畢業(yè)論文《幾類常見的不可數(shù)集合證明》.doc

長(zhǎng)春師范學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）幾類常見的不可數(shù)集合證明摘要：文中首先介紹實(shí)變函數(shù)論的背景、由來(lái)和在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的作用,并由實(shí)變函數(shù)引出其最為基礎(chǔ)的可數(shù)集合和不可數(shù)集合.最后給出本文的主要內(nèi)容-幾種常見的不可數(shù)集合及其證明方法.本文多次利用反證法證明一個(gè)集合是否為不可數(shù)集合,并對(duì)幾種常見的不可數(shù)集合證明方法作一個(gè)總結(jié)歸納.關(guān)鍵詞：可數(shù)集 不可數(shù)集合 無(wú)理數(shù)集 實(shí)數(shù)集合 康托爾集在大學(xué),我有幸接觸到了實(shí)變函數(shù)論.對(duì)于這門課程,初次接觸就被它的高深和精細(xì)所吸引.“實(shí)變函數(shù)”是以實(shí)數(shù)作為自變量的函數(shù),它和古典的數(shù)學(xué)分析是不同的,它不僅是一種比較高深和精細(xì)的理論,還是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，而且它的應(yīng)用非常廣泛.在實(shí)變函數(shù)論中,可數(shù)集與不可數(shù)集合是最為基本的知識(shí).之所以選擇它們來(lái)進(jìn)行研究,主要考慮到以下幾個(gè)方面：首先,不可數(shù)集合雖然是實(shí)變函數(shù)課程中最為基本的內(nèi)容,但也是最繁瑣的內(nèi)容.本文旨在對(duì)幾種常見的不可數(shù)集合證明方法作出總結(jié)和歸納,以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的.其次,不可數(shù)集合已經(jīng)成為某些數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要工具,而且它在各個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域之中的應(yīng)用,對(duì)于形成近代數(shù)學(xué)的一般拓?fù)鋵W(xué)和泛涵分析兩個(gè)重要分支有著極為重要的影響.其中康托爾集在現(xiàn)代物理學(xué)科研究領(lǐng)域上也被廣泛應(yīng)用.基于以上幾點(diǎn),本文專門對(duì)常見的不可數(shù)集合證明方法作出總結(jié).下面就讓我們先來(lái)認(rèn)識(shí)一下可數(shù)集和不可數(shù)集：1 可數(shù)集和不可數(shù)集的定義和性質(zhì)1.1 可數(shù)集和不可數(shù)集的定義定義1.1 凡和全體正整數(shù)所成之集合N對(duì)等的集合都稱為可數(shù)集合或者可列集合.由于N可按大小順序排列成一無(wú)窮序列：1,2,3,因此,一個(gè)集合是可數(shù)集合的充要條件為: 可以排成一個(gè)無(wú)窮序列： ,.例如,全體正偶數(shù)的集合是一個(gè)可數(shù)集,全體正奇數(shù)的集合也是可數(shù)集,它們與自然數(shù)集可以建立如下的一一對(duì)應(yīng).自然數(shù)1,2,3,4,5,6,正偶數(shù)2,4,6,8,10,12,2,正奇數(shù)1,3,5,7,9,11,21,.這說(shuō)明一個(gè)可數(shù)集可以含有可數(shù)的真子集,反過(guò)來(lái),兩個(gè)可數(shù)集也可以并成一個(gè)可數(shù)集.整數(shù)集與有理數(shù)集都是可數(shù)集.定義1.2 不是可數(shù)集合的無(wú)限集合我們稱為不可數(shù)集合.不可數(shù)集是無(wú)窮集合中的一種.一個(gè)無(wú)窮集合和整數(shù)集合之間要是不存在一個(gè)雙射（不存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系和法則）,那么它就是一個(gè)不可數(shù)集.譬如無(wú)理數(shù)集就是不可數(shù)集.1.2 可數(shù)集和不可數(shù)集的性質(zhì) 可數(shù)集的性質(zhì)：(1) 任何無(wú)限集合都至少包含一個(gè)可數(shù)子集.(2) 可數(shù)集合的任何無(wú)限子集必為可數(shù)集合,從而可數(shù)集合的任何子集或者是有限集或者是可數(shù)集.(3) 設(shè)為可數(shù)集,為有限或可數(shù)集,則為可數(shù)集.(4) 設(shè)都是可數(shù)集,則也是可數(shù)集.(5) 設(shè)是有限集或可數(shù)集,則也是有限集或可數(shù)集,但如果至少有一個(gè)是可數(shù)集,則必為可數(shù)集.(6) 有理數(shù)全體成一可數(shù)集合.(7) 若中每個(gè)元素可由個(gè)互相獨(dú)立的記號(hào)一對(duì)一地加以決定,各記號(hào)跑遍一個(gè)可數(shù)集= 則為可數(shù)集.(8) 代數(shù)數(shù)的全體成一可數(shù)集.不可數(shù)集的性質(zhì)：(1) 全體實(shí)數(shù)所成之集合是一個(gè)不可數(shù)集合.(2) 任意區(qū)間均具有連續(xù)基數(shù).（這里）.(3) 設(shè)是一列互不相交的集合,它們的基數(shù)均為,則它們的和集的基數(shù)也為.(4) 實(shí)數(shù)列全體E的基數(shù)為.(5) 維歐幾里得空間的基數(shù)為.(6) 設(shè)是任意的一個(gè)集合,它的所有子集作成新的集合則.(7) 若用表示全體實(shí)數(shù)所成集合的基數(shù),用表示全體正整數(shù)所成集合的基數(shù),則.(8) 設(shè)有個(gè)（表示連續(xù)基數(shù)）集的并集,若每個(gè)集的基數(shù)都是,則其和集的基數(shù)也是.2 全體實(shí)數(shù)所成之集合是一個(gè)不可數(shù)集合實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無(wú)理數(shù).其中無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù),有理數(shù)就包括整數(shù)和分?jǐn)?shù).通俗地認(rèn)為,包含所有有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的集合就是實(shí)數(shù)集.18世紀(jì),微積分學(xué)在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái).但當(dāng)時(shí)的實(shí)數(shù)集并沒有精確的定義.直到1871年,德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾第一次提出了實(shí)數(shù)的嚴(yán)格定義.定義是由四組公理為基礎(chǔ)的：加法公理；乘法公理；序公理；完備公理；符合以上四組公理的任何一個(gè)集合都叫做實(shí)數(shù)集,實(shí)數(shù)集的元素就是實(shí)數(shù).定理2.1 全體實(shí)數(shù)所成之集合是一個(gè)不可數(shù)集合.證法一 用反證法證明.因?yàn)閷?shí)數(shù)集合與是有一一對(duì)應(yīng)的,故只需說(shuō)明不可數(shù)就可以了.因?yàn)椋菏请p射函數(shù),令=| (01) ,若能證是不可數(shù)集,則也必為不可數(shù)集.假設(shè)是可數(shù)的,則必可表示為：,其中是 區(qū)間的任意實(shí)數(shù).設(shè),其中,設(shè) ,其次,我們構(gòu)造一個(gè)實(shí)數(shù)=使 .這樣,與所有實(shí)數(shù)不同,這證明了,與假設(shè)產(chǎn)生矛盾,因此是不可數(shù)的,即是不可數(shù)集.在第二種證明方法之前先來(lái)回顧一下閉區(qū)間套定義以及定理.定義2.1 設(shè)有一閉區(qū)間列具有如下性質(zhì):(1) (2)則稱這閉區(qū)間列為一個(gè)閉區(qū)間套,或簡(jiǎn)稱區(qū)間套.定理2.2 若是一區(qū)間套,則存在唯一的使得,，,即.下面我們利用閉區(qū)間套定義和定理來(lái)證明實(shí)數(shù)集合是不可數(shù)集合.證法二 用閉區(qū)間套定理證明.假設(shè)是可數(shù)集,則可設(shè)=記=,在內(nèi)作一閉區(qū)間,使其長(zhǎng)度|且；然后又在內(nèi)作一閉區(qū)間,使得|且.一般說(shuō)來(lái)，設(shè)已經(jīng)作好了一個(gè)包含一個(gè)閉區(qū)間：,|, (), 取,且滿足|,.根據(jù)歸納法,我們就得到了一個(gè)區(qū)間套：, |, ()因?yàn)? (),所以由區(qū)間套定理,存在點(diǎn) ().由于,故 ().但,因而是中的點(diǎn),因此, .這與假設(shè)矛盾,因此是不可數(shù)集合.證法三 利用測(cè)度證明.假設(shè)可以排成一個(gè)序列：=.利用測(cè)度知識(shí),知.而實(shí)際上.兩者是矛盾的,所以是不可數(shù)集.證法四 利用綱定理證明.把閉區(qū)間看作完備度量空間(一維空間）的閉子集.由于完備空間內(nèi)的閉集本身構(gòu)成完備的子空間,所以是一完備子空間.一方面,由綱定理,我們知道任一完備空間是第二綱的,所以是第二綱集；另一方面,由于單點(diǎn)集是中的疏朗集.假若是可數(shù)集,則它可表示為可數(shù)個(gè)疏朗集的并,從而為第一綱集.這便推出了矛盾.這樣就證明了是不可數(shù)集.證法五 利用單調(diào)有界法則證明.假設(shè)是可數(shù)集,令=.現(xiàn)構(gòu)造遞歸數(shù)列如下：令, ,則顯然是遞增數(shù)列,且=0,+1 根據(jù)單調(diào)有界法則,但不等于任一.假若不然,則有某個(gè)=,下面分兩種情形討論：(1)若,這與=矛盾.(2)若+,則此時(shí)有=,+=+,+令,兩邊取極限得：=+=+.故 +.這也與=矛盾.因此,不論哪種情形,總有 ().所以,.這與假設(shè)矛盾,從而是不可數(shù)集合.3 其它幾類常見的不可數(shù)集證明 其它幾類常見的不可數(shù)集合有：無(wú)理數(shù)集、康托爾集、可數(shù)集的冪集等等.3.1 無(wú)理數(shù)集是一個(gè)不可數(shù)集合無(wú)理數(shù)集是由全體無(wú)理數(shù)所組成的集合.無(wú)理數(shù),即非有理數(shù)之實(shí)數(shù),不能寫作兩整數(shù)之比.若將它寫成小數(shù)形式,小數(shù)點(diǎn)之后的數(shù)字有無(wú)限多個(gè),并且不會(huì)循環(huán).常見的無(wú)理數(shù)有大多數(shù)平方根、和（其中后兩者同時(shí)為超越數(shù)）等.無(wú)理數(shù)的另一特征是無(wú)限的連分?jǐn)?shù)表達(dá)式.定理3.1 無(wú)理數(shù)集是一個(gè)不可數(shù)集合.證明 第一步,先證明有理數(shù)集是可數(shù)集： 設(shè) ,則是可數(shù)集,由可數(shù)集的性質(zhì)(4)我們知道全體正有理數(shù)成一可數(shù)集.因正負(fù)有理數(shù)通過(guò),成為11對(duì)應(yīng).故全體負(fù)有理數(shù)成一可數(shù)集,但有理數(shù)全體所成之集合,所以由可數(shù)集的性質(zhì)(5)知為可數(shù)集.第二步,再證有限個(gè)可數(shù)集的并集還是可數(shù)集.容易找到一種有限個(gè)可數(shù)集的排列順序:, , , .按照箭頭順序可將排成: =因此, 是可數(shù)集.第三步,接著證明實(shí)數(shù)集是不可數(shù)集.關(guān)于這個(gè)證明本文在前面已經(jīng)給出了很多種證明方法,在此就不贅述了，基本上都是用反證法,即先用一種排列來(lái)表示實(shí)數(shù)集,再由這種表示法推出一定有一個(gè)實(shí)數(shù)不能被這種排列所表示,由此推出矛盾.第四步,證明無(wú)理數(shù)集是不可數(shù)集.用反證法證明.假設(shè)無(wú)理數(shù)集是可數(shù)集,在第一步我們已經(jīng)證出有理數(shù)集是可數(shù)集,那么實(shí)數(shù)集也應(yīng)該是可數(shù)集(實(shí)數(shù)集等于有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的并).而第三步我們已經(jīng)證出了實(shí)數(shù)集是不可數(shù)集,與假設(shè)矛盾.所以無(wú)理數(shù)集是不可數(shù)集.證畢.3.2 Cantor集是一個(gè)不可數(shù)集合Cantor集,又稱三分集.是位于一條線段上的一些點(diǎn)的集合,具有許多顯著和深刻的性質(zhì),常常是集合論中構(gòu)造特例的基礎(chǔ).最常見的構(gòu)造是康托爾三分點(diǎn)集,由不斷地去掉一條線段的中間三分之一得出.著名的康托爾集是這樣構(gòu)成的：定義3.1 (1)設(shè)閉區(qū)間,將三等分,并除去中間開區(qū)間=(,).得兩個(gè)閉區(qū)間=0,=,1,區(qū)間長(zhǎng)度為=.(2)分別將閉區(qū)間,三等分,并出去中間兩個(gè)開區(qū)間=(,),=(,).得到四個(gè)閉區(qū)間=0,、=,、=,、=,1,區(qū)間長(zhǎng)度為=.(3)一般地,仿此繼續(xù)下去,到第次,除去了個(gè)開區(qū)間,得到個(gè)閉區(qū)間,區(qū)間長(zhǎng)度.我們得到集合列().作集合稱集合為Cantor(三分)集.定理3.2 Cantor集合是不可數(shù)集.證明 如果一個(gè)集合與11對(duì)應(yīng),則是不可數(shù)的.其中是由兩個(gè)數(shù)字重復(fù)排列而得到的序列,如0.110001110構(gòu)成的集合=|=0或1,=1,2,不可數(shù).我們對(duì)于上的點(diǎn),用三進(jìn)位表示法來(lái)表示.構(gòu)建Cantor集合時(shí),每次都把區(qū)間三等分,并且除去了中間的開區(qū)間,三進(jìn)位表示方法為：上的點(diǎn),每一次三等分后,依據(jù)它在三個(gè)區(qū)間的位置,對(duì)應(yīng)位數(shù)依次記為0,1,2,如下圖所示： 0 1第一次三等分 0.0 0.1 0.2第二次三等分 0.00 0.01 0.02 0.20 0.21 0.22第三次三等分 0.000 0.001 0.002 0.020 0.021 0.022 0.200 0.201 0.202 0.220 0.221 0.222由上述圖示可知,Cantor集合中的點(diǎn)三進(jìn)位表示法中僅出現(xiàn)數(shù)字0和2,不含數(shù)字1,即(Cantor集合),則可以表示為：,()得,()與11對(duì)應(yīng).所以, Cantor集合是不可數(shù)集.3.3 可數(shù)集的冪集是一個(gè)不可數(shù)集合證明 令為全體正整數(shù)所成的集合.分別記的所有子集,所有有限子集,所有無(wú)限子集所成的集族為,和,則=,為空集.對(duì)于任意的,令,那么是一個(gè)從到上的一對(duì)一的對(duì)應(yīng).故.另一方面,可證.因此,即.即可數(shù)集的冪集是不可數(shù)集.4 總結(jié)與應(yīng)用本文對(duì)幾類常見的不可數(shù)集合證明做出了總結(jié)和歸納.其中在證明實(shí)數(shù)集是不可數(shù)集時(shí)用了很多種方法,并多次利用反證法證明,在用反證法證明的過(guò)程中,做了假設(shè)之后,經(jīng)過(guò)推理出現(xiàn)了矛盾,應(yīng)該的做法是： 如果推理完全正確,推翻假設(shè)是應(yīng)該的. 如果推理本身有誤,必先糾錯(cuò)而不是簡(jiǎn)單地推翻假設(shè).不可數(shù)集合在數(shù)學(xué)領(lǐng)域上有著重要的地位,其中康托爾集合在現(xiàn)代的物理科學(xué)的研究領(lǐng)域上,也有著它特殊的貢獻(xiàn).參考文獻(xiàn)：1 薛昌興等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析M.高等教育出版社,2004.2 熊金城.點(diǎn)集拓?fù)渲v義（第三版）M.北京高等教育出版社,2003.3 左亞麗.承德民族師專學(xué)報(bào)J.承德民族師專出版社,2007.4 張奠宙等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)M.高等教育出版社,2003.5 夏道行等.實(shí)變函數(shù)論與泛函分析M.高等教育出版社,1985.6 江澤堅(jiān)等. 實(shí)變函數(shù)論M.人民教育出版社,1961.7 W盧丁著.趙慈庚等譯.教學(xué)分析原理M.人民教育出版社,1979.8 溫邦彥.什么是康托的不可列集合J.重慶工學(xué)院學(xué)報(bào),2009.9 熊國(guó)敏.談?wù)凜antor集合J.安順師專學(xué)報(bào),2002.10胡世耕.實(shí)變函數(shù)M.高等教育出版社,1999.THE PROVE OF SEVERAL COMMON UNCOUNTABLE COLLECTIONLI Yu-huiAbstract:Thispaperfirstlyintroducesthebackgroundofrealvariablefunktiontheory ,originandtheroleinmathematic ,andbyrealvariablefunktionraisesitsmostbasicdenumerablesetanduncountablecollection .Themaincontentsofthis ,severalcommonuncountablecollectionmethodsofproof.Textfirstgiventhedefinitionsandtheoremsforcollection ,severalcommonuncountablecollection ,andthenumberofseveralcommonmethodsofproofshallset ,oneofthemostcommonisnotrealnumberoffoursetsareproved .Thismakesusinunderstandinguncoun