學(xué)科教育論文-函數(shù)的學(xué)習(xí)困難與課程設(shè)計(jì).doc

學(xué)科教育論文-函數(shù)的學(xué)習(xí)困難與課程設(shè)計(jì)摘要：函數(shù)作為中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，歷來(lái)是中學(xué)生感到難學(xué)的內(nèi)容。函數(shù)學(xué)習(xí)困難的因素主要有三個(gè)方面：函數(shù)本身的復(fù)雜性；中學(xué)生思維發(fā)展水平；初、高中函數(shù)銜接問(wèn)題。課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)函數(shù)的教學(xué)建議中，提出直接由對(duì)應(yīng)通過(guò)具體實(shí)例引入（不必先講映射），這種淡化形式的處理方法，提供了整體改革函數(shù)課程設(shè)計(jì)的契機(jī)。建議函數(shù)課程設(shè)計(jì)：1.將函數(shù)思想貫穿于課程體系之中；2.注意函數(shù)課程設(shè)計(jì)的一致性與側(cè)重性；3.加強(qiáng)函數(shù)與相關(guān)學(xué)科以及實(shí)際生活的聯(lián)系；4.重視計(jì)算機(jī)（器）等現(xiàn)代教育技術(shù)的作用。關(guān)鍵詞：函數(shù)；學(xué)習(xí)困難；課程設(shè)計(jì)；淡化形式；函數(shù)思想自20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)教育改革運(yùn)動(dòng)提出“以函數(shù)為綱”的口號(hào)以來(lái)，函數(shù)一直都被確立為數(shù)學(xué)教學(xué)的核心。這不僅因?yàn)樗钦麄€(gè)數(shù)學(xué)體系的重要基礎(chǔ)，而且因?yàn)楹瘮?shù)思想方法已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主要思想方法之一，對(duì)數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)可以起到統(tǒng)領(lǐng)的作用。然而，函數(shù)歷來(lái)也是中學(xué)生感到最難學(xué)的內(nèi)容，若干研究和教學(xué)實(shí)踐表明函數(shù)的學(xué)習(xí)困難甚至伴隨了許多中學(xué)生的整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程。本文就中學(xué)生函數(shù)的學(xué)習(xí)困難作出分析，并提出函數(shù)的課程設(shè)計(jì)建議。一、函數(shù)的學(xué)習(xí)困難分析在我國(guó)面向21世紀(jì)的基礎(chǔ)教育課程改革中，數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)凸顯了“函數(shù)”這一主線，并采用了螺旋的編排方式，但函數(shù)仍然是中學(xué)生感到最難學(xué)的內(nèi)容，造成函數(shù)學(xué)習(xí)困難有以下三方面的因素。（一）函數(shù)本身的復(fù)雜性函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中最具復(fù)雜性，這是造成學(xué)生學(xué)習(xí)困難的主要因素。函數(shù)包含兩個(gè)本質(zhì)屬性（定義域與對(duì)應(yīng)法則）和較多的非本質(zhì)屬性（如值域、自變量、因變量、集合等）；初中函數(shù)“變量說(shuō)”定義中的文字“y是x的函數(shù)，記作y=f(x)”屬于蘊(yùn)涵式的表述且符號(hào)抽象；函數(shù)涉及“變量”，而“變量”的本質(zhì)是辯證法在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用；函數(shù)還具有多種表示法，如解析法、列表法、圖象法、箭頭法；函數(shù)與其他內(nèi)容有錯(cuò)綜復(fù)雜的聯(lián)系；等等。函數(shù)的這些復(fù)雜性決定了函數(shù)學(xué)習(xí)困難的必然性，其學(xué)習(xí)困難主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。1.函數(shù)變量理解的困難變量是數(shù)學(xué)中一切抽象事物的建筑材料，但是讓學(xué)生理解變量的內(nèi)涵并不容易。筆者曾對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)的300個(gè)初三學(xué)生作過(guò)一個(gè)調(diào)查：請(qǐng)指出圓的周長(zhǎng)與半徑的函數(shù)關(guān)系式l=2r中的變量。調(diào)查結(jié)果是：有83個(gè)學(xué)生認(rèn)為l、r都是變量（追問(wèn)為什么，答：凡是字母都可以變）；有97個(gè)學(xué)生認(rèn)為只有r是變量，（追問(wèn)為什么，答：l是r的函數(shù)，是圓周率，所以只有r是變量）；有59個(gè)學(xué)生認(rèn)為只有是變量（追問(wèn)為什么，答：l是自變量、r是因變量，只剩下一個(gè)字母可以變了）；有57個(gè)學(xué)生認(rèn)為l、r是變量；有4個(gè)學(xué)生沒(méi)有回答。大部分學(xué)生不能正確地理解變量，一方面有教學(xué)的原因：在教學(xué)實(shí)踐中，教師常常對(duì)學(xué)生理解變量的困難估計(jì)不足，另一方面縱觀中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，在函數(shù)學(xué)習(xí)之前，基本上是常量數(shù)學(xué)時(shí)期的內(nèi)容，學(xué)生對(duì)變量的理解困難也是很正常的。2.函數(shù)符號(hào)抽象的困難接受函數(shù)符號(hào)的抽象表示也是一個(gè)難點(diǎn)。在某中學(xué)，教師講完函數(shù)的定義后，給出了通常的表示法y=f(x)，下課后竟有多個(gè)學(xué)生問(wèn)教師：f和x是不是乘的關(guān)系？學(xué)生雖然學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義，有的甚至能背誦，但沒(méi)有理解函數(shù)的真實(shí)意義。有教師認(rèn)為教學(xué)時(shí)不要直接說(shuō)“通常我們把y是x的函數(shù)表示為：y=f(x)”，而可以說(shuō)“f代表自變量和因變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)于定義域內(nèi)任意的x（這時(shí)在黑板上寫(xiě)下x），通過(guò)對(duì)應(yīng)關(guān)系f（在黑板上寫(xiě)出f（），剛才的x被括號(hào)括在內(nèi)），對(duì)應(yīng)出唯一的一個(gè)y（在黑板上剛才的式子前寫(xiě)下y=）”，這樣就寫(xiě)出了表達(dá)式y(tǒng)=f(x)。這一改進(jìn)可以避免學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)覺(jué)。筆者曾經(jīng)作過(guò)調(diào)查，超過(guò)90%的中學(xué)生弄不清究竟函數(shù)是指f，是f(x)，還是y=f(x)。許多學(xué)生高中畢業(yè)了也沒(méi)有真正弄明白y=f(x)到底是什么原因是符號(hào)f具有“隱蔽性”，其具體內(nèi)容不能從符號(hào)上得到體現(xiàn)中學(xué)生的思維水平還缺乏足夠的為f建立起具體內(nèi)容的經(jīng)驗(yàn)。3.函數(shù)圖象運(yùn)用的困難數(shù)與形是數(shù)學(xué)的兩方面，有了直角坐標(biāo)系以后數(shù)與形統(tǒng)一了，因此用圖象方法研究函數(shù)的各種性質(zhì)似乎很自然。但對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)并非如此。雖然大多數(shù)學(xué)生能夠作簡(jiǎn)單的圖象，但是他們常常把函數(shù)圖象看成為函數(shù)之外的東西，沒(méi)有把它當(dāng)成函數(shù)的一個(gè)有機(jī)組成部分。如，學(xué)生很不習(xí)慣把函數(shù)變換f(x)k,f(kx),|f(x)|,f(|x|),f2(x),等與圖形變換（如軸對(duì)稱、中心對(duì)稱）聯(lián)系起來(lái)。要使中學(xué)生把函數(shù)的圖象作為函數(shù)的一個(gè)有機(jī)組成部分并不容易，實(shí)際上，在函數(shù)學(xué)習(xí)之前，學(xué)生對(duì)數(shù)與形的學(xué)習(xí)基本上是分開(kāi)進(jìn)行的，學(xué)習(xí)中只需要對(duì)數(shù)或形進(jìn)行單一的思維即可。函數(shù)要求思維在符號(hào)語(yǔ)言與圖形語(yǔ)言之間進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)換，而中學(xué)生形象化意識(shí)（數(shù)形結(jié)合思想）的形成需要較長(zhǎng)的過(guò)程。（二）中學(xué)生思維發(fā)展水平函數(shù)的學(xué)習(xí)困難與中學(xué)生思維發(fā)展水平有關(guān)，1中學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展水平的制約是其內(nèi)在因素。要求學(xué)生根據(jù)函數(shù)可能出現(xiàn)的一種情形，在思維中構(gòu)建一個(gè)過(guò)程來(lái)反映“對(duì)定義域中每一個(gè)特定值都得到一個(gè)函數(shù)值”這一動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，同時(shí)，還要把函數(shù)的三個(gè)成分：對(duì)應(yīng)法則、定義域和值域凝聚成一個(gè)對(duì)象來(lái)把握，像這種整體地、動(dòng)態(tài)地、具體地認(rèn)識(shí)對(duì)象，同時(shí)還要把動(dòng)態(tài)過(guò)程轉(zhuǎn)化為靜態(tài)對(duì)象，能夠進(jìn)行靜止與運(yùn)動(dòng)、離散與連續(xù)的相互轉(zhuǎn)化，只有達(dá)到辯證思維水平，才能做到。而心理學(xué)研究表明：2初中生的思維發(fā)展水平是從具體形象思維逐步過(guò)渡到形式邏輯思維水平，高中生在繼續(xù)完善形式邏輯思維發(fā)展的前提下，辯證思維發(fā)展開(kāi)始逐漸占主流。但辯證思維是人類思維發(fā)展的最高形式，中學(xué)生的辯證思維基本上處于形成與發(fā)展的早期階段。這樣一方面是中學(xué)生的辯證思維發(fā)展很不成熟，思維水平基本上停留在形式邏輯思維的范疇，只能局部地、靜止地、割裂地認(rèn)識(shí)事物；另一方面函數(shù)的特征是發(fā)展的、變化的、與眾多數(shù)學(xué)知識(shí)相互聯(lián)系的，屬于辯證概念。這個(gè)矛盾構(gòu)成了函數(shù)學(xué)習(xí)中一切認(rèn)知障礙的根源。（三）初、高中函數(shù)銜接問(wèn)題我國(guó)歷來(lái)初中與高中對(duì)函數(shù)分別采用“變量說(shuō)”與“對(duì)應(yīng)說(shuō)”的課程設(shè)計(jì)是造成函數(shù)學(xué)習(xí)困難的外在因素。這樣設(shè)計(jì)有合理的一面，但是另一方面容易造成學(xué)生認(rèn)知銜接上的困難。首先，要向?qū)W生說(shuō)明為什么要重新刻畫(huà)函數(shù)，以及解決“變量說(shuō)”與“對(duì)應(yīng)說(shuō)”的相容性。當(dāng)然單純解決這個(gè)問(wèn)題并不難，但由于“變量說(shuō)”具有的先天缺陷3會(huì)隨著初中函數(shù)的教學(xué)植入學(xué)生的思維，造成先入為主的誤導(dǎo)，同時(shí)與函數(shù)概念本身的復(fù)雜性攪合在一起，必然會(huì)增加銜接的困難。在調(diào)查中我們發(fā)現(xiàn)：“變量說(shuō)”中把y表述為x的函數(shù)，常常使學(xué)生形成一個(gè)帶普遍性的錯(cuò)誤：y就是函數(shù)，因而在高中階段很難接受對(duì)應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)的表述。學(xué)生的思維在“變量說(shuō)”向“對(duì)應(yīng)說(shuō)”的轉(zhuǎn)化過(guò)程中，摒棄“y依x變（x是自變量，y是因變量）”的說(shuō)法，舍去“變化”這一非本質(zhì)的東西，突出“對(duì)應(yīng)”的思想，需要產(chǎn)生較大的飛躍。這必然增加高一函數(shù)學(xué)習(xí)的不適應(yīng)性。其次，“變量說(shuō)”是建立在變量的基礎(chǔ)上的。所謂“量”是指有量可度的對(duì)象，如長(zhǎng)度、距離、時(shí)間等等，即研究的范圍限制在實(shí)數(shù)集。這樣既影響將函數(shù)向更高一級(jí)抽象的遷移，也妨礙學(xué)生將函數(shù)思想運(yùn)用于各種不同的研究對(duì)象。再次，雖然“變量說(shuō)”在某些場(chǎng)合有實(shí)用的價(jià)值，但實(shí)際上在初中學(xué)生的生活中，“變量說(shuō)”不一定比“對(duì)應(yīng)說(shuō)”來(lái)得自然、實(shí)用。因?yàn)榧词箤W(xué)生憑借生活經(jīng)驗(yàn)容易理解生活中許多與“對(duì)應(yīng)”有關(guān)的問(wèn)題，對(duì)“變量”的理解也不那么容易。進(jìn)入高中，函數(shù)教學(xué)的重心是追求形式化，較少關(guān)注實(shí)際問(wèn)題。這也許是大部分中學(xué)生在學(xué)習(xí)了函數(shù)后不能將其運(yùn)用于解決實(shí)際問(wèn)題的緣由。二、函數(shù)的課程設(shè)計(jì)建議目前，認(rèn)知心理學(xué)關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理論探討還處于初級(jí)階段，能夠用來(lái)較好地解釋函數(shù)學(xué)習(xí)的理論還沒(méi)有較成熟的實(shí)踐支持。因此對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)困難的研究一方面需要在教學(xué)實(shí)踐中深入探索其學(xué)習(xí)過(guò)程的心理機(jī)制，構(gòu)建其教與學(xué)的策略，另一方面筆者認(rèn)為改革函