2018版高中數(shù)學第三章不等式3.2均值不等式一學案新人教B版.doc

3.2 均值不等式（一）學習目標1.理解均值不等式的內容及證明.2.能熟練運用均值不等式來比較兩個實數(shù)的大小.3.能初步運用均值不等式證明簡單的不等式知識點一算術平均值與幾何平均值思考如圖，AB是圓O的直徑，點Q是AB上任一點，AQa，BQb，過點Q作PQ垂直AB于Q，連接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的長度？梳理一般地，對于正數(shù)a，b，為a，b的_平均值，為a，b的_平均值兩個正數(shù)的算術平均值不小于它們的幾何平均值，即.其幾何意義如上圖中的|PO|PQ|.知識點二均值不等式及其常見推論思考如何證明不等式(a0，b0)?梳理(a0，b0)當對正數(shù)a，b賦予不同的值時，可得以下推論：(1)ab()2(a，bR)；(2)2(a，b同號)；(3)當ab0時，2；(4)a2b2c2abbcca(a，b，cR)類型一常見推論的證明例1證明不等式a2b22ab(a，bR)引申探究證明不等式()2(a，bR)反思與感悟(1)本例證明的不等式成立的條件是a，bR，與均值不等式不同(2)本例使用的作差法與不等式性質是證明中常用的方法跟蹤訓練1已知a，b，c為任意的實數(shù)，求證：a2b2c2abbcca.類型二用均值不等式證明不等式例2已知x、y都是正數(shù)求證：(1)2；(2)(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3.反思與感悟在(1)的證明中把，分別看作均值不等式中的a，b從而能夠應用均值不等式；在(2)中三次利用了均值不等式，由于每次應用不等式時等號成立的條件相同，所以最終能取到等號跟蹤訓練2已知a、b、c都是正實數(shù)，求證：(ab)(bc)(ca)8abc.類型三用均值不等式比大小例3某工廠生產某種產品，第一年產量為A，第二年的增長率為a，第三年的增長率為b，這兩年的平均增長率為x，a，b，x均大于零，則()Ax BxCx Dx反思與感悟均值不等式一端為和，一端為積，使用均值不等式比大小要擅于利用這個橋梁化和為積或者化積為和跟蹤訓練3設ab1，P，Q，Rlg ，則P，Q，R的大小關系是()ARPQ BPQRCQPR DPRQ1已知a0，b0，則2的最小值是()A2 B2 C4 D52若0ab BbaCba Dba3設a、b是實數(shù)，且ab3，則2a2b的最小值是()A6 B4C2 D84設a0，b0，給出下列不等式：a21a；4；(ab)4；a296a.其中恒成立的是_(填序號)1兩個不等式a2b22ab與都是帶有等號的不等式，對于“當且僅當時，取等號”這句話的含義要有正確的理解一方面，當ab時，；另一方面，當時，也有ab.2. 在利用均值不等式證明的過程中，常需要把數(shù)、式合理地拆成兩項或多項或把恒等式變形配湊成適當?shù)臄?shù)、式，以便于利用均值不等式答案精析問題導學知識點一思考|PO|.易證RtAPQRtPBQ，那么|PQ|2|AQ|QB|，即|PQ|.梳理算術幾何知識點二思考ab2()2()22()20，當且僅當ab時，等號成立，ab2，當且僅當ab時，等號成立題型探究類型一例1證明a2b22ab(ab)20，a2b22ab.引申探究證明由例1，得a2b22ab，2(a2b2)a2b22ab，兩邊同除以4，即得()2，當且僅當ab時，取等號跟蹤訓練1證明a2b22ab；b2c22bc；c2a22ca，2(a2b2c2)2(abbcca)，即a2b2c2abbcca，當且僅當abc時，等號成立類型二例2證明(1)x，y都是正數(shù)，0，0，22，即2，當且僅當xy時，等號成立(2)x，y都是正數(shù)，xy20，x2y220，x3y320.(xy)(x2y2)(x3y3)2228x3y3，即(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3，當且僅當xy時，等號成立跟蹤訓練2證明a，b，c都是正實數(shù)，ab20，bc20，ca20.(ab)(bc)(ca)2228abc.即(ab)(bc)(ca)8abc，當且僅當abc時，等號成立類型三例3B第二年的產量為AAaA(1a)，第三年產量為A(1a)A(1a)bA(1a)(1b)若平均增長率為x，則第三年產量為A(1x)2.依題意有A(1x)2A(1a)(1b)，a0，b0，x0，(1x)2(1a)(1b)2，1x1，x.跟蹤訓練3B當堂訓練1C2.C3.B4.答案精析問題導學知識點一思考不等式x21的解集為x|x1，該集合中每一個元素都是不等式的解，而不等式的每一個解均屬于解集梳理(1)一元二次(3)集合知識點二思考x210yx21x210.梳理兩相異實根x1，x2(x1x2)兩相等實根x1x2x|xx2x|x1x0.方程x23x20的根x11，x22，原不等式的解集為x|x2題型探究類型一命題角度1例1解因為(4)24410，所以方程4x24x10的解是x1x2，所以原不等式的解集為.跟蹤訓練1x|x或x2命題角度2例2解不等式可化為x22x30.因為0，方程x22x30無實數(shù)解，而yx22x3的圖象開口向上，所以原不等式的解集是.跟蹤訓練2x|1x0，即2x23x10.由2x23x10，解得x1.bx2ax10的解集為.跟蹤訓練4解由題設條件知a0，