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1,第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),一、有界性與最大值和最小值定理,二、零點(diǎn)定理與介值定理,三、小結(jié) 思考題,2,一、有界性與最大值和最小值定理,【定義】,例如,【注意】,最值可以取在閉區(qū)間的端點(diǎn)處.,3,【定理1】(有界性與最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有界且必取得它的最大值和最小值.,4,【注意】1.若區(qū)間是開區(qū)間,定理不一定成立;如圖a,3.由此可知定理的條件是充分條件,不必要.,圖a,圖b,2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),定理不一定成立.如圖b,5,二、零點(diǎn)定理與介值定理,【定義】,【定理2】(零點(diǎn)定理):,1.零點(diǎn)定理,【作用】常用于判斷方程有根 根的存在性.,即方程 f (x)= 0 在 (a,b) 內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根.,6,【幾何解釋】,2、介值定理,定理3(介值定理):,7,【幾何解釋】,【證】,由零點(diǎn)定理,則,？,8,【推論】在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最 大值 M 與最小值 m 之間的任何值.,【例1】,【證】,由零點(diǎn)定理,【分析】至少有一根存在性,【證】,設(shè)m=f(x1),M=f(x2),而 mM,在閉區(qū)間x1,x2(或 x2,x1)上應(yīng)用介值定理，即可得證.,9,【補(bǔ)例2】,【證】,由零點(diǎn)定理,【分析】,本題關(guān)鍵是尋求符合零點(diǎn)定理的函數(shù)來證明.,10,【注】,1.上面的 稱為輔助函數(shù).,把結(jié)論中的 改寫成,移項(xiàng)，使等式右邊為0,令左邊式子為,2.使用零點(diǎn)定理作輔助函數(shù)F(x)的一般作法：,則 即為所求的輔助函數(shù).,3. 一定注意本節(jié)中的所有定理的條件都是充分條件.,11,三、小結(jié),三個(gè)定理,有界性與最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意 1閉區(qū)間； 2連續(xù)函數(shù) 這兩點(diǎn)不滿足上述定理不一定成立,解題思路,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;,2.輔助函數(shù)法:先作輔助函數(shù)F(x),再利用零點(diǎn)定理;

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