二次函數(shù)與面積最值問題.pptx

二次函數(shù)最值問題,1、小磊要制作一個三角形的鋼架模型，在這個三角形中，長度為x(單位：cm)的邊與這條邊上的高之和為40 cm，這個三角形的面積S(單位：cm2)隨x(單位：cm)的變化而變化 (1)請直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)； (2)當x是多少時，這個三角形面積S最大?最大面積是多少?,解：（1）,（2）a=,0 S有最大值, S的最大值為,當x為20cm時，三角形面積最大，最大面積是200cm2。,2.如圖，矩形ABCD的兩邊長AB=18cm，AD=4cm，點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，P在邊AB上沿AB方向以每秒2cm的速度勻速運動，Q在邊BC上沿BC方向以每秒1cm的速度勻速運動設(shè)運動時間為x秒，PBQ的面積為y（cm2）. （1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍； （2）求PBQ的面積的最大值.,解：（1）SPBQ=,PBBQ,PB=ABAP=182x，BQ=x,y=,（182x）x，即y=x2+9x（0x4）,（2）由（1）知：y=x2+9x，,y=(x ）2+,）2 +,當0x,y隨x的增大而增大，,而0x4，,當x=4時，y最大值=20，即PBQ的最大面積是20cm2,3如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A出發(fā)，沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，同時點Q從點B出發(fā)沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，如果P，Q兩點同時出發(fā)，分別到達B，C兩點后就停止移動 （1）設(shè)運動開始后第t秒鐘后，五邊形APQCD的面積為Scm2，寫出S與t的函數(shù)關(guān) 系式，并指出自變量t的取值范圍 （2）t為何值時，S最小？最小值是多少？,解：（1）第t秒鐘時，AP=tcm，故PB=（6t）cm， BQ=2tcm，,故SPBQ=,（6t）2t=t2+6t,S矩形ABCD=612=72,S=72SPBQ=t26t+72（0t6）；,（2）S=t26t+72=（t3）2+63，,當t=3秒時，S有最小值63cm,4在某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻（墻長15m）的空地上修建一個矩形花園ABCD，花園的一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍成如圖，若設(shè)花園的BC邊長為x（m）花園的面積為y（m2） （1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求自變量的x的范圍 （2）當x取何值時花園的面積最大，最大面積為多少？,解：（1）四邊形ABCD是矩形，,AB=CD，AD=BC，,BC=xm，AB+BC+CD=40m，,AB=,花園的面積為：,y=x,=,x2+20x（0x15）；,y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：,y=,x2+20x（0x15）；,（2）y=,x2+20x=,（x20）2+200，,a=,0，,當x20時，y隨x的增大而增大,當x=15時，y最大，最大值y=187.5,當x取15時花園的面積最大，最大面積為187.5,二次函數(shù)中常見圖形的的面積問題,P,1、說出如何表示各圖中陰影部分的面積？,4、如圖1，拋物線yx2bxc與x軸交于A(1，0)，B(3，0)兩點 (1)求該拋物線的解析式； (2)設(shè)(1)中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得QAC的周長最??？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由； (3)如圖2，在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使PBC的面積最大？若存在，求出點P的坐標及PBC的面積最大值；若沒有，請說明理由,解：,（1）將A（1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c中得,拋物線解析式為：y=x22x+3；,(2)設(shè)(1)中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得QAC的周長最??？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由；,解：（2）存在 理由如下：由題知A、B兩點關(guān)于拋物線的對稱軸x=1對稱,直線BC與x=1的交點即為Q點，此時AQC周長最小,y=x22x+3,C的坐標為：（0，3）直線BC解析式為：y=x+3，Q點坐標即為,解得,Q（1，2）；,(3)如圖2，在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使PBC的面積最大？若存在，求出點P的坐標及PBC的面積最大值；若沒有，請說明理由,解：（3）存在理由如下： 設(shè)P點（x，x22x+3）（3x0）,SBPC=S四邊形BPCOSBOC=S四邊形BPCO,若S四邊形BPCO有最大值，則SBPC就最大，,S四邊形BPCO=SBPE+S直角梯形PEOC=,BE,PE+,OE（PE+OC）,（x+3）（x22x+3）+,（x）（x22x+3+3）,=,=,當x=,時，S四邊形BPCO最大值=,SBPC最大=,當x=,時，x22x+3=,點P坐標為（ ， ）,，,）,方法二 如圖4，連接P0， 設(shè)P點(x，x22x3)(3x0),3、已知拋物線,與,軸交與A、C兩點，與,軸交與點B， （1）求拋物線的頂點M的坐標和對稱軸； （2）求四邊形ABMC的面積.,C,4、已知一拋物線與x軸的交點是A（-2，0）、B（1，0），且經(jīng)過點C（2，8） （1）求該拋物線的解析式； （2）求該拋物線的頂點D的坐標； （3）求四邊形ADBC的面積.,5、如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a0)經(jīng)過A(-2,0)，B(0,4)，C(2,4)三點，且與x軸的另一個交點為E。 （1）求該拋物線的解析式； （2）求該拋物線的頂點D的坐標和對稱軸； （3）求四邊形ABDE的面積,6、已知二次函數(shù),與,B的左邊），與y軸交于點C，頂點為P. （1）結(jié)合圖形，提出幾個面積問題，并思考解法； （2）求A、B、C、P的坐標，并求出一個剛剛提出的圖形面積；,（3）在拋物線上（除點C外），是否存在點N，使得, 若存在，請寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由。,解（1）略 （2）當y=0時,x 2 2x3=0, 解得：x 1 =3,x 2 =1, 點A的坐標是（1,0）,點B的坐標是（3,0）, 當x=0時,y=3, 點C的坐標是（0,3）, y=x 2 2x3=（x1） 2 4, P（1,4）, 即A（1,0）,B（3,0）,C（0,3）， P（1,4）;,軸交于A、B兩點（A在,變式一：在拋物線的對稱軸上是否存點N，使得,，若存在直接寫出N的坐標；若不存在，請說明理由.,7、拋物線,與,軸交與A、B（點A在B右側(cè)），與,軸交與點C，若點E為第二象限拋物線上一動點， 點E運動到什么位置時，EBC的面積最大,并求出此時點E的坐標和EBC的最大面積,提示：點E的坐標可以設(shè)為( ),x的取值范圍是-3x0,根據(jù)題2求三角形面積的思路建立EBC的面積,關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，體會點E位置的不確定性對方法的選擇是否有影響,如果拋物線,過定點M（1，1），則稱此拋物線為,定點拋物線。 （1）張老師在投影屏幕上出示了一個題目：請你寫出一條定點拋,物線的一個解析式。小敏寫出了一個答案：，,請你寫出一個不同于小敏的答案； （2）張老師又在投影屏幕上出示了一個思考題：已知定點拋物線,，求該拋物線頂點縱坐標的值最小時的解析,式，請你解答。,解：（1）依題意，選擇點（1，1）作為拋物線的頂點，二次項系數(shù)是1,根據(jù)頂點式得：y=x2-2x+2；,（2）定點拋物線的頂點坐標為（b，c+b2+1），且-1+2b+c+1=1，,c=1-2b，,頂點縱坐標c+b2+1=2-2b+b2=（b-1）2+1，,當b=1時，c+b2+1最小，拋物線頂點縱坐標的值最小，此時c=-1，,拋物線的解析式為y=-x2+2x,如圖，拋物線yax2c（a0）經(jīng)過梯形ABCD的四個頂點，梯形的底AD在x軸上，其中A（2,0），B（1, 3） （1）求拋物線的解析式； （2）點M為y軸上任意一點，當點M到A、B兩點的距離之和為最小時，求此時點M的坐標； （3）在第（2）問的結(jié)論下，拋物線上的點P使SPAD4SABM成立，求點P的坐標,解：（1）因為點A、B均在拋物線上，故點A、B的坐標適合拋物線方程,解得：,所以,為所求拋物線的解析式,（2）如圖2，連接BD，交y軸于點M，則點M就是所求作的點,設(shè)BD的解析式為,，則有,，,，,解得：,所以BD的解析式為,；令,則,所以,解：(3)、如圖3，連接AM，BC交y軸于點N，,如圖，拋物線yax2c（a0）經(jīng)過梯形ABCD的四個頂點，梯形的底AD在x軸上，其中A（2,0），B（1, 3） （1）求拋物線的解析式； （2）點M為y軸上任意一點，當點M到A、B兩點的距離之和為最小時，求此時點M的坐標； （3）在第（2）問的結(jié)論下，拋物線上的點P使SPAD4SABM成立，求點P的坐標,由（2）知，OM=OA=OD=2，,易知BN=MN=1， 易求,設(shè),依題意有：,，即：,解得：,，,，故 符合條件的P點有三個,解：（1）解方程x2-4x+3=0得：,x=1或x=3，而OAOB，,則點A的坐標為（-1，0），點B的坐標為（3，0）；,A、B關(guān)于拋物線對稱軸對稱，,DAB是等腰三角形，而DAB=45，,DAB是等腰直角三角形，得D（1，-2）；,令拋物線對應的二次函數(shù)解析式為y=a（x-1）2-2，,拋物線過點A（-1，0），,0=4a-2，得a=,故拋物線對應的二次函數(shù)解析式為y=,（x-1）2-2（或?qū)懗蓎=,x2-x- ）,解：（2）CAAD，DAC=90，（5分）,如圖,在平面直角坐標系中,開口向上的拋物線與x軸交于A、B兩點,D為拋物線的頂點,O為坐標原點若OA、OB（OAOB）的長分別是方程x2-4x+3=0的兩根,且DAB=45 （1）求拋物線對應的二次函數(shù)解析式； （2）過點A作ACAD交拋物線于點C,求點C的坐標； （3）在（2）的條件下,過點A任作直線l交線段CD于點P,若點C、D到直線l的距離分別記為d1、d2,試求的d1+d2的最大值,又DAB=45，,CAB=45；,令點C的坐標為（m，n），則有m+1=n，（6分）,點C在拋物線上，,n=,（m-1）2-2；（7分）,化簡得m2-4m-5=0,解得m=5，m=-1（舍去）,故點C的坐標為（5，6）；（8分）,如圖,在平面直角坐標系中,開口向上的拋物線與x軸交于A、B兩點,D為拋物線的頂點,O為坐標原點若OA、OB（OAOB