概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章 隨機變量及其分布(第1 -- 5節(jié)).ppt

1、第二章 隨機變量及其分布,第一節(jié) 隨機變量,為了全面地研究隨機試驗的結(jié)果，揭示隨機 現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，我們將隨機試驗的結(jié)果與實 數(shù)對應(yīng)起來，將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化，從而引 入隨機變量的概念。,在隨機試驗完成時，人們常常不是關(guān)心試驗 結(jié)果本身，而是對于試驗結(jié)果聯(lián)系著的某個數(shù)感 興趣。,一、隨機變量概念的產(chǎn)生,在實際問題中，隨機試驗的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念.,1、有些試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個數(shù)）.,例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)；,四月份哈爾濱的最高溫度；,每天進入一號樓的人數(shù)；,昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；,2、在有些試驗中，試驗結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進一個變量

2、來表示它的各種結(jié)果.也就是說，把試驗結(jié)果數(shù)值化.,正如裁判員在運動場上不叫運動員的名字而叫號碼一樣，二者建立了一種對應(yīng)關(guān)系.,這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學上理解為定義了一種實值單值函數(shù).,e.,X(e),R,這種實值函數(shù)與在高等數(shù)學中大家接觸到的函數(shù)不一樣！,（1）它隨試驗結(jié)果的不同而取不同的值，因而在試驗之前只知道它可能取值的范圍，而不能預(yù)先肯定它將取哪個值.,（2）由于試驗結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是這種實值函數(shù)取每個值和每個確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.,稱這種定義在樣本空間S上的實值單值函數(shù)X= X(e)為,隨,量,機,變,簡記為 r.v.,隨機變量通常用大寫字母 X,Y,Z,W,N 等表示,

3、有了隨機變量, 隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的關(guān)系式表達出來.,引入隨機變量的意義,如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個隨機變量.,事件收到不少于1次呼叫,沒有收到呼叫, X 1,X= 0,隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件. 引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴大為對隨機變量及其取值規(guī)律的研究.,事件及 事件概率,隨機變量及其 取值規(guī)律,我們將研究兩類隨機變量：,如“取到次品的個數(shù)”， “收到的呼叫數(shù)”等.,隨機變量,離散型隨機變量,連續(xù)型隨機變量,例如，“電視機的壽命”，實際中常遇到的“測量誤差”等.,隨機變量的

4、分類,這兩種類型的隨機變量因為都是隨機變量，自然有很多相同或相似之處；但因其取值方式不同，又有其各自的特點.,學習時請注意它們各自的特點和描述方法.,例如，,連續(xù)擲一顆骰子兩次，觀察兩次出現(xiàn)的點數(shù) 之和。其樣本空間為S=(i, j), i, j =1,2,3,4,5,6.,我們關(guān)心的并不是第一次、第二次出現(xiàn)的點 數(shù)，而是兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和是多少。,如果以 X 表示兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和，則對于每個 樣本點e = (i, j) , X都有一個值與之對應(yīng), X= i+ j， 其可能的取值為2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.,X取不同的值，代表著不同的隨機事件。 (X是離散型),再如，在

5、一批燈泡中任取一只，測試其壽命。,其樣本空間為,如果用X表示燈泡的 壽命值, 則每一個燈泡的測試結(jié)果即每一個樣本 點都對應(yīng)著 X 的一個值，且X取不同值對應(yīng)著不 同的事件。如,X=1000（小時）表示“燈泡的壽命為1000小 時”， （小時）表示“燈泡的壽命為小于 或等于1500小時”。（X是連續(xù)型）,在上述兩例中，試驗的結(jié)果本身就是數(shù)量性 質(zhì)的隨機現(xiàn)象，可直接用某一變量來表示。但還 有一些試驗的結(jié)果不能直接用數(shù)量表示。,例如考察一臺機器在一年內(nèi)是否發(fā)生故障這一隨 機現(xiàn)象，可能的結(jié)果共有兩個，“完好”或“故障”。 它們并不表示為數(shù)量；又如擲硬幣的試驗也一樣。,對這些試驗的結(jié)果，我們可以把它們數(shù)

6、量化， 如引入一個只取兩個值 (1或0) 的變量X，用“X=1” 表示機器完好這一隨機事件，用“X=0”表示機器發(fā) 生故障這一隨機事件。（X是離散型的）,解：分析,再如 一報童賣報，每份0.15元，其成本為0.10元. 報館每天給報童1000份報，并規(guī)定他不得把賣不出的報紙退回. 設(shè)X為報童每天賣出的報紙份數(shù)，試將報童賠錢這一事件用隨機變量的表達式表示.,當 0.15 X1000 0.1時，報童賠錢,故報童賠錢 X 666（X是連續(xù)型的）,由此可知，隨機試驗的結(jié)果往往可以用一個變 量來表示，變量取什么值由試驗的結(jié)果決定，而試 驗結(jié)果又是樣本空間的一個子集。為此，我們給出 隨機變量的定義。,定義

7、：,設(shè)隨機試驗的樣本空間為S=e。X=X(e)是 定義在樣本空間S上的實值單值函數(shù)。 稱 X=X(e) 為隨機變量。,隨機變量一般用大寫的字母如X, Y, Z 等表示, 而隨機變量的取值一般用小寫的字母如x, y, z表示。,隨機變量X 常常簡記為 r.v. X。,隨機變量與一般的變量用著本質(zhì)的區(qū)別， 主要表現(xiàn)在：,取值的隨機性-即X取哪個值在試驗之前無法 知道. (但在試驗之前X的所以可能取值是已知的),(2) 取值的統(tǒng)計規(guī)律性-即X取某個值或在某個區(qū) 間內(nèi)取值的概率是完全確定的。,隨機變量的引入，使我們能用其來描述各種 隨機現(xiàn)象，使我們有可能利用數(shù)學分析的方法對 隨機試驗的結(jié)果進行深入廣泛

8、的研究和討論。,在實際中，常用的隨機變量有如下兩類：,(1) 離散型隨機變量,這類隨機變量的主要特征是 它們可能取的值是有限個或無限可列個；,除了離散型隨機變量以外 的隨機變量。,(2) 非離散型隨機變量,非離散型隨機變量的情況比較復(fù)雜，在實用 中, 常遇到的是它的一個特殊情形-連續(xù)型隨機 變量。,這類隨機變量的主要特征是它們可能的取 值充滿了某個有限或無限的區(qū)間。,第二節(jié) 離散型隨機變量及其分布律,離散型隨機變量只可能取有限個或無限可列個 值。為了全面地描述離散型隨機變量，我們不僅要 知道它可能取的值是哪一些，而且還要知道它取這 些值的概率是多少。只有這樣，才能確切地掌握離 散型隨機變量的統(tǒng)

9、計規(guī)律性。,設(shè)離散型隨機變量X所有可能的取值為,X取各個可能值的概率，即事件,的概率為,則稱上述一系列等式為離散型隨機變量X的分布律。,離散型隨機變量X的分布律也可以用表格形式給出：,由概率的定義可知，離散型隨機變量的分布律具 有以下兩個性質(zhì)：,例1：設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四組 信號燈， 每組信號燈以1/2的概率允許或禁止汽車 通過。以X表示汽車首次停下時，它已通過的信號 燈的組數(shù)（設(shè)各組信號燈的工作是相互獨立的）， 求X的分布律。,解：,以p表示每組信號燈禁止汽車通過的概率，則,以p=1/2代入并列成表格，得,例2：一袋中裝有5只球，編號為1,2,3,4,5.在袋中同 時取3只，

10、以X表示取出的3只球中的最大號碼，寫 出X的分布律。,解：,列成表格，得,幾個常用的離散型隨機變量的分布,（一） 兩點分布（貝努利分布）,如果離散型隨機變量X只取a，b兩個值，且其分布律為,則稱離散型隨機變量X服從兩點分布(貝努利分布),或稱離散型隨機變量X的分布為兩點分布。,當 a=0，b=1 時，又稱（0 1）分布,則稱E為貝努利試驗。,（二） 貝努利試驗、二項分布,則稱E為貝努利試驗。,將貝努利試驗獨立重復(fù)地進行n次，則稱這一串重復(fù)的獨立試驗為n重貝努利試驗。,若在n重貝努利試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)為 X，則X的可能的取值為0, 1, , n。,而人們所關(guān)心的問題是：事件A恰好發(fā)生k次的

11、概率是多少？,則：,則有,顯然，,- 二項概率公式,如果離散型隨機變量X可能取的值為0, 1, 2, , n。 且其分布律為,則稱離散型隨機變量X服從二項分布，記為,特別地，當n=1時，,即為 （0 - 1）分布。,事件A至少出現(xiàn)m次的概率為,例1：某人進行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.02， 獨立射擊400次，試求至少擊中兩次的概率。,解：,將一次射擊看成是一次試驗（貝努利試驗）,設(shè)擊中的次數(shù)為X，則,X的分布律為,所以所求概率為,例2：某人進行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為 0.02， 問至少必須進行多少次獨立射擊，才能使至少擊中 一次的概率不少于0.9。,解：,設(shè) X 為n次射擊中射中的次數(shù)

12、，則,例3：某店內(nèi)有4名售貨員，據(jù)以往經(jīng)驗，每名售 貨員平均在一小時內(nèi)只用秤15分鐘。問該店應(yīng)配 置幾臺秤較為合理？,解：,觀察一名售貨員是否用秤作為一次試驗 （貝努利試驗）,X的分布律為,則觀察四名售貨員在某一時刻是否都在用秤 就是4重貝努利試驗,設(shè)某一時刻需用秤的售貨員人數(shù)為X，則,則,由此可見，配置2臺秤較為合理。,例4：從某工廠的產(chǎn)品中進行重復(fù)抽樣檢查，共取出200件樣品，經(jīng)檢查后發(fā)現(xiàn)其中共有4件次品。 問能否相信該廠出次品的概率不超過0.005？,解：,先假設(shè)該廠出次品的概率為 0.005，那么200件 樣品中的次品數(shù) X 服從,則200件樣品中有4件次品的概率為,這說明，當該廠出次

13、品的概率為0.005時，檢查200 件產(chǎn)品發(fā)現(xiàn)有4件次品的事件是小概率事件， 因為 小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生，但現(xiàn)在 居然發(fā)生了。因此，我們有理由懷疑原來的假設(shè)有 問題。即該廠出次品的概率不超過0.005不可信。,例5 已知100個產(chǎn)品中有5個次品，現(xiàn)從中有放回 地取3次，每次任取1個，求在所取的3個中恰有2個次品的概率.,解: 因為這是有放回地取3次，因此這3 次試驗 的條件完全相同且獨立，它是3重貝努里試驗.,依題意，每次試驗取到次品的概率為0.05.,設(shè)X為所取的3個中的次品數(shù)，,于是，所求概率為：,則,X b(3,0.05)，,若將本例中的“有放回”改為”無放回”, 那么

14、各次試驗條件就不同了, 此試驗就不是伯努 利試驗 . 此時, 只能用古典概型求解.,請注意：,（三） 泊松分布,如果離散型隨機變量X可能取的值為0, 1, 2, , 且其分布律為,則稱離散型隨機變量X服從泊松分布，記為,在現(xiàn)實生活中有許多隨機現(xiàn)象服從泊松分布，這種情況特別集中在兩個領(lǐng)域中，一是社會生活中的服務(wù)領(lǐng)域，如電話交換臺在一段時間內(nèi)來到的呼叫數(shù)；公共汽車站在一段時間內(nèi)來到的乘客數(shù)；某地區(qū)在一天內(nèi)郵遞遺失的信件數(shù)；某一醫(yī)院在一天內(nèi)的急診人數(shù)；某一地區(qū)在一段時間間隔內(nèi)發(fā)生的交通事故數(shù)等。另一領(lǐng)域是物理學，如在一段時間內(nèi)由放射性物質(zhì)發(fā)出的、落在某區(qū)域內(nèi)的質(zhì)點數(shù)；在一段時間內(nèi)由顯微鏡觀察得到的落

15、在某區(qū)域內(nèi)血球數(shù)等。它們都服從泊松分布。,例2 一家商店采用科學管理，由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)=5的泊松分布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進某種商品多少件？,解:,設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為X,已知X服從參數(shù)=5的泊松分布.,設(shè)商店在月底應(yīng)進某種商品m件,進貨數(shù),銷售數(shù),查泊松分布表得P383,PXm 0.05,也即,于是得 m+1=10,m=9件,或,例3 （15題）利用泊松逼近二項分布,練習題,第三節(jié) 隨機變量的分布函數(shù),對于非離散型隨機變量X，由于其取值不能 一個一個地列舉出來，因而就不能像離散型隨機 變量那樣可以用分布律來刻畫

16、它。另外，我們通 常所遇到的非離散型隨機變量取任一指定的實數(shù) 值的概率都等于0（這一點在下一節(jié)將會講到）。 再著，在實際問題的討論中，對有些隨機變量， 例如誤差 ，元件的壽命T等，我們并不會對誤 差 ，壽命T=1251.3(h)的概率感興趣， 而是考慮誤差落在某個區(qū)間的概率，壽命大于某 個值的概率，因而我們現(xiàn)在考慮隨機變量所取的 值落在一個區(qū)間的概率：,為此，現(xiàn)引入隨機變量的分布函數(shù)的概念。,定義：,設(shè)X是一個隨機變量，,x是任意實數(shù)，函數(shù),稱為X的分布函數(shù)。,分布函數(shù)具有以下幾個性質(zhì)：,(1) F(x) 是x的不減函數(shù)，,(4) F(x) 至多有可列個間斷點，且在其間斷點處是 右連續(xù)的。,對

17、離散型隨機變量X，若其分布律為,則其分布函數(shù)為,(1) 在分布函數(shù)的定義中, X是隨機變量, x是參變量.,(2) F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.,(3) 對任意實數(shù) x1x2，隨機點落在區(qū)間( x1 , x2 內(nèi) 的概率為：,P x1X x2,因此，只要知道了隨機變量X的分布函數(shù)， 它的統(tǒng)計特性就可以得到全面的描述.,=P X x2 - P X x1 ,= F(x2)-F(x1),請注意 :,分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)， 正是通過它，我們可以用高等數(shù) 學的工具來研究隨機變量.,設(shè)離散型 r .v X 的分布律是,P X=xk = pk , k =1,2,3,F(x) = P(X

18、 x) =,即F(x) 是 X 取 的諸值 xk 的概率之和.,一般地,則其分布函數(shù),例1：設(shè)隨機變量X的分布律為,求X的分布函數(shù) ，并求,解：,即分布函數(shù)F(x)為,例3：一個靶子是半徑為2米的圓盤，設(shè)擊中靶上 任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正 比，并設(shè)射擊都能中靶， 以X表示彈著點與圓心 的距離。試求隨機變量X的分布函數(shù)。,解：,故得 k=1/4，,于是,上面兩個例子是離散型的。,即分布函數(shù)F(x)為,容易看出，對上述的F(x)，,存在 f (t)，使得,這就是說， F(x)恰是非負函數(shù) f (t) 在區(qū)間 上的積分。,在這種情況我們稱X為連續(xù)型隨機變量。,第四節(jié) 連續(xù)型隨機變量

19、及其概率密度,如果對于隨機變量X的分布函數(shù)F(x),存在非 負函數(shù)f (x), 使對于任意實數(shù) x 有,則稱X為連續(xù)型隨機變量，其中函數(shù)f (x)稱為X的 概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。,可以證明連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù) F(x)是連續(xù)函數(shù)。,概率密度函數(shù) f (x)的性質(zhì)：,概率密度的性質(zhì),利用概率密度可確 定隨機點落在某個 范圍內(nèi)的概率,(3)對于任意實數(shù) x1 , x2 , (x1 x2 ) ,對 f(x)的進一步理解:,若 x 是 f(x) 的連續(xù)點，則,故 X的密度 f(x) 在 x 這一點的值，恰好是X 落 在區(qū)間 上的概率與區(qū)間長度 之比的極 限. 這里，如果把概率理解為質(zhì)量，

20、f (x) 相當于線密度.,也表明f (x)不是 X 取值 x 的概率，而是 X 在 x 點概率分布的密集程度。由 f (x)的大小可反映出X 在 x 點附近取值的概率大小。,由上式，還可得：,對連續(xù)型隨機變量X，有,因此，如A是不可能事件，則 P(A) = 0, 但反之不然。,另外有：,請注意與離散型的不同,要注意的是，密度函數(shù) f (x)在某點處a的高度，并不反映X取值的概率. 但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大. 也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度.,a,以后當我們提到一個隨機變量X的 “概率分布”時，指的是它的分布函數(shù)； 或者，當 X 是連續(xù)型隨

21、機變量時指的是它的概率密度，當 X 是離散型隨機變量時指的是它的分布律。,例：設(shè)連續(xù)性隨機變量X的概率密度為,解：,幾個常用的連續(xù)型隨機變量的分布,（一） 均勻分布,如果連續(xù)型隨機變量 X 的概率密度為,則稱連續(xù)型隨機變量X在區(qū)間 (a,b) 上服從均勻分布。,記為,在區(qū)間 (a,b) 上服從均勻分布的隨機變量 X，具 有下述意義的等可能性：即它落在區(qū)間 (a,b) 中任意 等長度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的。,如果 X在區(qū)間 (a,b) 上服從均勻分布。,則其概率密度為,其分布函數(shù)為,公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時間，即乘客的候車時間等.,均勻分布常見于下列情形：,如在數(shù)值計算

22、中，由于四舍五 入，小數(shù)點后某一位小數(shù)引入的誤差；,（二） 指數(shù)分布,如果連續(xù)型隨機變量 X 的概率密度為,則稱連續(xù)型隨機變量 X 服從指數(shù)分布。,其分布函數(shù)為,在實際生活中，常用指數(shù)分布作為各種“壽 命” 分布的近似。如電子元件的壽命、動物的壽 命等都假定服從指數(shù)分布。,服從指數(shù)分布的隨機變量X具有一個很有趣 的性質(zhì)：無記憶性。,事實上，,無記憶性的理論解釋：,已知某一元件已使用了s小時，則它總共能 使用至少s+t小時的條件概率， 與它從開始使用 時算起它至少能使用t小時的概率相等。,例1 某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等時刻有汽

23、車到達此站，如果乘客到達此站時間 X 是7:00 到 7:30 之間的均勻隨機變量, 試求他候車時間少于5 分鐘的概率.,解,依題意， X U ( 0, 30 ),以7:00為起點0，以分為單位,為使候車時間X少于 5 分鐘，乘客必須在 7:10 到 7:15 之間，或在7:25 到 7:30 之間到達車站.,所求概率為：,即乘客候車時間少于5 分鐘的概率是1/3.,（三） 正態(tài)分布,正態(tài)分布是概率論中最重要的一種分布。一方面，正態(tài)分布是自然界最常見的一種分布, 如測量時的誤差、農(nóng)作物的收獲量、炮彈彈落點的分布、人的生理特征的尺寸（身高、體重等）、學生成績的分布等都近似服從正態(tài)分布；一般說來，

24、如影響某一數(shù)量指標的隨機因素很多，而每個因素所起的作用又不太大，且它們是相互獨立的，而影響又是可以相互疊加的，則這個指標服從正態(tài)分布。這一點可以用概率論中的中心極限定理加以證明。（在第五章里將會介紹）,另一方面，正態(tài)分布具有很多良好的性質(zhì)，它的分布 具有“兩頭小，中間大”的特點，許多分布可用正態(tài)分布來 近似；另外一些分布又可以用正態(tài)分布來導(dǎo)出。因此在理 論研究中，正態(tài)分布又有十分重要的地位。,如果連續(xù)型隨機變量 X 的概率密度為,則稱連續(xù)型隨機變量 X 服從參數(shù)為,的正態(tài)分布,或高斯(Gauss)分布，,記為,x,f(x),0,f (x) 具有的性質(zhì)：,X 的概率密度為,X 的分布函數(shù)為,X

25、的概率密度特別記為,X 的分布函數(shù)特別記為,標準正態(tài)分布。,引理：,證：,由此知,證畢,于是，,則其分布函數(shù)F(x)可寫成,由于正態(tài)分布在概率計算中的重要性，再加上正態(tài)分布可化為標準正態(tài)分布來處理，因此人們已編制好了標準正態(tài)分布的分布函數(shù)值表(見書后附表2)。,x,這說明，X的取值幾乎全部集中在-3,3區(qū)間 內(nèi)，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%.,例1：將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器 內(nèi)。調(diào)節(jié)器整定在 液體的溫度X ( 以 計 ) 是 一個隨機變量，且 求X 小于89的概率；(2) 若要求保持液體的溫度至少為80 的概率不底于0.99，問d至少為多少？,解：,(1) 所求概率為,

26、(2) 按題意需求d滿足,即,亦即,例2：設(shè)測量從某地到某一目標的距離時帶有的隨 機誤差X具有概率密度為,求誤差的絕對值不超過30的概率； 如果接連測三次，各次測量是相互獨立的。求 至少有一次誤差的絕對值不超過30的概率。,解：,(2) 三次中至少有一次誤差的絕對值不超過30的逆事件即三次的誤差的絕對值都超過30。,故所求的概率為,解,P(X h)0.01,或 P(X h) 0.99，,下面我們來求滿足上式的最小的h .,看一個應(yīng)用正態(tài)分布的例子:,例 公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在 0.01 以下來設(shè)計的.設(shè)男子身高XN(170,62),問車門高度應(yīng)如何確定?,設(shè)車門高度為h cm,按設(shè)計要求,因為 XN(170,6