2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二講講明不等式的基本方法二綜合法與分析法講義含解析新人教A版.docx

二 綜合法與分析法1綜合法(1)定義：一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法，綜合法又叫順推證法或由因?qū)Ч?2)特點(diǎn)：由因?qū)Ч?，即從“已知”看“可知”，逐步推向“未知?(3)證明的框圖表示：用P表示已知條件或已有的不等式，用Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為2分析法(1)定義：證明命題時(shí)，常常從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法，這是一種“執(zhí)果索因”的思考和證明方法(2)特點(diǎn)：執(zhí)果索因，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”(3)證明過程的框圖表示：用Q表示要證明的不等式，則分析法可用框圖表示為用綜合法證明不等式例1已知a，b，cR，且互不相等，又abc1.求證：.思路點(diǎn)撥本題考查用綜合法證明不等式，解答本題可從左到右證明，也可從右到左證明由左端到右端，應(yīng)注意左、右兩端的差異，這種差異正是我們思考的方向左端含有根號(hào)，脫去根號(hào)可通過實(shí)現(xiàn)；也可以由右到左證明，按上述思路逆向證明即可證明法一：a，b，c是不等正數(shù)，且abc1，.綜合法證明不等式，揭示出條件和結(jié)論之間的因果聯(lián)系，為此要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵1已知a，b，c都是實(shí)數(shù)，求證：a2b2c2(abc)2abbcca.證明：a，b，cR，a2b22ab，b2c22bc.c2a22ca，將以上三個(gè)不等式相加得：2(a2b2c2)2(abbcca)，即a2b2c2abbcca.在不等式的兩邊同時(shí)加上“a2b2c2”得：3(a2b2c2)(abc)2，即a2b2c2(abc)2.在不等式的兩端同時(shí)加上2(abbcca)得：(abc)23(abbcca)，即(abc)2abbcca.由得a2b2c2(abc)2abbcca.用分析法證明不等式例2a，bR，且2cab.求證：cac.思路點(diǎn)撥本題考查分析法在證明不等式中的應(yīng)用證明要證cac，只需證ac，即證|ac|，兩邊平方得a22acc2c2ab，也即證a2ab2ac，即a(ab)2ac.a，bR，且ab2c，a(ab)2ac顯然成立原不等式成立(1)當(dāng)所證不等式與重要不等式、基本不等式?jīng)]有什么直接聯(lián)系，或條件與結(jié)論之間的關(guān)系不明顯時(shí)，可用分析法來尋找證明途徑(2)分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步都必須可逆2求證：0,20，要證 2.只需證()2(2)2.展開得10220.即證210，即證2125(顯然成立)0，y0，求證(x2y2)(x3y3).證明：要證明(x2y2)(x3y3)，只需證(x2y2)3(x3y3)2.即證x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6.即證3x4y23x2y42x3y3.x0，y0，x2y20.即證3x23y22xy.3x23y2x2y22xy.3x23y22xy成立(x2y2)(x3y3).綜合法與分析法的綜合應(yīng)用例3設(shè)a0，b0，且ab1，求證：.思路點(diǎn)撥所證不等式含有開方運(yùn)算且兩邊都為正數(shù)，可考慮兩邊平方，用分析法轉(zhuǎn)化為一個(gè)不含開方運(yùn)算的不等式，再用綜合法證明證明要證，只需證()26，即證(ab)226.由ab1得只需證，即證ab.由a0，ab1，得ab2，即ab成立原不等式成立(1)通過等式或不等式的運(yùn)算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式易于證明(2)有些不等式的證明，需要一邊分析一邊綜合，稱之為分析綜合法，或稱“兩頭擠”法，這種方法充分表明了分析法與綜合法之間互為前提，互相滲透，相互轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系4已知a，b，c都是正數(shù)，求證：23.證明：要證23，只需證ab2abc3，即2c3.移項(xiàng)，得c23.由a，b，c為正數(shù)，得c2c3成立原不等式成立1設(shè)a，b，c，那么a，b，c的大小關(guān)系是()AabcBacbCbac Dba解析：選B由已知，可得出a，b，c，2.bca.2a，bR，那么下列不等式中不正確的是()A.2 B.abC. D.解析：選CA項(xiàng)滿足基本不等式；B項(xiàng)可等價(jià)變形為(ab)2(ab)0，正確；C項(xiàng)中不等式可化為a3b3a2bab2，即(ab)(ab)20，所以C項(xiàng)不正確；D項(xiàng)是A項(xiàng)中不等式的兩端同除以ab得到的，D正確3已知m1，a，b，則以下結(jié)論正確的是()Aab BabCab Da，b大小不定解析：選Ba，b .而0(m1)，即ab.4已知a，b，c為三角形的三邊且Sa2b2c2，Pabbcca，則()AS2PBPSP DPS2P解析：選Da2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，a2b2c2abbcca，即SP.又三角形中|ab|c，a2b22abc2，同理b22bcc2a2，c22aca2b2，a2b2c22(abbcca)，即S0，b0，若P是a，b的等差中項(xiàng)，Q是a，b的正的等比中項(xiàng)，是，的等差中項(xiàng)，則P，Q，R按從大到小的排列順序?yàn)開解析：P，Q，RQP，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)答案：PQR7設(shè)abc，且恒成立，則m的取值范圍是_解析：abc，ab0，bc0，ac0.又(ac)(ab)(bc)224，當(dāng)且僅當(dāng)abbc時(shí)取等號(hào)m(，4答案：(，48已知a，b，c都是正數(shù)，求證：abc.證明：因?yàn)閎2c22bc，a20，所以a2(b2c2)2a2bc.同理，b2(a2c2)2ab2c.c2(a2b2)2abc2.相加得2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2，從而a2b2b2c2c2a2abc(abc)由a，b，c都是正數(shù)，得abc0，因此abc，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)9設(shè)a，b，c0，且abbcca1.求證：(1)abc ；(2) ()證明：(1)要證abc ，由于a，b，c0，因此只需證明(abc)23.即證a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故只需證明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即證a2b2c2abbcca.而這可以由abbccaa2b2c2(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立)證得所以原不等式成立(2) .在(1)中已證abc .因此要證原不等式成立，只需證明 ，即證abc1，即證abcabbcca.而a，b，c.所以abcabbcca(當(dāng)