2018版高中數學第三章立體幾何中的向量方法2空間向量與垂直關系學案新人教A版.doc

3.2 立體幾何中的向量方法（2）空間向量與垂直關系學習目標1.能用向量法判斷一些簡單線線、線面、面面垂直關系.2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系.3.能用向量方法證明空間線面垂直關系的有關定理.知識點一向量法判斷線線垂直思考若直線l1的方向向量為1(1，3，2)，直線l2的方向向量為2(1，1，1)，那么兩直線是否垂直？用向量法判斷兩條直線垂直的一般方法是什么？答案l1與l2垂直，因為121320，所以12，又1，2是兩直線的方向向量，所以l1與l2垂直.判斷兩條直線是否垂直的方法：(1)在兩直線上分別取兩點A、B與C、D，計算向量與的坐標，若0，則兩直線垂直，否則不垂直.(2)判斷兩直線的方向向量的數量積是否為零，若數量積為零，則兩直線垂直，否則不垂直.梳理設直線l的方向向量為a(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b(b1，b2，b3)，則lmab0a1b1a2b2a3b30.知識點二向量法判斷線面垂直思考若直線l的方向向量為1，平面的法向量為2，則直線l與平面的位置關系是怎樣的？如何用向量法判斷直線與平面的位置關系？答案垂直，因為12，所以12，即直線的方向向量與平面的法向量平行，所以直線l與平面垂直.判斷直線與平面的位置關系的方法：(1)直線l的方向向量與平面的法向量共線l.(2)直線的方向向量與平面的法向量垂直直線與平面平行或直線在平面內.(3)直線l的方向向量與平面內的兩相交直線的方向向量垂直l.梳理設直線l的方向向量a(a1，b1，c1)，平面的法向量(a2，b2，c2)，則laak(kR).知識點三向量法判斷面面垂直思考平面，的法向量分別為1(x1，y1，z1)，2(x2，y2，z2)，用向量坐標法表示兩平面，垂直的關系式是什么？答案x1x2y1y2z1z20.梳理若平面的法向量為(a1，b1，c1)，平面的法向量為(a2，b2，c2)，則0a1a2b1b2c1c20.類型一證明線線垂直例1已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長都為1，M是底面上BC邊的中點，N是側棱CC1上的點，且CNCC1.求證：AB1MN.證明設AB中點為O，作OO1AA1.以O為坐標原點，OB為x軸，OC為y軸，OO1為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.由已知得A，B，C，N，B1，M為BC中點，M.，(1，0，1)，00.，AB1MN.反思與感悟證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標系寫出點的坐標求直線的方向向量證明向量垂直得到兩直線垂直.跟蹤訓練1如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，求證：ACBC1.證明直三棱柱ABCA1B1C1底面三邊長AC3，BC4，AB5，AC、BC、C1C兩兩垂直.如圖，以C為坐標原點，CA、CB、CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.則C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，(3，0，0)，(0，4，4)，0.ACBC1.類型二證明線面垂直例2如圖所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點.求證：AB1平面A1BD.證明如圖所示，取BC的中點O，連接AO.因為ABC為正三角形，所以AOBC.因為在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中點O1，以O為原點，以，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則B(1，0，0)，D(1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0).所以(1，2，)，(1，2，)，(2，1，0).因為1(1)22()0.1(2)21()00.所以，即AB1BA1，AB1BD.又因為BA1BDB，所以AB1平面A1BD.反思與感悟用坐標法證明線面垂直的方法及步驟方法一：(1)建立空間直角坐標系.(2)將直線的方向向量用坐標表示.(3)找出平面內兩條相交直線，并用坐標表示它們的方向向量.(4)分別計算兩組向量的數量積，得到數量積為0.方法二：(1)建立空間直角坐標系.(2)將直線的方向向量用坐標表示.(3)求出平面的法向量.(4)判斷直線的方向向量與平面的法向量平行.跟蹤訓練2如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，點P為DD1的中點.求證：直線PB1平面PAC.證明如圖建系，C(1，0，0)，A(0，1，0)，P(0，0，1)，B1(1，1，2)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)，(0，1，2)，(1，0，2).(1，1，1)(1，0，1)0，所以，即PB1PC.又(1，1，1)(0，1，1)0，所以，即PB1PA.又PAPCP，所以PB1平面PAC.類型三證明面面垂直例3在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ABBC，ABBC2，AA11，E為BB1的中點，求證：平面AEC1平面AA1C1C.證明由題意知直線AB，BC，B1B兩兩垂直，以點B為原點，分別以BA，BC，BB1所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E(0，0，)，故(0，0，1)，(2，2，0)，(2，2，1)，(2，0，).設平面AA1C1C的法向量為n1(x，y，z)，則即令x1，得y1，故n1(1，1，0).設平面AEC1的法向量為n2(a，b，c)，則即令c4，得a1，b1，故n2(1，1，4).因為n1n2111(1)040，所以n1n2.所以平面AEC1平面AA1C1C.反思與感悟證明面面垂直的兩種方法(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉化為線面垂直、線線垂直去證明.(2)向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直.跟蹤訓練3在四面體ABCD中，AB平面BCD，BCCD，BCD90，ADB30，E、F分別是AC、AD的中點，求證：平面BEF平面ABC.證明以B為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，設A(0，0，a)，則易得B(0，0，0)，C，D(0，a，0)，E，F(xiàn)(0，a，)，故(0，0，a)，.設平面ABC的法向量為n1(x1，y1，z1)，則即取x11，n1(1，1，0)為平面ABC的一個法向量.設n2(x2，y2，z2)為平面BEF的一個法向量，同理可得n2(1，1，).n1n2(1，1，0)(1，1，)0，平面BEF平面ABC.1.下列命題中，正確命題的個數為()若n1，n2分別是平面，的法向量，則n1n2；若n1，n2分別是平面，的法向量，則 n1n20；若n是平面的法向量，a與平面平行，則na0；若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面不垂直.A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析中平面，可能平行，也可能重合，結合平面法向量的概念，易知正確.2.已知兩直線的方向向量為a，b，則下列選項中能使兩直線垂直的為()A.a(1，0，0)，b(3，0，0)B.a(0，1，0)，b(1，0，1)C.a(0，1，1)，b(0，1，1)D.a(1，0，0)，b(1，0，0)答案B解析因為a(0，1，0)，b(1，0，1)，所以ab0110010，所以ab，故選B.3.若直線l的方向向量為a(1，0，2)，平面的法向量為(2，0，4)，則()A.l B.l C.l D.l與斜交答案B解析a，l.4.平面的一個法向量為m(1，2，0)，平面的一個法向量為n(2，1，0)，則平面與平面的位置關系是()A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能確定答案C解析(1，2，0)(2，1，0)0，兩法向量垂直，從而兩平面垂直.5.已知平面與平面垂直，若平面與平面的法向量分別為(1，0，5)，(t，5，1)，則t的值為_.答案5解析平面與平面垂直，平面的法向量與平面的法向量垂直，0，即(1)t05510，解得t5.空間垂直關系的解決策略幾何法向量法線線垂直(1)證明兩直線所成的角為90.(2)若直線與平面垂直，則此直線與平面內所有直線垂直兩直線的方向向量互相垂直線面垂直對于直線l，m，n和平面(1)若lm，ln，m，n，m與n相交，則l.(2)若lm，m，則l(1)證明直線的方向向量分別與平面內兩條相交直線的方向向量垂直.(2)證明直線的方向向量與平面的法向量是平行向量面面垂直對于直線l，m和平面，(1)若l，l，則.(2)若l，m，lm，則.(3)若平面與相交所成的二面角為直角，則證明兩個平面的法向量互相垂直40分鐘課時作業(yè)一、選擇題1.設直線l1，l2的方向向量分別為a(2，2，1)，b(3，2，m)，若l1l2，則m等于()A.2 B.2 C.6 D.10答案D解析因為ab，故ab0，即232(2)m0，解得m10.2.若平面，的法向量分別為a(1，2，4)，b(x，1，2)，并且，則x的值為()A.10 B.10 C. D.答案B解析因為，則它們的法向量也互相垂直，所以ab(1，2，4)(x，1，2)0，解得x10.3.已知點A(0，1，0)，B(1，0，1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA平面ABC，則點P的坐標為()A.(1，0，2) B.(1，0，2) C.(1，0，2) D.(2，0，1)答案C解析由題意知(1，1，1)，(2，0，1)，(x，1，z)，又PA平面ABC，所以有(1，1，1)(x，1，z)0，得x1z0，(2，0，1)(x，1，z)0，得2xz0，聯(lián)立得x1，z2，故點P的坐標為(1，0，2).4.在正方體ABCDA1B1C1D1中，若E為A1C1的中點，則直線CE垂直于()A.AC B.BD C.A1D D.A1A答案B解析建立如圖所示的空間直角坐標系.設正方體的棱長為1，則A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(1，0，0)，D(0，0，0)，A1(0，1，1)，C1(1，0，1)，E，(1，1，0)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，1)，(1)()(1)010，CEBD.5.若平面，垂直，則下面可以作為這兩個平面的法向量的是()A.n1(1，2，1)，n2(3，1，1)B.n1(1，1，2)，n2(2，1，1)C.n1(1，1，1)，n2(1，2，1)D.n1(1，2，1)，n2(0，2，2)答案A解析1(3)21110，n1n20，故選A.6.兩平面，的法向量分別為(3，1，z)，v(2，y，1)，若，則yz的值是()A.3 B.6 C.6 D.12答案B解析v06yz0，即yz6.二、填空題7.在三棱錐SABC中，SABSACACB90，AC2，BC，SB，則異面直線SC與BC是否垂直_.(填“是”或“否”)答案是解析如圖，以A為原點，AB，AS分別為y軸，z軸建立空間直角坐標系，則由AC2，BC，SB，得B(0，0)，S(0，0，2)，C，.因為0，所以SCBC.8.已知點P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1).對于結論：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正確的是_.(填序號)答案解析(1，2，1)(2，1，4)122(1)(1)(4)0，APAB，即正確；(1，2，1)(4，2，0)(1)422(1)00，APAD，即正確；又ABADA，AP平面ABCD，即是平面ABCD的一個法向量，即正確；是平面ABCD的法向量，即不正確.9.在空間直角坐標系Oxyz中，已知點P(2cos x1，2cos 2x2，0)和點Q(cos x，1，3)，其中x0，.若直線OP與直線OQ垂直，則x的值為_.答案或解析由題意得，cos x(2cos x1)(2cos 2x2)0.2cos2xcos x0，cos x0或cos x.又x0，x或x.10.在ABC中，A(1，2，1)，B(0，3，1)，C(2，2，1).若向量n與平面ABC垂直，且|n|，則n的坐標為_.答案(2，4，1)或(2，4，1)解析據題意，得(1，1，2)，(1，0，2).設n(x，y，z)，n與平面ABC垂直，即可得|n|，解得y4或y4.當y4時，x2，z1；當y4時，x2，z1.三、解答題11.如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是CD的中點.證明：CD平面PAE.證明如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.設PAh，則相關各點的坐標為A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，3，0)，D(0，5，0)，E(2，4，0)，P(0，0，h).易知(4，2，0)，(2，4，0)，(0，0，h).因為8800，0，所以CDAE，CDAP，而AP，AE是平面PAE內的兩條相交直線，所以CD平面PAE.12.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PAAB1，AD，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動.求證：無論點E在BC邊的何處，都有PEAF.證明建立如圖所示空間直角坐標系，則P(0，0，1)，B(0，1，0)，F(xiàn)，D，設BEx(0x)，則E(x，1，0)，(x，1，1)0，所以x0， 時都有PEAF，即無論點E在BC邊的何處，都有PEAF.13.已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CC1上的動點.(1)求證：A1EBD；(2)若平面A1BD平面EBD，試確定E點的位置.(1)證明以D為坐標原點，以D