江蘇省昆山市2018_2019學年高二數(shù)學上學期期中試題

1、江蘇省昆山市學年高二數(shù)學上學期期中試題（含解析）一、填空題. 已知傾斜角為的直線經(jīng)過點() ， ( ， ) ，則的值為 .【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線傾斜角的定義可得，解出即可 .【詳解】傾斜角為的直線經(jīng)過點，解得，故答案為 .【點睛】本題考查了傾斜角的應用，考查了基本概念，屬于基礎題. 已知直線和直線平行，則的值為【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線平行的等量關系，解得結果.【詳解】由題意得，所以，（舍） .【點睛】本題考查直線平行，考查基本分析求解能力，屬基礎題. 若長方體的三個面的對角線分別為，則長方體的對角線長度為【答案】【解析】【詳解】設長方體長寬高為，則，所以，即對角線長為.【點睛

2、】本題考查長方體對角線長，考查基本分析求解能力，屬基礎題. 直線被圓截得的弦長等于- 1 - / 15【答案】【解析】【分析】根據(jù)垂徑定理求弦長.【詳解】因為，所以，因此圓心到直線距離為，弦長為【點睛】本題考查直線與圓位置關系，考查基本分析求解能力，屬基礎題. 圓心在直線上，且與直線相切于點的圓的標準方程為【答案】【解析】【分析】設圓標準方程形式，根據(jù)條件列方程組，解得結果.【詳解】設, 則，解得，所以圓的標準方程為.【點睛】本題考查圓得標準方程，考查基本分析求解能力，屬基礎題. 半徑為的球被兩個相互平行的平面截得的圓的半徑分別為和，則這兩個平面之間的距離是【答案】或【解析】【分析】先根據(jù)條件

3、得球心到兩平面距離，再根據(jù)兩平面位置關系得結果.【詳解】由題意得球心到兩平面距離分別為，因此這兩個平面之間的距離是或- 2 - / 15【點睛】本題考查球相關性質，考查基本分析求解能力，屬基礎題. 過點作直線，使它被兩條相交直線和所截得的線段恰好被點平分，則直線斜率為【答案】【解析】【分析】根據(jù)中點坐標公式求得弦端點坐標，再根據(jù)斜率公式求結果.【詳解】設截得的線段, 則，因為點為中點 , 所以，從而直線斜率為【點睛】本題考查直線位置關系，考查基本分析求解能力，屬基礎題. 如圖，在棱長為的正方體中，四面體的體積等于【答案】- 3 - / 15【解析】【分析】根據(jù)割補法得結果.【 詳 解 】 四

4、面 體的 體 積 等 于 正 方 體 體 積 減 去 四 個 小 三 棱 錐 體 積 ， 即.【點睛】本題考查錐體體積，考查基本分析求解能力，屬基礎題. 如圖，空間四邊形中，平面，為的等邊三角形，為棱上的一個動點，則的最小值為【答案】【解析】【分析】先展開，再在平面內利用余弦定理得結果.【 詳解 】 先 將 平 面展開 到 平 面,則的 最小 值 為 此時 ,.【點睛】本題考查利用展開圖求距離最值，考查基本分析求解能力，屬基礎題. 設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值是【答案】- 4 - / 15【解析】【分析】可得直線分別過定點（，）和（，）且垂直，可得三角換元后，由三角函數(shù)

5、的知識可得的最大值【詳解】由題意可得（，），由于直線，即（），顯然經(jīng)過定點（，），注意到動直線和動直線始終垂直，又是兩條直線的交點，則有，設，則，且，可得 ， ，）（）， ， ， ， ，當 時，（）取得最大值為，故答案為：【點睛】本題考查直線過定點問題，涉及直線的垂直關系和三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬中檔題. 關于異面直線，有下列四個命題過直線有且只有一個平面，使得過直線有且只有一個平面，使得在空間存在平面，使得，在空間不存在平面，使得，其中，一定正確的是【答案】【解析】【分析】根據(jù)異面直線定義說明命題正確，舉反例說明命題錯誤.【詳解】過直線上任一點作直線平行線, 則直線必相交，即

6、確定一個平面，因為若存在平面，使得，則，與為異面直線矛盾，- 5 - / 15故過直線有且只有一個平面，使得；當時可得，這與不一定垂直矛盾，所以錯；過直線上任一點作直線平行線, 則直線必相交， 即確定一個平面，過直線上任一點作直線平行線, 則直線必相交，即確定一個平面，因此平面平面，再任作平面，使得，即得，；若，則, 與為異面直線矛盾，所以不存在平面，使得，；綜上，正確的是【點睛】本題考查線面位置關系，考查基本分析判斷與論證能力，屬中檔題. 已知圓，圓，若圓上存在點，過點做圓的兩條切線，切點為、，使得，則實數(shù)的取值范圍是【答案】【解析】設 ( ， ) ，則. 又在圓上，則( ) ( ) . 由

7、得，所以. 已知為平面內一點，且，若，則點的橫坐標等于【答案】【解析】【分析】先根據(jù)條件化簡得方程組，解得點的橫坐標.【詳解】設，則由，得，即，解得- 6 - / 15【點睛】本題考查軌跡方程及其交點坐標，考查基本分析求解能力，屬基礎題. 若實數(shù)：滿足，則的最大值為【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件結構特征，轉化為單位圓上兩點到定直線距離和的關系，再根據(jù)圓的幾何性質求最值 .【詳解】因為，所以在單位圓上，且因為，所以，因為, 其中為中點 .又因為, 所以, 即的最大值為【點睛】本題考查向量數(shù)列積、點到直線距離公式、以及圓的性質，考查綜合分析轉化求解能力，屬難題.二、解答題. 已知直線經(jīng)過點且斜率

8、為（）求直線的一般式方程- 7 - / 15（）求與直線平行，且過點的直線的一般式方程（）求與直線垂直，且過點的直線的一般式方程【答案】（）（）（）【解析】【分析】（）先寫點斜式方程，再化一般式，（）根據(jù)平行設一般式，再代點坐標得結果，（）根據(jù)垂直設一般式，再代點坐標得結果.【詳解】 ()() 設所求方程為因為過點，所以()設所求方程為因為過點，所以【點睛】本題考查直線方程，考查基本分析求解能力，屬基礎題. 如圖一個圓錐的底面半徑為，高為，在圓錐中有一個半徑為的內接圓柱（）試用表示圓柱的高（）當為何值時，圓柱的全面積最大，最大全面積為多少【答案】（）（）【解析】- 8 - / 15【分析】（）

9、根據(jù)比例關系求結果，（）先列圓柱的全面積函數(shù)關系式，再根據(jù)二次函數(shù)性質求最值.【詳解】（）（）圓柱的全面積當時，答：當時，圓柱的全面積最大，最大全面積為【點睛】本題考查圓柱全面積以及二次函數(shù)性質，考查基本分析求解能力，屬基礎題. 如圖，在直三棱柱中，點為中點，若, 求證：（）（）【答案】（）見解析（）見解析【解析】【分析】（）連接交于，則根據(jù)三角形中位線性質得，再根據(jù)線面平行判定定理得結果，（）根據(jù)線面垂直判定定理依次證得即得結論 .【詳解】連接交于，連接 ,- 9 - / 15因為直三棱柱，所以四邊形為矩形，所以 為的中點，又因為為的中點，所以,因為，所以（）因為四邊形為矩形，所以, 又,

10、所以,因為所以，因為四邊形為矩形，所以四邊形為正方形，,因為所以.【點睛】垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型.() 證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行.() 證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直.() 證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直. 如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為正方形，為等邊三角形，是中點，平面與棱交于點 .（）求證：；（）求證：平面；（）記四棱錐的體積為，四棱錐的體積為，直接寫出的值 .- 10 - / 15【答案】（）見解析（）見解析（）【解析】【分析】（）由為正方形，可得再由線面平行的判定可得平面. 再由面面平行的性質可得；（）由為正方形，可得結合面面垂直

11、的性質可得平面從而得到. 再由已知證得由線面垂直的判定可得平面；（）由（）知，利用等積法把用表示，則的值可求【詳解】（）證明：因為正方形，所以.因為平面，平面，所以平面.因為平面，平面平面，- 11 - / 15所以.（）證明：因為正方形，所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.因為平面，所以.因為為等邊三角形，是 中點，所以.因為平面，平面，所以平面.（）解：由（）知，則【點睛】本題考查直線與平面平行的判定和性質，考查線面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題. 如圖， 已知圓的方程為，過點的直線與圓交于點、，與負半軸交于點。設，（）若，求出、

12、兩點坐標（）當直線繞點轉動時，試探究是否為定值 .- 12 - / 15【答案】（）（）【解析】【分析】()設坐標表示點坐標，代入圓方程解得坐標，即得直線方程，與圓方程聯(lián)立解得坐標，() 設坐標表示、點坐標，代入圓方程，化簡可得.【詳解】（）設，因為，所以，所以，因此，由得（）設,因為，所以因此，【點睛】定點、定值問題通常是通過設參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的 . 定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結果，因此求解時應設參數(shù)，運用- 13 - / 15推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn). 如圖，已知圓和圓（）求兩圓所有公切線的斜率（）設為平面上一點， 滿足：若存在點的無窮多條直線與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長是直線被圓截得的弦長的倍，試求所有滿足條件的點的坐標【答案】 ()或或， ()【解析】【分析】（）先設公切線方程，再根據(jù)圓心到切線距離等于半徑列方程，解得結果，（）設直線點斜式方程，再根據(jù)垂徑定理將弦長關系轉化為圓心到直線距離關系，利用條件列等量關系，最后根據(jù)恒成立解得點坐標 .【詳解