函數(shù)的表示法(要用).ppt

1.2 函數(shù)及其表示,1.2.2 函數(shù)的表示法,復習回顧,函數(shù)的表示法，常用的有三種： 解析法、列表法、圖象法。 解析法：把兩個變量的函數(shù)關(guān)系，用一個等式來表示，這個等式叫做函數(shù)的解析式。 解析式只表示一種對應關(guān)系，與所取的字母無關(guān)。 例如：y = 2 x 1 與 u = 2 t -1 表示同一個函數(shù)。 函數(shù)解析式一定是方程； 方程不一定是函數(shù)解析式。,例如：x2+y2=1,復習回顧,(1)炮彈發(fā)射,（解析法）,h=130t-5t2 （0t26）,(2)南極臭氧層空洞,（圖象法）,(3)恩格爾系數(shù),(列表法),函數(shù)的表示法,1、解析法：用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關(guān)系.,解析式,優(yōu)點：函數(shù)關(guān)系清楚,容易從自變量的值求出其對應的函數(shù)值.便于用解析式來研究函數(shù)的性質(zhì).,函數(shù)的表示法,2、圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應關(guān)系.,優(yōu)點：能直觀地表示出函數(shù)的變化情況。,注意：圖象法是今后利用數(shù)形結(jié)合思想解題的基礎(chǔ)。,圖象法：,思考：初中畫函數(shù)圖象主要用什么方法？ 利用此法畫圖的主要步驟如何？,初中畫函數(shù)圖象的主要方法是描點法。,按描點法畫函數(shù)圖象的主要步驟有： （1）確定自變量 x 的取值范圍，對函數(shù)圖象 的整體性質(zhì)有個把握； （2）列表：選取一些典型的點，將x與y的對應值用表列出； （3）描點：將表中點在直角坐標系中描出； （4）連線：用平滑直線或曲線依次連接各點。,例如： 一次函數(shù)圖象：一條直線兩點確定一條直線 找兩個典型的點通常找與坐標軸的交點。 二次函數(shù)圖象：拋物線開口方向，對稱軸，頂 點，與坐標軸交點。,判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象：,判斷下列圖象，哪些可以表示函數(shù)圖象？,x,y,O,x,y,O,x,O,x,O,y,y,A,B,C,D,平行于y軸（也即垂直于x軸）的直線，與函數(shù)圖象至多有一個交點。,-1,1,函數(shù)的表示法,3. 列表法: 列出表格來表示兩個變量之間的對應關(guān)系.,優(yōu)點：不必通過運算就知道當自變量取某些值時函數(shù)的對應值.,“八五”計劃以來我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況,缺點：經(jīng)常不可能把所有的對應值列入數(shù)表中，而只能達到實際上夠用的程度。,函數(shù)的表示法,解:(1)用解析法可將函數(shù)y=f(x)表示為,y=5x,(2)用列表法可將函數(shù)表示為,例1、某種筆記本的單價是5元,買x (x1,2,3,4,5) 個筆記本需要 y 元.試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù)y=f(x).,函數(shù)的表示法,(3)用圖象法可將函數(shù)表示為下圖,(1)用解析法表示函數(shù)是否一定要寫出自變量的取值范圍？,(2)用描點法畫函數(shù)圖象的一般步驟是什么？本題中的圖象為什么不是一條直線？,函數(shù)的定義域是函數(shù)存在的前提,在寫函數(shù)解析式的時候,一定要寫出函數(shù)的定義域.,列表、描點、連線(視其定義域決定是否連線).,函數(shù)的圖象既可以是連續(xù)的曲線,也可以是直線、折線、離散的點等.,想一想,函數(shù)的表示法,例2.下表是某校高一(1)班三名同學在高一學年度六次數(shù)學測試的成績及班級平均分表.,表格能否直觀地分析出三位同學成績高低?如何才能更好的比較三個人的成績高低?,請你對這三位同學在高一學年度的數(shù)學學習情況做一個分析。,函數(shù)的表示法,解：將“成績”與“測試時間”之間的關(guān)系用函數(shù)圖象表示出來?？梢钥闯觯?王偉同學學習情況穩(wěn)定且成績優(yōu)秀； 張城同學的成績在班級平均水平上下波動,且波動幅度較大; 趙磊同學的成績低于班級平均水平,但成績在穩(wěn)步提高.,.,.,.,.,.,.,王偉,張城,班平均分,趙磊,函數(shù)的表示法,練習. 向高為H的水瓶中注水,注滿為止,如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示,那么水瓶的形狀是( ),B,分段函數(shù),解:由絕對值的意義,知,例3.畫出函數(shù) 的圖象.,圖像如下,1,函數(shù)圖像變換專題,y=| x-1 |,比較例3的做圖方法與例1、例2有何不同？,例1、例2采用的是描點法; 例3可借助于已知函數(shù)畫圖象.,描點法一般適用于那些復雜的函數(shù),而對于一些結(jié)構(gòu)比較簡單的函數(shù),則通常借助于一些基本函數(shù)的圖象來變換.,想一想,分段函數(shù),例4某市“招手即停”公共汽車的票價按下列規(guī)則制定： (1) 5公里以內(nèi)(含5公里),票價2元； (2) 5公里以上,每增加5公里,票價增加1元(不足5公里按5公里計算) 如果某條線路的總里程為20公里,請根據(jù)題意,寫出票價y與里程x之間的函數(shù)解析式,并畫出函數(shù)的圖象,解:設(shè)票價為y元,里程為x公里,由題意可知,自變量的取值范圍是(0,20,由票價制定規(guī)則,可得到以下函數(shù)解析式：,分段函數(shù),解:函數(shù)解析式為,有些函數(shù)在它的定義域中，對于自變量的不同取值范圍，對應關(guān)系不同，這種函數(shù)通常稱為分段函數(shù),2，,3，,4，,5,y,0 x5,=,5 x10,10 x15,15 x20,分段函數(shù),2,3,4,5,問：此函數(shù)能用列表法表示嗎？,此分段函數(shù)的定義域為,此分段函數(shù)的值域為,每段上的函數(shù)解析式是怎樣求出的？,自變量的范圍是怎樣得到的？,自變量的范圍為什么分成了四個區(qū)間？區(qū)間端點是怎樣確定的？,作函數(shù)圖象：,作出下列函數(shù)的圖象，并求函數(shù)的值域：, y =|1-x|, y = x - n （nZ，且-2n1，xn,n+1)）,作函數(shù)圖象：, y =|1-x|,解：y =|1-x|=,函數(shù)的值域是 0,+）,|x-1|=,x,y,O,4,3,2,1,1,2,3,4,作函數(shù)圖象：,解：,函數(shù)的值域是（0,+）,x,y,O,4,3,2,1,1,2,3,4,-3,-2,-1,5,分段函數(shù)的值域求法： 分別把每段函數(shù)的值域求出，再取它們的并集。,作函數(shù)圖象：,解：,函數(shù)的定義域是-2,2）,x,y,O,2,1,1,2,-2,-1, y = x - n （nZ，且-2n1，xn,n+1),函數(shù)的值域是0,1）,y =,x+2, nZ，且-2n1, n= -2，-1，0，1,x+1,x,x -1,（n = -2，-2x-1）,（n = -1，-1x0）,（n = 0，0x1）,（n = 1，1x2）,分段函數(shù),注意： 1、有些函數(shù)在它的定義域中，對于自變量x的不同取值范圍，對應關(guān)系不同，這種函數(shù)通常稱為分段函數(shù)。 分段函數(shù)的表達式雖然不止一個，但它不是幾個函數(shù)，而是一個函數(shù)。 2、分段函數(shù)的定義域是各段“定義域”的并集， 值域是各段“值域”的并集。 3、函數(shù)圖象不一定是光滑曲線（直線），還可以是一些孤立的點、一些線段、一段曲線等。,分段函數(shù),1. 已知函數(shù),若 f(x)=3, 則x的值是( ).,A. 1,B.,C.,D.,D,分段函數(shù)是一個函數(shù),不要把它誤認為是“幾個函數(shù)”。,【定義域】？,【值域】？,分段函數(shù),解：由題意知,y = | x + 5 | + | x 1 |,當 x 5 時，,y = ( x + 5 ) ( x 1 ),=2x4,當 5 x 1 時，,y = ( x + 5 ) ( x 1 ) = 6,當 x 1 時，,y = ( x + 5 ) + ( x 1 ),= 2x + 4,2. 化簡函數(shù),【定義域】？,【值域】？,分段函數(shù),3（浙江13）已知 f(x)= ,則不等式 x + (x+2)f(x+2)5的解集是_.,小結(jié)：采取分類的方法，利用已知分段函數(shù)，把 所求不等式化為分段的幾個不等式，然后 取不等式解集的并集。,分段函數(shù),4.（上海）函數(shù) ，的值域是 。,小結(jié)：采取分類的方法，利用已知分段函數(shù)，把各段的值域求出來，再取它們的并集； 或把所求函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化成畫函數(shù)圖象，然后根據(jù)函數(shù)圖象找到函數(shù)的值域。,課堂小結(jié),1.理解函數(shù)的三種表示法及其各自的優(yōu)點；,3. 分段函數(shù)的表示方法及其圖象的畫法.,2.通過例1,2,3,掌握描點法和利用已知函數(shù)作圖的方法、步驟，體會函數(shù)的圖象(數(shù)形結(jié)合)在解決數(shù)學問題時的直觀效果.,作業(yè),補充作業(yè)： 求函數(shù)y = | 2x+1 | + | x 2 |值域,教材P24習題1.2 A組T1,4,5；T7,9； B組T4,映射,復習回顧：,函數(shù)的概念： 設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù) f（x）和它對應，那么就稱 f：AB 為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作 y = f（x），xA 其中，x 叫做自變量，x 的取值范圍 A 叫做函數(shù)的定義域，與 x 的值相對應的 y 的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 f (x) | x A 叫做函數(shù)的值域。,復習回顧：,如果將函數(shù)定義中的兩個集合從非空數(shù)集擴展到任意元素的集合，我們就可以得到映射的概念。 例如： 對任意實數(shù)a，數(shù)軸上都有唯一的一個點和它對應； 坐標平面內(nèi)的任意一個點A，都有唯一的一個有序?qū)崝?shù)對（x，y）和它對應； 任何一個三角形，都有唯一一個確定的面積和它對應； 我們班的每一個學生都有唯一一個學號和他(她)對應。,映射：,映射：,例1、從集合 A 到集合 B 的映射： （1）設(shè)A = 1，2，3，4 ，B = 3，4，5，6，7，8，9 ，集合A中的元素 x 按照對應法則 “乘 2 加 1” 和集合 B 中的元素 2x + 1 對應. （2）設(shè)A = N*,B = 0，1 ,集合A中的元素 x 按照對應法則 “x 除以 2 得的余數(shù)” 和集合B中的元素對應. （3）設(shè) A = x | x 是三角形 ，B = y | y 0 ，集合 A 中的元素 x 按照對應關(guān)系“計算面積”和集合 B 中的元素對應.,象與原象：,定義：給定一個集合 A 到集合 B 的映射，且 a A，b B，如果元素 a 和元素 b 對應，那么，我們就把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象.,例如，右圖就表示一個集合 A 到集合 B 的映射，對應法則是“乘以2”，集合 B 中的 4 是集合 A 中的 2 的象，集合 A 中的 2 是集合 B 中的 4 的原象.,概念的理解：,集合A、B，可以是數(shù)集，也可以是點集或其他集合。 存在性和唯一性：集合A中的元素一定有象，且唯一。 集合B中的元素未必有原象，即使有也未必唯一。 封閉性：集合A的任一元素的象必在B中， 但不要求B中的每一個元素都有原象。 即A中元素的象集是B的子集。,定義：設(shè) A，B 是兩個集合，如果按照某種對應法則 f ，對于集合 A 中的任何一個元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應（包括集合 A，B 以及 A 到 B 的對應法則 f ）叫做集合 A 到集合 B 的映射，記作 f : A B .,概念的理解：,有序性：映射是有方向的。 “A到B的映射”與“B到A的映射”一般不是同一個映射。 映射三要素：集合A，B，以及對應法則 f 一對一、多對一的對應是映射，一對多的對應不是映射。,定義：設(shè) A，B 是兩個集合，如果按照某種對應法則 f ，對于集合 A 中的任何一個元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應（包括集合 A，B 以及 A 到 B 的對應法則 f ）叫做集合 A 到集合 B 的映射，記作 f : A B .,思考：如果從對應來說，什么樣的對應才是一個映射？,思考：函數(shù)與映射之間的異同點？,映射是函數(shù)的推廣，函數(shù)是特殊的映射。,（1）函數(shù)是特殊的映射，是數(shù)集到數(shù)集的映射,（2）映射是函數(shù)概念的擴展，映射不一定是函數(shù),（3）映射與函數(shù)都是特殊的對應,思考：映射與函數(shù)有什么區(qū)別與聯(lián)系？,小結(jié),映射與函數(shù)的相同點和不同點 （1）相同點： 函數(shù)與映射都是兩個集合中的元素的對應； 函數(shù)與映射分別都有三個要素； 函數(shù)映射的對應都具有方向性； 函數(shù)中的兩個集合與映射中兩個集合都是非空的； 對應類型只有：一對一，或多對一 （2）不同點： 函數(shù)是一種特殊的映射，映射是函數(shù)的擴展； 函數(shù)中的兩個集合是非空的數(shù)集，映射中的兩個集合的元素 是任意的。,練習鞏固：,映射的判斷:判斷集合A到集合B的對應是否是映射 看A中的每一個元素在B中 求映射下的象與原象： 例：已知集合A=N，B=R，f：xy= ，xA，yB。在f 的作用下， 的原象是多少？8 的象是多少？ 可以構(gòu)成映射的個數(shù)： 如果有限集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，則從A到B可以構(gòu)成nm個映射。,練習鞏固,b1 b2 b3,a1 a3 a2 a4,a1 a3 a2 a4,b1 b2 b3 b4,a1 a3 a2 a4,b1 b2 b3 b4,(1),(2),(3),2 4 -1 0,4 8 -2 0,0 1 -1 2 -2,0 1 2 3,(4),(5),是,不是,不是,是,是,例1.下面7個對應,其中哪些是集合到的映射?,練習鞏固：,1、給出下列關(guān)于從集合A到集合B的映射的論述，其中正確的有_ （1）B 中任何一個元素在 A 中必有原象; （2）A 中不同元素在 B 中的象也不同 ; （3）A 中任何一個元素在 B 中的象是唯一的; （4）A 中任何一個元素在 B 中可以有不同的象; （5）B 中某一元素在 A 中的原象可能不止一個; （6）集合 A 與 B 一定是數(shù)集； （7）記號f ：AB與f ：BA的含義是一樣的,(3)(5),錯誤,錯誤,正確,正確,錯誤,錯誤,錯誤,練習鞏固：,2、下面哪一個說法正確？ （A）對于任意兩個集合A與B，都可以建立一個從集合A到集合B的映射 （B）對于兩個無限集合A與B，一定不能建立一個從集合A到集合B的映射 （C）如果集合A中只有一個元素，B為任一非空集合，那么從集合A到集合B只能建立一個映射 （D）如果集合B只有一個元素，A為任一非空集合，則從集合A到集合B只能建立一個映射,D,小 結(jié),1、映射實質(zhì)上是“多對一”或“一對一”的對應，但不包括 “一對多”等； 2、函數(shù)是一種特殊的映射，確定函數(shù)y = f ( x )的映射 f : AB 要求A、B 都是非空數(shù)集； 3、對于一個從集合A到集合B 的映射來說，A中的每一個元素必有唯一的象，但B 中的每一個元素不一定都有原象，如有，也不一定只有一個.,分段函數(shù),補例:某質(zhì)點在30s內(nèi)運動速度v (cm/s)是時間t (s)的函數(shù),它的圖像如下圖.,解:解析式為,v(t)=,t+10, 0 t5,3t, 5 t10,30, 10 t 20,-3t+90,20 t30.,t=9s時,v(9)=39=27 (cm/s).,用解析式表示出這個函數(shù), 并求出9s時質(zhì)點的速度.,求函數(shù)的解析式,1. y=kx+b經(jīng)過點(1,0),(0,1),則y = _; 2. 求滿足下列條件的二次函數(shù) f (x) 的解析式: 頂點坐標為( 2,3 ),且圖象經(jīng)過(3,1)點, 則 f (x) = _;,x 1,2(x2) 2 + 3,3.已知函數(shù)f(x) =x2+x-1,則 f(2)=_,若f(x) =5,則 x =_.,5,2或 -3,求函數(shù)的解析式,例1.已知f(x)是一次函數(shù),且ff(x)=4x1, 求f(x)的解析式,解:設(shè) f (x) = kx+b（k0）,則 ff(x)=f(kx+b)=k(kx+b)+b,=k2x+kb+b=4x1.,1.待定系數(shù)法,必有,(函數(shù)類型確定時用此法),求函數(shù)的解析式,一般式： y=ax2+bx+c (a0),兩根式： y=a(x-x1)(x-x2) (a0),頂點式： y=a(x-h)2+k (a0),解：,設(shè)所求的二次函數(shù)為 y=ax2+bx+c （a0）,由題意得：,a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7,解方程組得：,因此：所求二次函數(shù)是：,a=2, b= 3, c=5,y=2x2-3x+5,練習1. 已知一個二次函數(shù)的圖象過點（1, 10）、 （1, 4）、（2, 7）三點，求這個