2012全國大學生數學建模競賽D題全國一等獎論文.doc

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2012高教社杯全國大學生數學建模競賽 承 諾 書 我們仔細閱讀了中國大學生數學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。 我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設置報名號的話）： 所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜?參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： 日期： 年 月 日 賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）： 2012高教社杯全國大學生數學建模競賽 編 號 專 用 頁 賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）： 全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）： 全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）： 機器人避障問題摘要針對機器人避障問題，針對區(qū)域中一點到達另一點的避障的最短路徑問題，首先，針對最短時間路徑問題，我們建立了從o點出發(fā)到任意目標點的0-1非線性整數規(guī)劃模型，同時針對題意要求，具體構建了從o點出發(fā)到A的最短時間路徑的0-1非線性整數規(guī)劃模型，利用LINGO軟件求解，獲得了機器人從o點出發(fā)，到達A的最短時間路徑，求得最短時間路徑下轉彎半徑為12.9885 ，同時最短時間路徑時間長為94.2283個單位。相應圓弧的圓心坐標為（82.1414，207.9153），兩切點坐標分別為（69.8045，211.9779）、（77.7492,220.1387）。 【關鍵詞】 機器人避障 最短路徑 啟發(fā)算法 0-1規(guī)劃模型 1一、問題重述在一個800800的平面場景圖，在原點O(0, 0)點處有一個機器人，它只能在該平面場景范圍內活動。圖中有12個不同形狀的區(qū)域是機器人不能與之發(fā)生碰撞的障礙物，障障礙物的距離至少超過10個單位）。規(guī)定機器人的行走路徑由直線段和圓弧組成，其中圓弧是機器人轉彎路徑。機器人不能折線轉彎，轉彎路徑由與直線路徑相切的一段圓弧組成，也可以由兩個或多個相切的圓弧路徑組成，但每個圓弧的半徑最小為10個單位。為了不與障礙物發(fā)生碰撞，同時要求機器人行走線路與障礙物間的最近距離為10個單位，否則將發(fā)生碰撞，若碰撞發(fā)生，則機器人無法完成行走。機器人直線行走的最大速度為v0=5個單位/秒。機器人轉彎時，最大轉彎速度為v=v(r)=v0徑。如果超過該速度，機器人將發(fā)生側翻，無法完成行走。請建立機器人從區(qū)域中一點到達另一點的避障最短路徑和最短時間路徑的數學模型。對場景圖中4個點O(0, 0)，A(300,300)，B(100, 700)，C(700, 640)，具體計算：(1) 機器人從O(0, 0)出發(fā)，OA、OB、OC和OABCO的最短路徑。(2) 機器人從O (0, 0)出發(fā)，到達A的最短時間路徑。注：要給出路徑中每段直線段或圓弧的起點和終點坐標、圓弧的圓心坐標以及機器人行走的總距離和總時間。 2 1+e10-0.1r2，其中r是轉彎半二、問題分析2.1求取最短路徑的分析本問題要求機器人從區(qū)域中一點到達另一點的避障最短路徑。機器人只要做到轉彎時的圓弧半徑最小為10個單位、與障礙物最近距離單時刻保持大于10個單位，那么可行走的路徑就有無數條，若想求得機器人從區(qū)域中一點到達另一點的避障最短路徑，則需要建立避障的最短路徑模型，而建立避障的最短路徑模型有一定難度。根據對問題的分析，我們認為可以從簡單做起，先確定小范圍內最短路徑條件，如圓弧位置的影響，圓弧半徑的大小，避免與障礙物碰撞條件等，通過確定最短路徑條件來建立避障的最短路徑模型。對于最短路徑的求取，我們可以通過確定窮舉原則，利用窮舉法來求解，當然也可以通過構建啟發(fā)式算法的進行求解。2.2最短時間路徑的分析對于要建立最短時間路徑模型來說，我們容易知道影響的因素有直線行走速度、轉彎速度，同時還需要考慮使得最短時間路徑條件，如圓弧位置（坐標）的影響，圓弧半徑的大小，避免與障礙物碰撞條件等。對于直線行進，我們希望行進速度越大越好，對于機器人轉彎時，轉彎速度要有約束，要保證機器人不能發(fā)生側翻。我們發(fā)現圓弧半徑的大小與轉彎速度緊密相連，從轉彎速度公式來分析，當轉彎半徑增大時，最大轉彎速度也增大，為在更短時間內行進到目標點，我們希望轉彎速度為機器人的最大轉彎速度較好，但有很大的可能是行進的路徑不是最短的，即行進路徑有很大可能在增加。于是，我們需要做的工作是，在滿足最短時間路徑條件時，找到一個圓弧的坐標位置，同時確定半徑的大小，以求得最短時間路徑。 三、模型假設1.假設將機器人看成一個質點；2.假設半徑不變時，機器人在行進、轉彎過程中能一直保持最大的速度；3.假設啟發(fā)算法是針對問題的NP屬性減少求解時間而構建的。 四、符號說明3 五、最短路徑模型建立與求解5.1模型準備5.1.1確定圓弧位置與轉彎半徑在建立機器人從區(qū)域中一點到達另一點的避障最短路徑數學模型之前，我們需要考慮兩個問題：問題一：機器人從區(qū)域中一點到達另一點過程中，若中間有障礙物，則需要通過轉彎來繞過障礙物，那么，在轉彎半徑一定的情況下，怎樣設定最佳圓弧位置，使得繞行路徑最短？問題二：繞行路徑是最短時，轉彎半徑的大小為多少？針對考慮的問題一，我們取機器人從O到A點的行走過程來說明問題。在行走過程中要求機器人行走線路與障礙物的最短距離為10個單位，圓?。ㄞD彎）半徑最小為10個單位。我們先令機器人轉彎半徑為10個單位，根據機器人行走過程中的要求，我們易得兩條極端的行走路徑，如圖1。將路線II中圓弧3兩切點線延長，兩延長交路線I，兩交點處分別作半徑為10個單位的圓弧，由此我們可得機器人從O到A點的行走時轉彎中心坐標的范圍，如圖2中四邊形abcd。 圖1 兩條極端路徑 圖2 轉彎中心坐標的范圍 圖1中路線I是理想化路線，機器人不能沿800800平面區(qū)域邊界行走，800800平面區(qū)域邊界也可以看成是一個障礙物，且有要求機器人行走線路與障礙物的最短距離為10個單位，實際上作這樣的處理并不會影響我們說明問題。4我們假設在平面中有A(0,a)和O(-A,0)兩點，中間有一正方形的障礙物，將圖2進行轉化，如圖3.圖3 最短路徑證明圖圖3中，B,C.I為切點，a,b,c,d為圓弧圓心，四邊形abcd為圓弧中心點的范圍。 對于最佳圓弧位置確定，我們采用“覆蓋法”。我們容易知道，若路線II與OA構成的區(qū)域II能夠完整覆蓋線I與OA構成的區(qū)域I，即區(qū)域I屬于區(qū)域II，那么區(qū)域II的周長一定大于區(qū)域I，否則。圖3中路線I與OA構成的區(qū)域I周長為直線段OB+CA長度、圓弧BC長、OA長之和，區(qū)域I周長l1為l1=OB+CA+BC+OA機器人沿路線I的路徑長c1可表示為c1=OB+CA+BC路線II與OA構成的區(qū)域II周長為直線段OH+FA長度、圓弧FG長、OA長之和，區(qū)域II周長l2為l2=OF+GA+FG+OA機器人沿路線II的路徑長c2可表示為c2=OF+GA+FG顯然我們知道區(qū)域II能夠覆蓋區(qū)域I，即可得l2l1，進而可得到c1c25同理，在圓弧中心點的范圍任意取一點作為機器人轉彎圓弧中點，并作路線i，再將路線i與路線I做比較，可得到c110），對應最短路線如圖4。 （1） （2）圖4 圓弧半徑為R最短路徑圖4（1）中B為兩圓弧公共切點，C為小圓弧切點（r=10），A為大圓弧切點。圖4（2）中A、D為大圓弧切點，B、C為小圓弧切點。針對圖4（1）（2），根據“覆蓋”思想與得出的結論，我們容易發(fā)現，當圓弧半徑為R（R10）時，行進路線與OA構成的區(qū)域顯然是能夠完全覆蓋圓弧半徑為r時構成的區(qū)域，由此，可說明在圓弧位置設定為最佳的條件下，圓弧半徑越小行進路徑越短，而圓弧半徑最小為10個單位，進而說明圓弧的半徑為10個單位時，繞行路徑最短。根據考慮的兩個問題與證明結果，我們可得出結論：要使得機器人從區(qū)域中一點到達另一點的行進路徑最短，應使圓弧位置設定在需要繞過障礙物的頂角上最佳，此時圓弧中心點坐標為障礙物頂角坐標，并且此時圓弧的半徑為10個單位。 5.1.2問題的轉化在模型準備中我們已得出要使得機器人從區(qū)域中一點到達另一點的行進路徑最短，應使圓弧位置設定在需要繞過障礙物的頂角上最佳，此時圓弧中心點坐標為障礙物頂角坐標，并且此時圓弧的半徑為10個單位。因此，我們將800800的平面場景圖進行處理，處理原則有：1.每個障礙物的頂角都設定一個圓?。?.圓弧坐標為障礙物頂點坐標；3.圓弧的半徑設定為10個單位；64.給每一段圓弧從2.n標號，O點標記為1、36。根據處理原則，得圖5。 圖5 處理后800800的平面場景圖在原問題中，若沒進行確定圓弧位置與轉彎半徑以及平面場景的處理，原問題求解將會很難，并且所有的轉彎點均是未知，經處理后，我們將問題轉化為在已知轉彎點，尋找合適的轉彎點，使得路徑最短，即我們將問題轉化為了最短路徑的優(yōu)化問題。5.2避障最短路徑模型的建立問題轉化為最短路徑的優(yōu)化問題后，我們易知優(yōu)化的目標函數為機器人在行進過程中最短路徑，通過0-1變量來選取經過的轉彎點，因此可建立0-1規(guī)劃模型。5.2.1目標函數目標函數為機器人出區(qū)域中一點到達另一點的避障最短路徑，避障最短路徑Z為行進過程中直線路徑與轉彎路徑之和，于是有minZ=Xij(aij+bij)i=1j=1nn（1）其中，aij為圓弧i切點到圓弧j切點的直線距離，即機器人從圓弧i切點到圓弧j切點的直線路徑；bij為機器人從圓弧i行進至圓弧j切點時的轉彎路徑；Xij為0-1變量，表示若選擇行走圓弧i后行走圓弧j，Xij為1，否則為0，i,j=1.n,n=36,ij。 7我們設(xik,yik)為圓弧i的切點坐標，i=1.36，k為切點的次序，i為各圓弧的編碼，k=1,2，如(xi1,yi1)表示為圓弧i的第一個切點坐標。機器人從圓弧i切點到圓弧j切點的直線路徑aij為aij=(xi2-xj2)2+(yi2-yj1)2i,j=1.36,ij （2） 機器人從圓弧i行進至圓弧j切點時的bij為 其中(xi1-xi2)2+(yi1-yi2)2=r2+r2-2r2cosq bij=qri,j=1.36,ij （3） r為轉彎半徑，r=10。5.2.2約束條件1.避障條件的約束在本問題中，障礙物邊界可分為直線段與圓弧兩種情況，針對障礙物邊界不同的兩種情況，我們列出避障條件的約束：（1）避障約束條件1任意一條可行路徑與所有障礙物的邊界線段間的最短距離大于10個單位. 設平面Y=y+s(y-y)pqp當參數0t1時，Qij是線段CD上的點；當參數t1 時，Qij是CD延長線上的點。mPpq,Qij兩點之間的距離為 mPpqQij=距離的平方為mf(s,t)=PpqQij=(X-U)2+(Y-V)2 2=(xi2-xp)+s(xj1-xi2)-t(xq-xp)2+(yi2-yp)+s(yj1-yi2)-t(yq-yp)2 要求直線AB，CD之間的最短距離，也就是要求函數f(s,t)的最小值。對f(s,t)分別求關于s，t的偏導數，并令偏導數為零：f(s,t)s=0f(s,t)=0t展開并整理后，得到下列方程組：9(xj1-xi2)2+(yj1-yi2)2s2-(xj1-xi2)(xq-xp)+(yj1-yi2)(yq-yp)t=(xi2-xj1)(xi2-xp)+(yi2-yj1)(yi2-yp)-(xj1-xi2)(xq-xp)+(yj1-yi2)(yq-yp)t 22+(xq-xp)+(yq-yp)t=(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y)i2pqpi2pqpm如果從這個方程組求出的參數s，t的值滿足0s1，0t1，說明Ppq點落在線mQij的長度為段AB上，Qij點落在線段CD上，這時PpqmPpqQij=mQij就是線段AB與CD的最短距離。 此時Ppq如果從方程組求出的參數s，t的值不滿足0s1，0t1，說明不可能在線段mmQij的長度就是線段AB與，在線段CD內部找到一點Qij，使得PpqAB內部找到一點PpqCD 的最短距離。這時，還需要進行考慮的是：平面中一個點到一條線段的最短距離。mmm設編號為m的障礙物的圓心坐標Ppq和一條線段AB，設Ppq點的坐標為(xmApq,ypq)，點的坐標為(xi2,yi2)，B點的坐標為(xj1,yj1)。此時，直線AB的參數形式的方程為9x=xi2+t(xj1-xi2)y=y+t(y-y)i2j1i2直線上的點(x,y)，當參數0t1時，是線段AB上的點；當參數t1 時，是AB延長線上的點。m通過Ppq點，與直線AB垂直的平面方程為m(xj1-xi2)(x-xmpq)+(yj1-yi2)(y-ypq)=0mmQijAB，所以Qij點也是從Ppq下面求這個平面與直線AB的交點Qij。顯然，Ppq點向直線AB作垂線的垂足點。將x=xi2+t(xj1-xi2)y=y+t(y-y)i2j1i2代入平面方程，化簡后解得t=m(xi2-xmpq)(xi2-xj1)+(yi2-ypq)(yi2-yj1)(xi2-xj1)+(yi2-yj1)22 然后，將上面得到的t的值代入直線方程，得到X=xi2+t(xj1-xi2)Y=y+t(y-y)i2j1i2其中，(X,Y)為垂足點Qij的坐標。mmQij的長度，也就是Ppq 此時線段Ppq點到直線AB的垂直距離為 mPpqQij=mQij 如果前面求出的參數t的值滿足0t1，說明垂足Qij點落在線段AB上，這時Ppqm的長度就是Ppq點到線段AB的最短距離。如果前面求出的參數t的值滿足t1，說明垂足Qij點不落在線段AB上，而是落在AB的延長線上，這時，Ppq點到線段AB的最短距離，就是Ppq點到B點的距離，即 10mmmPpqB=。綜上所述，即有平面 （5） dij=minO2A,O2B否則因此，我們可得到圓形障礙物與平面內最近約束條件為mindijR+10i,j=1,2.n,n362.各坐標點的約束所有假設的坐標點都應在800800平面場景內，于是有xi1,xi2,xj1,yi1,xi1,yi2,yj1,xp,x,yp,yp0,8003.各圓弧點行進先后次序的約束機器人從某個圓弧出發(fā)行至下一圓弧，先后次序的約束有xi1xi2yi1yi2xj1xj2yj2yj2xi2xj1 （6）11yi2xj1其中，i,j=1.36,ij。5.2.3避障最短路徑模型綜合上述，建立避障最短路徑模型：minZ=Xij(aij+bij)i=1j=1nnYijXijxi1xi2yi1yi2yj2yj2xxj1i2yi2xj1s.tbij=qri,j=1.36,ij22222(xi1-xi2)+(yi1-yi2)=r+r-2rcosqx,x,x,y,x,y,y,x,x,y,y(0,800)ppi1i2j1i1i1i2j1pa=(x-x)2+(y-y)2i,j=1.36,iji2j2i2j1ijXij=0或1（i,j=1,2,.n,n36,ij）mindijpqm10 dR+10i,j=1,2.n,n36ij 5.3基于避障條件轉化下的最短路徑簡化模型5.3.1避障條件的轉化我們將任意一條可行路徑與所有障礙物的邊界線段間的最短距離大于10個單位轉化為兩直線不相交、與2號障礙物圓周均不相交、切點范圍的的控制。出于簡化避障條件的0-1變量取值關系，我們進行符號補充:1選擇走圓弧i后行進圓弧ji,j=1,2,.,n,n36Xij為0-1變量，表示為Xij=0否則yij=表示圓弧i與圓弧j的圓心（xj,yj）所構成的線段的縱坐標，yijxi-xjyi-yjx，x(xi,xj)。12ym，所構成的線段的pq表示編號為m的區(qū)域內一頂點（xp,yp）與相鄰頂點（xq,yq）m縱坐標，ypq=xp-xqyp-yqx，x(xp,xq)。當m=2時，頂點表示以（550,450）為圓點，80個單位為半徑的圓上的點，相鄰頂點坐標則表示為以圓點對稱的點。0Yij為0-1變量，表示為Yij=1yij=ympq存在唯一解x(xp,xq)否則，我們將避障約束條件替換為YijXij (7) 5.3.2基于避障條件轉化下的最短路徑簡化模型于是，我們可得避障最短路徑簡化模型minZ=Xij(aij+bij)i=1j=1nnYijXijxxi2i1yi1yi2yj2yj2xxi2j1s.tyi2xj1i,j=1.36,ijbij=qr(x-x)2+(y-y)2=r2+r2-2r2cosqi2i1i2i1xi1,xi2,xj1,yi1,xi1,yi2,yj1,xp,x,yp,yp(0,800)aij=(xi2-xj2)2+(yi2-yj1)2i,j=1.36,ij X,Y=0或1（i,j=1,2,.n,n36,ij）ijij 5.4避障最短路徑簡化模型的求解5.4.1基于避障條件轉化之下的最短路徑的啟發(fā)算法對于避障最短路徑的數學模型，是非線性0-1整數規(guī)劃，具有NP屬性。對于具體的區(qū)域與障礙物，通過巧妙地將避障條件轉化為相交約束，同時結合任意兩點間最短距離的floyd算法，我們構建出了能夠對此問題規(guī)模求得全局最優(yōu)解的較好算法。具體算法思想是：針對此模型的NP屬性特征，即此問題搜索可行域的規(guī)模越發(fā)，運行時間倍增的不足，我們采用逐步縮減可行域的辦法，將達到避障條件要求的所有可行路徑搜索出。同時，通過用兩切點標識圓弧路徑的辦法，將一個圓弧路徑擴充為兩個切點的表示，建立出具有擴充點的鄰接矩陣，于是將問題轉化為賦權圖上兩點的最小距離問題，采用Floyd算法，即可得出避障最短路徑。具體算法步驟為：13Setp1：得出所有滿足避障條件的可行路徑，分三步逐步進行。(1)對于n個圓弧路徑，任意兩個圓弧間構造切線段及出發(fā)點到各圓弧的切線段，由此形成初始的路徑。判斷每條路徑中的直線段與各障礙物的邊界線段是否相交，判斷方法為將兩線段進行矢量跨立。若相交，去除該條路徑中的此直線段。(2)在（1）的基礎上去除各條路徑中的直線段與各圓弧路徑對應圓周及2號圓形障礙物邊界相交的部分。判斷各條路徑中的直線段與圓周是否相關的方法為：判斷圓心到直線段的距離是否小于半徑，若距離小于半徑，則看垂足是否在線段上，垂足在此線段上則相交，否則不相交。若圓心到直線段的距離大于半徑，則不相交。(3)依據避障條件，選取各切點在圓弧上的可取點范圍，如圖所示。 切點只能在AB上選取判斷條件為：切點與圓心連線的向量與過圓心的兩邊界向量的夾角是否大于等于90度，若是，則在允許的取點范圍。基于以上（1）（2）（3）的剔除，剩余的路徑即為滿足避障條件的可行路徑，而避障最短路徑必是這些可行路徑中的一條。Step2：構造擴充的賦權鄰接矩陣。將每一個圓弧路徑，轉化為由兩個切點標識，給此兩個切點間賦予邊權為對應圓弧路徑的弧長。對兩切點間的是有直線段相連的，直接將直線段長度賦予給此兩切點間的邊權。由此對所有可行路徑，構造有擴充點的賦權圖的鄰接矩陣。Setp3：利用Floyd算法求擴充賦權圖上任意兩點間的最短路徑，即可轉化為任意兩點間的避障最短路徑。5.4.2避障最短路徑簡化模型的求解過程與結果根據構建的啟發(fā)式算法步驟，利用MATLAB軟件，我們可求解如下結果：（1）尋找可行路徑根據避障約束條件1，任意一條可行路徑與所有障礙物的邊界線段間均不相交，求得只滿足路徑線段與邊界線段不相交時的可行路徑如圖6。14 圖6 可行路徑圖只滿足路徑中的各直線段與各障礙物邊界均不相交的可行路徑既滿足各直線段與各障礙物邊界均不相交的要求，又同時滿足與各圓弧路徑對應的圓周及第2號障礙物圓周均不相交的條件的可行路徑如圖7。 圖7 滿足三條件的可行路徑圖在滿足算法step1中（1）（2）的基礎上，剔除掉切點不在允許范圍之內的路徑線段，得出所有可行路徑示意圖，如圖8。15 圖8 所有可行路徑示意圖（2）對于每條可行路徑的直線段和圓弧段，構造擴充點，對任意兩點間按要求賦權，則問題轉化為在賦權圖上求兩點之間的最短距離。(3)調用Floyd算法，先后求出O->A的最短路徑及相應最短路長，如圖9. 圖9 O->A的最短路徑0->A短路長、O->A->B->C->O的最短路徑及相應最短路長.16 圖10 O->B的最短路徑O->B的最短路徑為：(0,0)->(50.1354,301.6396)->(51.6795,305.547)->(141.6795,440.547)->(147.9621,444.79)->(222.038,460.2096)->(230,470)->(230,530)->(229.9563,530.9242)->(229.5746,532.8954)->(229.2564,533.7791)->(229.1263,534.0782)->(225.4971,538.3544)->(144.5036,591.6465)->(140.6922,596.346)->(100,700) 對應圓弧的圓心坐標：(60,300)，(150,435)， (220,470)，(220,530)，(150,600) 最短路長為：853.7001 圖11 O->C的最短路徑圖O->C的最短路徑為：(0,0)->(232.1147,50.2273)->(232.1694,50.2377)->(412.1695,90.2373)->(418.3435,94.4905)->(491.6536,205.5113)->(492.0569,206.0862)->(727.9298,513.924)->(730,520)->(730,600)->(727.7179,606.359)->(700,640)經過的圓心：(410,100)， (230,60)， (720,520)， 圓心：(720,600)，半徑：10 圓 17心：(500,200)，半徑：10最短路長為：1088.1952 圖12 O->A->B->C->O的最短路徑圖O->A->B->C->O的最短路徑為：(0,0)->(70.5063,213.1405)->(75.975,219.1542)->(76.2776,219.2811)->(76.6064,219.4067)->(300,300)->(229.5746,532.8954)->(229.2564,533.7791)->(229.1263,534.0782)->(225.4971,538.3544)->(144.5036,591.6465)->(140.6922,596.346)->(100,700)->(270.5862,689.9828)->(272.0002,689.799)->(368.0003,670.2035)->(370,670)->(430,670)->(434.0793,670.8716)->(435.5886,671.7056)->(534.4132,738.2917)->(540,740)->(670,740)->(679.7741,732.1462)->(700,640)->(727.7179,606.359)->(730,600)->(730,520)->(727.9298,513.924)->(492.0569,206.0862)->(491.6536,205.5113)->(418.3435,94.4905)->(412.1695,90.2373)->(232.1694,50.2377)->(232.1147,50.2273)->(0,0)經過的圓心：(410,100)， (230,60)， (80,210)， (220,530)， (150,600)， (270,680)， (370,680)， (430,680)， (670,730)， (540,730)， (720,520)， (720,600)， (500,200) 最短路長為：2725.1596。本次求解，在搜索可行路徑上程序運行時間為10分鐘左右。 5.5基于數值思想的改進算法對每條路徑，直接根據避障條件，判斷它是否可行路徑的方法基于數值近似的線段間最短距離判別法。線段間最短距離判別法：給定路徑端點坐標，所有障礙物邊界線段的坐標，分別在路徑和某一邊界線段上取一系列的點，求得這系列點之間的最短距離即為線段間最短距離的近似值，如果該近似值大于10，則認為路徑與該邊界線段的距離滿足要求，否則不滿足。直到該路徑與所有的邊界線段都滿足距離要求，則該路徑為可行路徑并記錄。易知，若線段間的一系列點取值越細密，結果越精確。按照該算法，我們編寫MATLAB程序得到的所有可行路徑如下圖：18 對此可行路徑集合，仍然使用基于避障條件轉化之下的最短路徑的啟發(fā)算法的Step2、Step3步尋找最短路徑，最短路徑結果完全等同基于避障條件轉化之下的最短路徑的啟發(fā)算法的結果，但是求解時間卻大大縮減，說明該算法具有一定的有效性。 六、最短時間路徑模型建立與求解6.1到任意目標點的避障最短時間路徑模型的建立基于問題一轉化為最短路徑的優(yōu)化問題后，我們易知優(yōu)化的目標函數為機器人在行進過程中最短時間路徑，通過0-1變量來選取經過的轉彎點的圓心坐標，兩切點坐標及轉彎半徑，此時將轉彎點的圓心坐標，兩切點坐標及轉彎半徑均作為決策變量。因此，可建立0-1規(guī)劃模型如下。6.1.1目標函數目標函數為機器人出區(qū)域中一點到達另一點的避障最短時間路徑，避障最短路徑Z為行進過程中直線路徑與轉彎路徑的時間取和，故有minZ=Xij(i=1j=1nnaijv0+bijvr) （8）其中，aij為切點i到切點j的直線距離；bij為機器人從切點i行進至j切點時的轉彎路徑；Xij為0-1變量，表示若選擇行走切點(xi,yi)后行走切點(xj,yj)，Xij為1，否則為0，i,j=1.n,n=36,ij。機器人從切點i到切點j的直線路徑aij為19aij=xi2-yi2+(xj-300)2+(yj-300)2機器人從切點i行進至j切點時的bij為 其中bij=qrki,j=1.36,ij i,j=1.36,ij （9） (xi-xj)2+(yi-yj)2=ri+ri-2ricosq 2（10） rk為轉彎半徑。6.1.2約束條件1.避障條件的約束原理與最短路徑的避障條件的原理保持一致。2.各坐標點的約束所有假設的坐標點都應在800800平面場景 xi2xj1yi2xj1 其中，i,j=1.36,ij。4.轉彎半徑、圓心、與切點的坐標關系。轉彎半徑等于圓心(x0,y0)與兩個切點(xi,yi),(xj,yj)坐標的直線距離。rk=(x0-xi)2+(y0-yi)2rk=(x0-x22j)+(y0-yj)aij5. 轉彎半徑rmin(i取值為：使v+bij0v)r滿足的r20 11） （6.1.3避障最短時間路徑