面積S的最大值為,最小值為.A組專題通關(guān)1直線過點(5,4)且與坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形面積為5,則此直線方程為_答案2x5y100解析設(shè)所求直線在x軸上的截距為a,在y軸上的截距為b,則直線方程為1,a0,b0.依題意有解得故所求直線方程為2x5y100.2已知圓心在x軸上,半徑為的圓O位于y軸左側(cè),且與直線x2y0相切,則圓O的方程是_答案(x5)2y25解析設(shè)圓心為(a,0)(a0),則r,解得a5.所以圓O的方程是(x5)2y25.3在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線x2y30被圓(x2)2(y1)24截得的弦長為_答案解析圓心為點(2,1),半徑r2.圓心到直線的距離d,所以弦長為22 .4已知點P(t,2t)(t0)是圓O:x2y21內(nèi)一點,直線tx2tym與圓O相切,則直線xym0與圓O的位置關(guān)系是_答案相交解析由點P(t,2t)(t0)是圓O:x2y21內(nèi)一點,得|t|1.因為直線 tx2tym圓O相切,所以1,所以|m|1.又圓O:x2y21的圓心O(0,0)到直線xym0的距離d1r.所以位置關(guān)系為“相交”5過原點O作圓x2y26x8y200的兩條切線,設(shè)切點分別為P,Q,則線段PQ的長為_答案4解析圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2(y4)25,可知圓心為C(3,4),半徑為.如圖可知,CO5,OP2.設(shè)OC與PQ的交點為M,在RtPOC中,OCPMOPPC,PM2.PQ2PM4.6(2018無錫期末)過圓x2y216內(nèi)一點P(2,3)作兩條相互垂直的弦AB和CD,且ABCD,則四邊形ACBD的面積為_答案19解析根據(jù)題意畫圖,連結(jié)OP,OA ,過O 作OEAB ,OFCD ,E 為AB 的中點,F(xiàn) 為CD 的中點,又ABCD ,ABCD ,四邊形EPFO 為正方形,由圓的方程得圓心O(0,0),半徑r4 ,OP223213,OE2 AE2OA2OE216,AE,ABCD,S四邊形ACBDABCD19.7若O1:x2y25與O2:(xm)2y220(mR)相交于A,B兩點,且兩圓在點A處的切線互相垂直,則線段AB的長度是_答案4解析由題意知O1(0,0),O2(m,0),且|m|3,又O1AAO2,m2()2(2)225,m5,AB24.8已知圓C1:(x2)2(y3)21,圓C2:(x3)2(y4)29,M,N分別是圓C1,C2上的動點,P為x軸上的動點,則PMPN的最小值為_答案54解析由條件可知,兩圓的圓心均在第一象限,先求PC1PC2的最小值,作點C1關(guān)于x軸的對稱點C1(2,3),則(PC1PC2)minC1C25.所以(PMPN)min54.9已知圓C過點(1,0),且圓心在x軸的正半軸上,直線l:yx1被圓C所截得的弦長為2,則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為_答案xy30解析由題意,設(shè)所求的直線方程為xym0,設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0),則由題意知,22(a1)2,解得a3或1,又因為圓心在x軸的正半軸上,所以a3,故圓心坐標(biāo)為(3,0)因為圓心(3,0)在所求的直線上,所以30m0,即m3,故所求的直線方程為xy30.10已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x2)2(y3)21交于M,N兩點(1)求k的取值范圍;(2)若12,其中O為坐標(biāo)原點,求MN.解(1)由題設(shè)可知,直線l的方程為ykx1,因為l與C交于兩點,所以1.解得k.所以k的取值范圍為.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)將ykx1代入方程(x2)2(y3)21,整理得(1k2)x24(1k)x70.x1,2,x1x2,x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由題設(shè)可得812,解得k1,所以l的方程為yx1.故圓心C在l上,所以MN2.B組能力提高11圓心M在曲線y218x上,圓M與y軸相切且與圓C:(x2)2(y3)21外切,則圓M的方程為_答案2(y3)2或(x2)2(y6)24解析設(shè)圓M:(xa)2(yb)2r2,b218a,r|a|,a,r,圓心C(2,3),rc1,又圓M與圓C外切,則MCrrc,即r1,即 1,解得b3或b6.圓M的方程為2(y3)2或(x2)2(y6)24.12已知以O(shè)為圓心的圓與直線l:ymx(34m)(mR)恒有公共點,且要求圓O的
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