高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)系的擴(kuò)展與復(fù)數(shù)的引入3.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念學(xué)案含解析.docx

31.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念及代數(shù)表示問題1：方程x210在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解嗎？提示：沒有問題2：若有一個(gè)新數(shù)i滿足i21，試想方程x210有解嗎提示：有解(xi)，但不在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)1復(fù)數(shù)的定義形如abi(a，bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足i21.全體復(fù)數(shù)所成的集合C叫做復(fù)數(shù)集2復(fù)數(shù)的表示復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部3復(fù)數(shù)相等的充要條件在復(fù)數(shù)集Cabi|a，bR中任取兩個(gè)復(fù)數(shù)abi，cdi(a，b，c，dR)，規(guī)定abi與cdi相等的充要條件是ac且bd.對(duì)復(fù)數(shù)概念的理解(1)對(duì)復(fù)數(shù)zabi只有在a，bR時(shí)，a和b才分別是復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，并注意：虛部是實(shí)數(shù)b而非bi.(2)當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)，不能比較大小，只可判定相等或不相等，但兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí)，可以比較大小(3)利用復(fù)數(shù)相等，可以把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)問題進(jìn)行解決，并且一個(gè)復(fù)數(shù)等式可得到兩個(gè)實(shí)數(shù)等式，為應(yīng)用方程思想提供了條件.復(fù)數(shù)的分類問題1：復(fù)數(shù)zabi在什么情況下表示實(shí)數(shù)？提示：b0.問題2：如何用集合關(guān)系表示實(shí)數(shù)集R和復(fù)數(shù)集C?提示：RC.復(fù)數(shù)的分類(1)復(fù)數(shù)abi(a，bR)(2)集合表示：10的特殊性0是實(shí)數(shù)，因此也是復(fù)數(shù)，寫成abi(a，bR)的形式為00i，即其實(shí)部和虛部都是0.2a0是復(fù)數(shù)zabi為純虛數(shù)的充分條件嗎？因?yàn)楫?dāng)a0且b0時(shí)，zabi才是純虛數(shù)，所以a0是復(fù)數(shù)zabi為純虛數(shù)的必要不充分條件復(fù)數(shù)相等的充要條件(1)若512ixiy(x，yR)，則x_，y_.(2)已知(2x1)iy(3y)i，其中x，yR，i為虛數(shù)單位求實(shí)數(shù)x，y的值(1)由復(fù)數(shù)相等的充要條件可知x12，y5.(2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，由(2x1)iy(3y)i，得解得即x，y4.答案：(1)125(2)x，y4.解決復(fù)數(shù)相等問題的步驟(1)等號(hào)兩側(cè)都寫成復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；(2)根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件列出方程(組)；(3)解方程(組)已知(2x8y)(x6y)i1413i，求實(shí)數(shù)x，y的值解：由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得解得復(fù)數(shù)的分類已知mR，復(fù)數(shù)z(m22m3)i.(1)當(dāng)m為何值時(shí)，z為實(shí)數(shù)？(2)當(dāng)m為何值時(shí)，z為虛數(shù)？(3)當(dāng)m為何值時(shí)，z為純虛數(shù)？(1)要使z為實(shí)數(shù)，需滿足m22m30，且有意義即m10，解得m3.(2)要使z為虛數(shù)，需滿足m22m30，且有意義即m10，解得m1且m3.(3)要使z為純虛數(shù)，需滿足0，且m22m30，解得m0或m2.利用復(fù)數(shù)的分類求參數(shù)的方法及注意事項(xiàng)利用復(fù)數(shù)的分類求參數(shù)時(shí)，要先確定構(gòu)成實(shí)部、虛部的式子有意義的條件，再結(jié)合實(shí)部與虛部的取值求解要特別注意復(fù)數(shù)zabi(a，bR)為純虛數(shù)的充要條件是a0且b0.設(shè)復(fù)數(shù)zlg(m22m2)(m23m2)i.(1)當(dāng)m為何值時(shí)，z是實(shí)數(shù)？(2)當(dāng)m為何值時(shí)，z是純虛數(shù)？解：(1)要使復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，需滿足解得m2或1，即當(dāng)m2或1時(shí)，z是實(shí)數(shù)(2)要使復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，需滿足解得m3，即當(dāng)m3時(shí)，z是純虛數(shù)(上海高考)設(shè)mR，m2m2(m21)i是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則m_.復(fù)數(shù)m2m2(m21)i是純虛數(shù)的充要條件是解得即m2.故m2時(shí)，m2m2(m21)i是純虛數(shù)21若忽視“純虛數(shù)的虛部不為0”這一條件，易得出m1或m2的錯(cuò)誤結(jié)論2復(fù)數(shù)zabi(a，bR)是純虛數(shù)的充要條件為二者缺一不可若z(x21)2(x1)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值為()A1B0C1D1或1解析：選A因?yàn)閦為純虛數(shù)，所以(x21)20.又x10，所以x1.1在2，i,0,85i，(1)i,0.618這幾個(gè)數(shù)中，純虛數(shù)的個(gè)數(shù)為()A0B1C2 D3解析：選Ci，(1)i是純虛數(shù)；2，0，0.618是實(shí)數(shù)；85i是虛數(shù)2以2i的虛部為實(shí)部，以i2i2的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是()A22i B22iCi D.i解析：選A2i的虛部為2，i2i22i，其實(shí)部為2，故所求復(fù)數(shù)為22i.3下列命題：若aR，則(a1)i是純虛數(shù)；若(x21)(x23x2)i(xR)是純虛數(shù)，則x1；兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小其中正確命題的序號(hào)是_解析：當(dāng)a1時(shí)，(a1)i0，故錯(cuò)誤；若(x21)(x23x2)i是純虛數(shù)，則即x1，故錯(cuò)；兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，故對(duì)答案：4已知(3xy)(2xy)i(7x5y)3i，則實(shí)數(shù)x_，y_.解析：x，y是實(shí)數(shù)，根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，可得解得答案：5已知復(fù)數(shù)z(a25a6)i(aR)，試求：(1)實(shí)數(shù)a取什么值時(shí)，z為實(shí)數(shù)？(2)實(shí)數(shù)a取什么值時(shí)，z為虛數(shù)？(3)實(shí)數(shù)a取什么值時(shí)，z為純虛數(shù)？解：(1)當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，則當(dāng)a6時(shí)，z為實(shí)數(shù)(2)當(dāng)z為虛數(shù)時(shí)，則有即a1且a6.當(dāng)a1且a6時(shí)，z為虛數(shù)(3)當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)，則有不存在實(shí)數(shù)a使z為純虛數(shù)一、選擇題1若復(fù)數(shù)2bi(bR)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則b的值為()A2B.C D2解析：選D復(fù)數(shù)2bi的實(shí)部為2，虛部為b，由題意知2(b)，所以b2.2方程1z40在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根共有()A1個(gè) B2個(gè)C3個(gè) D4個(gè)解析：選D由已知條件可得z41，即z21，故z11，z21，z3i，z4i，故方程有4個(gè)根3若復(fù)數(shù)zm21(m2m2)i為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為()A1 B2C1 D1或2解析：選D復(fù)數(shù)zm21(m2m2)i為實(shí)數(shù)，m2m20，解得m1或m2.4若復(fù)數(shù)(a2a2)(|a1|1)i(aR)不是純虛數(shù)，則()Aa1 Ba1且a2Ca1 Da2解析：選C若此復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則得a1，所以當(dāng)a1時(shí)，已知的復(fù)數(shù)不是純虛數(shù)5下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是()若x，yC，則xyi1i的充要條件是xy1；若a，bR且ab，則aibi；若x2y20，則xy0.A0 B1C2 D3解析：選A對(duì)，由于x，yC，所以x，y不一定是xyi的實(shí)部和虛部，故是假命題；對(duì)，由于兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，故是假命題；是假命題，如12i20，但10，i0.二、填空題6設(shè)x，yR，且滿足(xy)(x2y)i(x3)(y19)i，則xy_.解析：因?yàn)閤，yR，所以利用兩復(fù)數(shù)相等的條件有解得所以xy1.答案：17若log2(m23m3)ilog2(m2)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m_.解析：因?yàn)閘og2(m23m3)ilog2(m2)為純虛數(shù)，所以所以m4.答案：48已知z14a1(2a23a)i，z22a(a2a)i，其中aR，z1z2，則a的值為_解析：由z1z2，得即解得a0.答案：0三、解答題9當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z(m22m)i為：(1)實(shí)數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？解：(1)當(dāng)即m2時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)(2)當(dāng)m22m0，且m0，即m0且m2時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)(3)當(dāng)即