3_8065037_4.二項展開式的賦值方法

2017年課標高考 母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學的一條捷徑 349 中國 高考數(shù)學母題 (第 113 號 ) 二項展開式的賦值方法 由于二項式與其 展開式 之間 恒等 關系 ,這為應用 賦值方法 提供了 基礎 ;使 用 賦值方法 可解決 二項式 展開式 中的 二項式系數(shù)和 與 展開 式 項的 系數(shù)和 的有關結論 ;賦值方法體現(xiàn)了整體處理問題的思想 . 母題結構 :若 f(x)=M(x)+N(x)n=a0+ + :常數(shù)頂 a0=f(0);最高項的系數(shù) (x)+N(x)最高項的系數(shù)的 n 次方 ;系數(shù)和 a0+a1+ +an=f(1);偶數(shù)項系數(shù)和 a0+a2+ =21f(1)+f(;奇數(shù)項系數(shù)和 a1+a3+ = 21f(1)1); 母題 解 析 :略 . 子題類型 :(2004 年湖北高考試題 )已知 ( 3123 28,則展開式中 (用數(shù)字作 答 ). 解析 :由 ( 3123 2n=128 n=7 =23x )731x )k 5. 點評 :二項式 (1+x)n= +開 中的 組合 數(shù) 稱為 二項式系數(shù) ,利用賦值 方法可得 : 所有 二項式系數(shù)的和等于 2n,即 +n(只須令 x=1); 奇數(shù)項的二項式系數(shù)和 =偶 數(shù)項的二項式系數(shù)和 =2須 再 令 x= 同 類 試題 : 1.(2015 年 湖 北 高考試題 )已知 (1+x) 項與第 8 項的二項式系數(shù)相等 ,則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為 ( ) (A)29 (B)210 (C)211 (D)212 2.(2005 年 山東 高考試題 )如果 (31x)28,則展開式中31 . 數(shù) 子題類型 :(2007 年安徽高考試題 )己知 (1=a0+ (a0+a2+a1+a3+值等于 . 解析 :設 f(x)=(1,則 f(1)=0,f(25;由 a0+a2+1f(1)+f(,a1+a3+1f(1)1) (a0+a2+a1+41)1)=點評 :若 展開式是關于 f(x),則 偶數(shù)項系數(shù)和與奇數(shù)項系數(shù)和的乘積 =)1)/4;偶數(shù)項系數(shù)和與奇數(shù)項系數(shù)和的 平方差 =f(1)f( 同 類 試題 : 3.(2010 年 江 西 高考試題 )(2- x )8展開式中 不含 ) (A) (B)0 (C)1 (D)2 4.(2006 年江西 高考試題 )在 ( )2006的二項展開式中 ,含 x 的奇次冪的項之和為 S,當 x= 2 時 , ) (A)23008 (B) (C)23009 (D)子題類型 :(2009 年湖北高考試題 )已知 (1+=1+10x+ + b= . 解析 :設 f(x)=(1+=1+10x+ +f (x)=5a(1+=10+2 +5f (0)=5a=10 a=2;f (x)=80(1+ 2x)3=2b+ +640f (0)=80=2b b=40. 點評 :對 二項式 展開式 f(x)=a0+ +們對該等式可以 :兩邊同時求導 ,稱 為 微 分法 ;兩邊同時 積 350 備戰(zhàn)高考數(shù)學的一條捷徑 2017年課標高考 母題 分方法 ,稱 為 積分法 ;達到解決 問題的目的 . 同 類 試題 : 5.(2014 全國高中數(shù)學聯(lián)賽 四川 初賽試題 )設 (1=70k 2是 . 6.(2013年 福建 高考試題 )當 x R,|x|1時 ,有如下表達式 :1+x+ + =x11,兩邊同時積分得 :2101210210 2 +210 = 210 11 從而得到如下等式 :1 21 +21 (21 )2+31 (21)3+ +11n (21)n+1+ =計算 :1+21(21)2+31(21)3+ +11(21)n+1= . 7.(2006 年重慶 高考試題 )若 (3 x 4,則展開式的常數(shù)項為 . 8.(2004 年湖北高考試題 )已知 ( 3123 28,則展開式中 (用數(shù)字作答 ). 9.(2007 年 江 西 高考試題 )已知 ( x +33x)各項系數(shù)的和與其各項二項式系數(shù)的和之比為 64,則 n 等于 . 10.(2008 年北京 高考試題 )若 (1x)2,則 n= ,其展開式的中常數(shù)項是 (用數(shù)字作答 ). 11.(2008 年 福建 高考試題 )若 (= a1+a2+a3+a4+ (用數(shù)字 作答 ). 12.(2009 年陜西 高考試題 )若 (1009=a0+ +x R),則21a+222a+ +200920092 ) (A)2 (B)0 (C) (D)3.(2009 年湖北高考試題 )設 (22+x)2n=a0+ + (a0+a2+ +-(a1+a3+ += . 14.(1988 年全 國高中數(shù)學聯(lián)賽 試題 )( x +2)2n+1的展開式中 ,x 的整數(shù)次冪的各項系數(shù)之和為 . 15.(2012 年浙江 高考試題 )若將函數(shù) f(x)=f(x)=a0+x)+x)2+ +x)5,其中 a0,a1, ,則 . 16.(1989、 1998年全 國高中數(shù)學聯(lián)賽上海 初賽試題 )計算 :1011C+2111C+3211C+ +121111C= . 令 n=10 奇數(shù)項的系數(shù)和 =A). 由 2n=128 n=7 =x)7)k3121. 由 (2- x )8展開式 的通項 = x )k 含 ;又由 (2- x )8展開式中 各項 的系數(shù)的和 =(2- 1)8=1 不含 B). 設 含 x 的奇次冪的項之和為 S(x),含 x 的 偶 次冪 (含常數(shù) )的項之和為 T(x),則 S(x)為 奇函數(shù) ,T(x)為 偶 函數(shù) ,且S(x)+T(x)=( )2006 S( 2 )+T( 2 )=0,S(- 2 )+T(- 2 )=( )2006 2 )+T( 2 )=23009 2S( 2 )=S(2 )=B). 設 f(x)=(1=a0+ +f (x)= +7f (0)=a1,f (1)=32. 由 +1+x)n,兩邊同時積分得 :1011010 2 +10 210 )1( n,從而得 2017年課標高考 母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學的一條捷徑 351 到如下等式 :1+21(21)2+31(21)3+ +11(21)n+1=11n(23)n+1 由 2n=64 n=6 =6)k 常數(shù)項 =540. 由 ( 3123 2n=128 n=7 =23x )731x )k 5. 由 4n:2n=2n=64 n=6. 由 2n=32 n=5 =-k(k 常數(shù)項 =0. 由 ,a0+a1+a2+a3+a4+ a1+a2+a3+a4+1. 由 ,1a+222a+ +200920092a=(1009=021a+222a+ +200920092a=C). 令 f(x)=(22+x)2n,則 (a0+a2+ +-(a1+a3+ +=f(1)f(2由 ( x +2)2n+1=(2+ x )2n+1 =x )k的 x 的整數(shù)次冪 k 是偶數(shù) (2 的 指 數(shù) 2n+1 奇 數(shù) );令 ( x + 2)2n+1=a0+x )+x )2+ +( x )2n+1 ( x n+1=x )x )2+ +( x )2n+1 ( x +2)2n+1-( x - 2)2n+1=2a0+x )2+ +x )2n;令 x=1 a0+ +1(32n+1+1). 由 x5=a0+x)+x)2+ +x)5 5x4=+x)+3+x)2+4+x)3