2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一講不等式和絕對(duì)值不等式一3.三個(gè)正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式教案.docx

3三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式1定理3如果a，b，cR，那么，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立，用文字語言可敘述為：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均(1)不等式成立的條件是：a，b，c均為正數(shù)，而等號(hào)成立的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)abc. (2)定理3可變形為：abc3；a3b3c33abc.(3)三個(gè)及三個(gè)以上正數(shù)的算術(shù)幾何平均值不等式的應(yīng)用條件與前面基本不等式的應(yīng)用條件是一樣的，即“一正，二定，三相等”2定理3的推廣對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1，a2，an，它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí)，等號(hào)成立用平均不等式證明不等式例1設(shè)a，b，cR，求證：(abc)227.思路點(diǎn)撥本題考查平均不等式的應(yīng)用，解答本題需要先觀察求證式子的結(jié)構(gòu)，然后通過變形轉(zhuǎn)化為用平均不等式證明的問題證明a，b，cR，abc30，從而(abc)290，又30，(abc)23927.當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立證明不等式的方法與技巧(1)觀察式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，分析題目中的條件若具備“一正，二定，三相等”的條件，可直接應(yīng)用該定理若題目中不具備該條件，要注意經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃魏笤偈褂枚ɡ碜C明(2)三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式是根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)和比較法證出的，因此凡是利用該不等式證明的不等式，一般可用比較法證明1設(shè)a，b，cR，求證(abc)9.證明：當(dāng)a，b，cR時(shí)，abc3，3.(abc)9，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立2已知a1，a2，an都是正數(shù)，且a1a2an1，求證：(2a1)(2a2)(2an)3n.證明：因?yàn)閍1是正數(shù)，根據(jù)三個(gè)正數(shù)的平均不等式，有2a111a13.同理2aj3 (j2,3，n)將上述各不等式的兩邊分別相乘即得(2a1)(2a2)(2an)(3)(3)(3)3n.a1a2an1，(2a1)(2a2)(2an)3n.當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an1時(shí)，等號(hào)成立.用平均不等式求最值例2(1)求函數(shù)y(x1)2(32x)的最大值(2)求函數(shù)yx(x1)的最小值思路點(diǎn)撥(1)對(duì)于積的形式求最大值，應(yīng)構(gòu)造和為定值；(2)對(duì)于和的形式求最小值，應(yīng)構(gòu)造積為定值解(1)1x0，x10.y(x1)2(32x)(x1)(x1)(32x)33，當(dāng)且僅當(dāng)x1x132x，即x時(shí)等號(hào)成立，即ymax.(2)x1，x10，yx(x1)(x1)1314，當(dāng)且僅當(dāng)(x1)(x1)，即x3時(shí)等號(hào)成立即ymin4.(1)利用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式定理求最值，可簡記為“積定和最小，和定積最大”(2)應(yīng)用平均不等式定理，要注意三個(gè)條件：即“一正二定三相等”同時(shí)具備時(shí)，方可取得最值，其中定值條件決定著平均不等式應(yīng)用的可行性，獲得定值需要一定的技巧，如：配系數(shù)、拆項(xiàng)、分離常數(shù)、平方變形等3設(shè)x0，則f(x)4x的最大值為()A4B4C不存在 D.解析：選Dx0，f(x)4x4434，當(dāng)且僅當(dāng)，即x1時(shí)等號(hào)成立，故f(x)的最大值為.4已知abc，求ac的最小值解：由abc，得ab0，bc0，則ac(ab)(bc)3 3，當(dāng)且僅當(dāng)abbc時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)abbc時(shí)，ac取得最小值3.用平均不等式解應(yīng)用題例3如圖所示，在一張半徑是2 m的圓桌的正中央上空掛一盞電燈大家知道，燈掛得太高了，桌子邊緣處的亮度就小；掛得太低，桌子的邊緣處仍然是不亮的由物理學(xué)知道，桌子邊緣一點(diǎn)處的照亮度E和電燈射到桌子邊緣的光線與桌子的夾角的正弦成正比，而和這一點(diǎn)到光源的距離r的平方成反比，即Ek.這里k是一個(gè)和燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)，那么究竟應(yīng)該怎樣選擇燈的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？思路點(diǎn)撥解r，Ek.E2sin2cos4(2sin2)cos2cos23.當(dāng)且僅當(dāng)2sin2cos2時(shí)取等號(hào)，即tan2，tan .h2tan ，即h時(shí)，E最大本題獲解的關(guān)鍵是在獲得了Ek后，對(duì)E的表達(dá)式進(jìn)行變形求得E的最大值解應(yīng)用題時(shí)必須先讀懂題意，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，若把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，常配湊成可以用平均不等式的形式，若符合條件“一正、二定、三相等”即可求解5已知圓錐的底面半徑為R，高為H，求圓錐的內(nèi)接圓柱體的高h(yuǎn)為何值時(shí)，圓柱的體積最大？并求出這個(gè)最大的體積解：設(shè)圓柱體的底面半徑為r，如圖，由相似三角形的性質(zhì)可得，r(Hh)V圓柱r2h(Hh)2h(0h0，則yx的最小值為()A2B2C3 D3解析：選Dyx33，當(dāng)且僅當(dāng)，即x2時(shí)取“”號(hào)2設(shè)x，y，zR且xyz6，則lg xlg ylg z的取值范圍是()A(，lg 6 B(，3lg 2Clg 6，) D3lg 2，)解析：選Blg xlg ylg zlg(xyz)，而xyz3，lg(xyz)lg 83lg 2，當(dāng)且僅當(dāng)xyz2時(shí)，等號(hào)成立3若實(shí)數(shù)x，y滿足xy0，且x2y2，則xyx2的最小值是()A1 B2C3 D4解析：選Cxyx2xyxyx23 3 3，當(dāng)且僅當(dāng)xyx2，x2y2，即x1，y2時(shí)取“”號(hào)故xyx2的最小值為3.4已知a，b，cR，x，y，z ，則x，y，z的大小關(guān)系是()Axyz ByxzCyzx Dzyx解析：選Ba，b，cR，xy，又x2，z2，a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，三式相加得a2b2c2abbcca，3a23b23c2(abc)2，z2x2，zx，即yxz.5設(shè)0x1，則x(1x)2的最大值為 _.解析：0x0.故.x(1x)2，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào)答案：6設(shè)x，y，z均大于0，且x3y4z6，則x2y3z的最大值為_解析：6x3y4zyyy4z6.x2y3z1，當(dāng)且僅當(dāng)y4z時(shí)取“”號(hào)x2z3z的最大值為1.答案：17設(shè)三角形三邊長為3,4,5，P是三角形內(nèi)的一點(diǎn)，則P到該三角形三邊距離乘積的最大值是_解析：設(shè)P到長度為3,4,5的三角形三邊的距離分別是x，y，z，三角形的面積為S.則S(3x4y5z)，又324252，這個(gè)直角三角形的面積S346.3x4y5z2612.33x4y5z12.(xyz)max.當(dāng)且僅當(dāng)x，y1，z時(shí)等號(hào)成立答案：8設(shè)a，b，cR，求證：(abc).證明：a，b，cR，2(abc)(ab)(bc)(ca)30.3 0，(abc).當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立9若為銳角，求ysin cos2的最大值解：y2sin2cos2cos22sin2(1sin2)(1sin2)3.當(dāng)且僅當(dāng)2sin21sin2，即sin 時(shí)取等號(hào)此時(shí)ymax.10已知某輪船速度為每小時(shí)10千米時(shí)，燃料費(fèi)為每小時(shí)30元，其余費(fèi)用(不隨速度變化)為每小時(shí)480元，設(shè)輪船的燃料費(fèi)用與其速度的立方成正比，問輪船航行