犀牛和Alias的建模核心NURBS的由來和意義

犀牛和Alias的建模核心 NURBS 的由來和意義NURBS這個(gè)字的由來NURBS 是 Non-Uniform Rational B Spline ( 非均勻有理 B 樣條曲線 ) 的縮寫， NURBS 可用于描述 3D 幾何圖形。使用 NURBS 描述 3D 幾何圖形的優(yōu)點(diǎn)NURBS 幾何圖形有五個(gè)重要的特質(zhì)，這些特質(zhì)讓它成為計(jì)算機(jī)輔助建模的理想選擇。目前有許多交換 NURBS 幾何圖形的標(biāo)準(zhǔn)，用戶可以在許多建模、渲染、動(dòng)畫、工程分析程序中移動(dòng)寶貴的模型，而且以 NURBS 保存的幾何圖形在二十年后仍然可以使用。NURBS 有精確及廣為人知的特質(zhì)，各主要的大學(xué)也都有教授 NURBS 幾何圖形數(shù)學(xué)及計(jì)算機(jī)科學(xué)的課程，這代表專業(yè)軟件廠商、工程團(tuán)隊(duì)、工業(yè)設(shè)計(jì)公司及動(dòng)畫公司可以找到受過 NURBS 程序訓(xùn)練的程序設(shè)什師。NURBS 可以精確地描述標(biāo)準(zhǔn)的幾何圖形 ( 直線、圓、橢圓、球體、環(huán)狀體 ) 及自由造型的幾何圖形 ( 車身、人體 )。以 NURBS 描述的幾何圖形所需的數(shù)據(jù)量遠(yuǎn)比一般的網(wǎng)格形式要少。NURBS 的計(jì)算規(guī)則可以有效并精確地在計(jì)算機(jī)上執(zhí)行，下面將會(huì)繼續(xù)討論。什么是 NURBS 幾何圖形?有許多方式可以回答這個(gè)問題，如果您對(duì)數(shù)學(xué)方程式有興趣，您可以在 openNURBS網(wǎng)站(/books.htmRhino以 NURBS 描述曲線及曲面，NURBS 曲線和曲面有非常類似的特性，并且共享許多專有名詞。Rhino 的曲面結(jié)構(gòu)和以下會(huì)提到的曲線結(jié)構(gòu)非常類似，因?yàn)榍€比較容易描述，我們將會(huì)詳細(xì)地解說曲線結(jié)構(gòu) 。NURBS 曲線是由以下四項(xiàng)所定義：階數(shù)、控制點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)及估計(jì)法則。階數(shù) ( Degree ) 是正整數(shù)。這個(gè)數(shù)字常用到的是 1、2、3 或 5，Rhino 的直線和多重直線的階數(shù)是 1，圓的階數(shù)是 2，大部分自由造型曲線的階數(shù)是 3 或 5。Rhino 可以讓您以階數(shù) 1 到 11 的 NURBS 工作。有時(shí)候，Rhino 會(huì)用到線性、二次方、三次方或五次方等術(shù)語，線性表示階數(shù)為 1、二次方表示階數(shù)為 2、三次方表示階數(shù)為 3、五次方表示階數(shù)為 5。您也可能會(huì)看到某些地方提及 NURBS 曲線的次數(shù) ( Order )，一條 NURBS 曲線的次數(shù)等于 ( 階數(shù) + 1 ) 的正整數(shù)，所以階數(shù)也等于 ( 次數(shù) - 1 )。提高 NURBS 曲線的階數(shù)可以不改變曲線的形狀，但通常降低曲線的階數(shù)一定會(huì)改變曲線的形狀?？刂泣c(diǎn)是一個(gè)點(diǎn)的列表，控制點(diǎn)的最小數(shù)目是 ( 階數(shù) + 1 )。改變 NURBS 曲線形狀最簡(jiǎn)單的方法之一是移動(dòng)控制點(diǎn)，Rhino 有幾種移動(dòng)控制點(diǎn)的方式，您可以使用鼠標(biāo)移動(dòng)控制點(diǎn)對(duì)曲線形狀做大幅度的自由調(diào)整，也可以使用其它專門設(shè)計(jì)的微調(diào)工具。每個(gè)控制點(diǎn)都帶有一個(gè)數(shù)字 ( 權(quán)值 )，除了少數(shù)的特例以外，權(quán)值大多是正數(shù)。當(dāng)一條曲線所有的控制點(diǎn)有相同的權(quán)值時(shí) ( 通常是 1 )，稱為非有理 ( Non-Rational ) 曲線，否則稱為有理 ( Rational ) 曲線。NURBS 的 R 代表有理，意味著一條 NURBS 曲線有可能是有理的。在實(shí)際情況中，大部分的 NURBS 曲線是非有理的, 但有些 NURBS 曲線永遠(yuǎn)是有理的，圓和橢圓是最明顯的例子。Rhino 也有檢查和 改變控制點(diǎn)權(quán)值的工具。節(jié)點(diǎn) ( Knot ) 是一個(gè) ( 階數(shù) + N - 1 ) 的數(shù)字列表，N 代表控制點(diǎn)數(shù)目。有時(shí)候這個(gè)列表上的數(shù)字也稱為節(jié)點(diǎn)向量 ( Knot Vector )，這里的向量并不是指 3D 方向。節(jié)點(diǎn)列表上的數(shù)字必須符合幾個(gè)條件，確定條件是否符合的標(biāo)準(zhǔn)方式是在列表上往下時(shí)，數(shù)字必需維持不變或變大，而且數(shù)字重復(fù)的次數(shù)不可以比階數(shù)大。例如，階數(shù) 3 有 15 個(gè)控制點(diǎn)的 NURBS 曲線， 列表數(shù)字為 0,0,0,1,2,2,2,3,7,7,9,9,9 是一個(gè)符合條件的節(jié)點(diǎn)列表。列表數(shù)字為 0,0,0,1,2,2,2,2,7,7,9,9,9 則不符合，因?yàn)榇?列表中有四個(gè) 2，而四比階數(shù)大 ( 階數(shù)為 3 )。節(jié)點(diǎn)值重復(fù)的次數(shù)稱為節(jié)點(diǎn)的重?cái)?shù) ( Multiplicity )，在上面例子中符合條件的節(jié)點(diǎn)列表中，節(jié)點(diǎn)值 0 的重?cái)?shù)值為三；節(jié)點(diǎn)值 1 的重?cái)?shù)值為一；節(jié)點(diǎn)值 2 的重?cái)?shù)為三；節(jié)點(diǎn)值 7 的重?cái)?shù)值為二；節(jié)點(diǎn)值 9 的重?cái)?shù)值為三。如果節(jié)點(diǎn)值重復(fù)的次數(shù)和階數(shù)一樣，該節(jié)點(diǎn)值稱為 全復(fù)節(jié)點(diǎn) ( Full-Multiplicity Knot )。在上面的例子中，節(jié)點(diǎn)值 0、2、9 有完整的重?cái)?shù)，只出現(xiàn)一次的節(jié)點(diǎn)值稱為單純節(jié)點(diǎn) ( Simple Knot )，節(jié)點(diǎn)值 1 和 3 為單純節(jié)點(diǎn)。如果在節(jié)點(diǎn)列表中是以全復(fù)節(jié)點(diǎn)開始，接下來是單純節(jié)點(diǎn)，再以全復(fù)節(jié)點(diǎn)結(jié)束，而且節(jié)點(diǎn)值為等差，稱為一致 ( Uniform )。例如，如果階數(shù)為 3 有 7 個(gè)控制點(diǎn)的 NURBS 曲線，其節(jié)點(diǎn)值為 0,0,0,1,2,3,4,4,4，那么該曲線有一致的節(jié)點(diǎn)。如果節(jié)點(diǎn)值是 0,0,0,1,2,5,6,6,6 不是一致的，稱為非一致 ( Non-Uniform )。在 NURBS 的 NU 代表“非一致”，意味著在一條 NURBS 曲線中節(jié)點(diǎn)可以是非一致的。在節(jié)點(diǎn)值列表中段有重復(fù)節(jié)點(diǎn)值的 NURBS 曲線比較不平滑，最不平滑的情況是節(jié)點(diǎn)列表中段出現(xiàn)全復(fù)節(jié)點(diǎn)，代表曲線上有銳角控制點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)是一對(duì)一成對(duì)的是常見的錯(cuò)誤概念，這種情況只發(fā)生在 1 階的 NURBS ( 多重直線 )。較高階數(shù)的 NURBS 的每 ( 2 x 階數(shù) ) 個(gè)節(jié)點(diǎn)是一個(gè)群組，每 ( 階數(shù) + 1 ) 個(gè)控制點(diǎn)是一個(gè)群組。例如，一條 3 階 7 個(gè)控制點(diǎn)的 NURBS 曲線，節(jié)點(diǎn)是 0,0,0,1,2,5,8,8,8，前四個(gè)控制點(diǎn)是對(duì)應(yīng)到前六個(gè)節(jié)點(diǎn)；第二到第五個(gè)控制點(diǎn)是對(duì)應(yīng)到第二到第七個(gè)節(jié)點(diǎn) 0,0,1,2,5,8；第三到第六個(gè)控制點(diǎn)是對(duì)應(yīng)到第三到第八個(gè)節(jié)點(diǎn) 0,1,2,5,8,8；最后四個(gè)控制點(diǎn)是對(duì)應(yīng) 到最后六個(gè)節(jié)點(diǎn)。某些建模軟件使用較舊的 NURBS 估計(jì)算法，該算法需要額外的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)值，總數(shù)為 ( 階數(shù) + N + 1 ) 個(gè)節(jié)點(diǎn)。當(dāng) Rhino 導(dǎo)出或?qū)脒@種類型的 NURBS 幾何圖形時(shí)會(huì)自動(dòng)加入或刪除兩個(gè)節(jié)點(diǎn)。輸入一個(gè)數(shù)字到 NURBS 估計(jì)法則使用的數(shù)學(xué)方程式會(huì)得到一個(gè)點(diǎn)。該方程式涉及階數(shù)、控制點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)，并含有某些 B-樣條線基礎(chǔ)函數(shù) ( B-spline basis functions )。NURBS 的 BS 代表 B-樣條曲線 ( B-Spline )。NURBS 的估計(jì)法則是由參數(shù)開始，您可以將估計(jì)法則視為一個(gè)黑盒子，每當(dāng)這個(gè)黑盒子吃進(jìn)一個(gè)參數(shù)就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)點(diǎn)，而黑盒子如何運(yùn)作是階數(shù)、節(jié)點(diǎn)、控制點(diǎn)所控制。Rhino 有一些估計(jì)工具可以讓您選取一條 NURBS 曲線，輸入