中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題：折疊問題

1、2012年全國中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編(159套63專題）專題31：折疊問題一、選擇題1. （2012廣東梅州3分）如圖，在折紙活動中，小明制作了一張ABC紙片，點D、E分別是邊AB、AC上，將ABC沿著DE折疊壓平，A與A重合，若A=75，則1+2=【 】A150B210C105D75【答案】A?！究键c】翻折變換（折疊問題），三角形內(nèi)角和定理?！痉治觥緼DE是ABC翻折變換而成，AED=AED，ADE=ADE，A=A=75。AED+ADE=AED+ADE=18075=105，1+2=3602105=150。故選A。2. （2012江蘇南京2分）如圖，菱形紙片ABCD中，A=600，將紙片折疊

2、，點A、D分別落在A、D處，且AD經(jīng)過B，EF為折痕，當DFCD時，的值為【 】A. B. C. D. 【答案】A。【考點】翻折變換（折疊問題），菱形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥垦娱LDC與AD，交于點M，在菱形紙片ABCD中，A=60，DCB=A=60，ABCD。D=180-A=120。根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得ADF=D=120，F(xiàn)DM=180-ADF=60。DFCD，DFM=90，M=90-FDM=30。BCM=180-BCD=120，CBM=180-BCM-M=30。CBM=M。BC=CM。設(shè)CF=x，DF=DF=y， 則BC=CM=CD=CF

3、+DF=x+y。FM=CM+CF=2x+y，在RtDFM中，tanM=tan30=，。故選A。3. （2012江蘇連云港3分）小明在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn)，將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC上的點E處，還原后，再沿過點E的直線折疊，使點A落在BC上的點F處，這樣就可以求出67.5角的正切值是【 】A1 B1 C2.5 D【答案】B。【考點】翻折變換(折疊問題)，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理?！痉治觥繉⑷鐖D所示的矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC上的點E處，ABBE，AEBEAB45，還原后

4、，再沿過點E的直線折疊，使點A落在BC上的點F處，AEEF，EAFEFA22.5。FAB67.5。設(shè)ABx，則AEEFx，an67.5tanFABt。故選B。4. （2012廣東河源3分）如圖，在折紙活動中，小明制作了一張ABC紙片，點D、E分別在邊AB、AC上，將ABC沿著DE折疊壓平，A與A重合若A75，則12【 】A150 B210 C105 D75【答案】A?！究键c】折疊的性質(zhì)，平角的定義，多邊形內(nèi)角和定理?！痉治觥扛鶕?jù)折疊對稱的性質(zhì)，AA75。 根據(jù)平角的定義和多邊形內(nèi)角和定理，得121800ADA1800AEA3600（ADAAEA）AA1500。故選A。5. （2012福建南平4

5、分）如圖，正方形紙片ABCD的邊長為3，點E、F分別在邊BC、CD上，將AB、AD分別和AE、AF折疊，點B、D恰好都將在點G處，已知BE=1，則EF的長為【 】A B C D3 【答案】B。【考點】翻折變換（折疊問題），正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥空叫渭埰珹BCD的邊長為3，C=90，BC=CD=3。根據(jù)折疊的性質(zhì)得：EG=BE=1，GF=DF。設(shè)DF=x，則EF=EGGF=1x，F(xiàn)C=DCDF=3x，EC=BCBE=31=2。在RtEFC中，EF2=EC2FC2，即（x1）2=22（3x）2，解得：。DF= ，EF=1。故選B。6. （2012湖北武漢3分）如圖，矩形AB

6、CD中，點E在邊AB上，將矩形ABCD沿直線DE折疊，點A恰好落在邊BC的點F處若AE5，BF3，則CD的長是【 】A7 B8 C9 D10【答案】C?！究键c】折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理。【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，EF=AE5；根據(jù)矩形的性質(zhì)，B=900。 在RtBEF中，B=900，EF5，BF3，根據(jù)勾股定理，得。 CD=AB=AEBE=54=9。故選C。7. （2012湖北黃石3分）如圖所示，矩形紙片ABCD中，AB=6cm，BC=8 cm，現(xiàn)將其沿EF對折，使得點C與點A重合，則AF長為【 】A. B. C. D. 【答案】B。【考點】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質(zhì)，矩形的性

7、質(zhì)，勾股定理?！痉治觥吭O(shè)AF=xcm，則DF=（8-x）cm，矩形紙片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將其沿EF對折，使得點C與點A重合，DF=DF，在RtADF中，AF2=AD2DF2，即x2=62（8x）2，解得：x=。故選B。8. （2012湖北荊門3分）如圖，已知正方形ABCD的對角線長為2，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長為【 】A 8 B 4 C 8 D 6【答案】C。【考點】翻折變換（折疊問題），折疊的對稱性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，正方形ABCD的對角線長為2，即BD=2，A=90，AB=AD，ABD=45，AB=BDcosABD=

8、BDcos45=2。AB=BC=CD=AD=2。由折疊的性質(zhì)：AM=AM，DN=DN，AD=AD，圖中陰影部分的周長為AM+BM+BC+CN+DN+AD=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。故選C。9. （2012四川內(nèi)江3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5點E、F分別在AB、CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點A、D分別落在矩形ABCD外部的點A1、D1處，則陰影部分圖形的周長為【 】A.15 B.20 C.25 D.30【答案】D?！究键c】翻折變換（折疊問題），矩形和折疊的性質(zhì)?！痉治觥扛鶕?jù)矩形和折疊的性質(zhì)，得A1E=AE，A1D

9、1=AD，D1F=DF，則陰影部分的周長即為矩形的周長，為2（10+5）=30。故選D。10. （2012四川資陽3分）如圖，在ABC中，C90，將ABC沿直線MN翻折后，頂點C恰好落在AB邊上的點D處，已知MNAB，MC6，NC，則四邊形MABN的面積是【 】A B C D【答案】C?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，【分析】連接CD，交MN于E，將ABC沿直線MN翻折后，頂點C恰好落在AB邊上的點D處，MNCD，且CE=DE。CD=2CE。MNAB，CDAB。CMNCAB。在CMN中，C=90，MC=6，NC= ，。故選C。11. （2012貴州黔東南4

10、分）如圖，矩形ABCD邊AD沿拆痕AE折疊，使點D落在BC上的F處，已知AB=6，ABF的面積是24，則FC等于【 】A1 B2 C3 D4【答案】B?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理。【分析】由四邊形ABCD是矩形與AB=6，ABF的面積是24，易求得BF的長，然后由勾股定理，求得AF的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)，即可求得AD，BC的長，從而求得答案：四邊形ABCD是矩形，B=90，AD=BC。AB=6，SABF=ABBF=6BF=24。BF=8。由折疊的性質(zhì)：AD=AF=10，BC=AD=10。FC=BCBF=108=2。故選B。12. （2012貴州遵義3分）如圖，

11、矩形ABCD中，E是AD的中點，將ABE沿BE折疊后得到GBE，延長BG交CD于F點，若CF=1，F(xiàn)D=2，則BC的長為【 】A B C D【答案】B。【考點】翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)和判定，折疊對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥窟^點E作EMBC于M，交BF于N。四邊形ABCD是矩形，A=ABC=90，AD=BC，EMB=90，四邊形ABME是矩形。AE=BM，由折疊的性質(zhì)得：AE=GE，EGN=A=90，EG=BM。ENG=BNM，ENGBNM（AAS）。NG=NM。E是AD的中點，CM=DE，AE=ED=BM=CM。EMCD，BN：NF=BM：CM。BN=NF。

12、NM=CF=。NG=。BG=AB=CD=CF+DF=3，BN=BGNG=3。BF=2BN=5。故選B。13. （2012山東泰安3分）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B與CD的中點重合，若AB=2，BC=3，則FCB與BDG的面積之比為【 】A9：4B3：2C4：3D16：9【答案】D?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)。【分析】設(shè)BF=x，則由BC=3得：CF=3x，由折疊對稱的性質(zhì)得：BF=x。點B為CD的中點，AB=DC=2，BC=1。在RtBCF中，BF2=BC2+CF2，即，解得：，即可得CF=。DBG=DGB=90，DBG+CBF

13、=90，DGB=CBF。RtDBGRtCFB。根據(jù)面積比等于相似比的平方可得： 。故選D。14. （2012山東濰坊3分）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點E，沿AE將ABE向上折疊，使B點落在AD上的F點，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=【 】 A B C . D2【答案】B?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)。【分析】矩形ABCD中，AF由AB折疊而得，ABEF是正方形。又AB=1，AF= AB=EF=1。設(shè)AD=x，則FD=x1。四邊形EFDC與矩形ABCD相似，即。解得，（負值舍去）。經(jīng)檢驗是原方程的解。故選

14、B。15. （2012廣西河池3分）如圖，在矩形ABCD中，ADAB，將矩形ABCD折疊，使點C與點A重合，折痕為MN，連結(jié)CN若CDN的面積與CMN的面積比為14，則 的值為【 】A2B4 CD【答案】D?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，矩形、菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理。【分析】過點N作NGBC于G，由四邊形ABCD是矩形，易得四邊形CDNG是矩形，又由折疊的性質(zhì)，可得四邊形AMCN是菱形，由CDN的面積與CMN的面積比為1：4，根據(jù)等高三角形的面積比等于對應(yīng)底的比，可得DN：CM=1：4，然后設(shè)DN=x，由勾股定理可求得MN的長，從而求得答案： 過點N作NGBC于G，四邊形ABC

15、D是矩形，四邊形CDNG是矩形，ADBC。CD=NG，CG=DN，ANM=CMN。由折疊的性質(zhì)可得：AM=CM，AMN=CMN，ANM=AMN。AM=AN。AM=CM，四邊形AMCN是平行四邊形。AM=CM，四邊形AMCN是菱形。CDN的面積與CMN的面積比為1：4，DN：CM=1：4。設(shè)DN=x，則AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x。BM=x，GM=3x。在RtCGN中，在RtMNG中，。故選D。16. （2012河北省3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，A=70，將平行四邊形折疊，使點D、C分別落在點F、E處（點F、E都在AB所在的直線上），折痕為MN，則AMF等于【

16、 】A70 B40 C30 D20【答案】B。【考點】翻折變換（折疊問題），平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平角的定義?！痉治觥克倪呅蜛BCD是平行四邊形，ABCD。根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：MNAE，F(xiàn)MN=DMN，ABCDMN。A=70，F(xiàn)MN=DMN=A=70。AMF=180DMNFMN=1807070=40。故選B。17. （2012青海西寧3分）折紙是一種傳統(tǒng)的手工藝術(shù)，也是每一個人從小就經(jīng)歷的事，它是一種培養(yǎng)手指靈活性、協(xié)調(diào)能力的游戲，更是培養(yǎng)智力的一種手段在折紙中，蘊涵許多數(shù)學(xué)知識，我們還可以通過折紙驗證數(shù)學(xué)猜想把一張直角三角形紙片按照圖的過程折疊后展開，請選擇所得到的數(shù)學(xué)結(jié)論【 】A

17、角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等B在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半C直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半D如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形【答案】C。【考點】翻折變換（折疊問題）。【分析】如圖，CDE由ADE翻折而成，AD=CD。如圖，DCF由DBF翻折而成，BD=CD。AD=BD=CD，點D是AB的中點。CD=AB，即直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。故選C。二、填空題1. （2012上海市4分）如圖，在RtABC中，C=90，A=30，BC=1，點D在AC上，將ADB沿直線BD翻折后，將點A落在點E處，如果ADE

18、D，那么線段DE的長為 【答案】?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)。【分析】在RtABC中，C=90，A=30，BC=1，。將ADB沿直線BD翻折后，將點A落在點E處，ADB=EDB，DE=AD。ADED，CDE=ADE=90，EDB=ADB=。CDB=EDBCDE=13590=45。C=90，CBD=CDB=45。CD=BC=1。DE=AD=ACCD=。2. （2012浙江麗水、金華4分）如圖，在等腰ABC中，ABAC，BAC50BAC的平分線與AB的中垂線交于點O，點C沿EF折疊后與點O重合，則CE

19、F的度數(shù)是 【答案】50?！究键c】翻折變換(折疊問題)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)。【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分線的性質(zhì)得出OBC40，以及OBCOCB40，再利用翻折變換的性質(zhì)得出EOEC，CEFFEO，進而求出即可：連接BO，ABAC，AO是BAC的平分線，AO是BC的中垂線。BOCO。BAC50，BAC的平分線與AB的中垂線交于點O，OABOAC25。等腰ABC中， ABAC，BAC50，ABCACB65。OBC652540。OBCOCB40。點C沿EF折疊后與點O重合，EOEC，CEFFEO。CEFFEO（18002400）250。3.

20、（2012浙江紹興5分）如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，將ABE沿AE折疊，使點B落在AC上的點B處，又將CEF沿EF折疊，使點C落在EB與AD的交點C處則BC：AB的值為 。【答案】?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。【分析】連接CC，將ABE沿AE折疊，使點B落在AC上的點B處，又將CEF沿EF折疊，使點C落在EB與AD的交點C處,EC=EC，ECC=ECC，DCC=ECC，ECC=DCC.CC是ECD的平分線。CBC=D=90，CC=CC，CBCCDC（AA

21、S）。CB=CD。又AB=AB，B是對角線AC中點，即AC=2AB。ACB=30。tanACB=tan30=。BC：AB=。4. （2012浙江臺州5分）如圖，將正方形ABCD沿BE對折，使點A落在對角線BD上的A處，連接AC，則BAC= 度【答案】67.5。【考點】折疊問題，折疊的對稱性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平角定義。【分析】由折疊的對稱和正方形的性質(zhì)，知ABEABE，BEA=67.50，ADE是等腰直角三角形。 設(shè)AE=AE=AD =x，則ED=。設(shè)CD=y，則BD=。 。 又EDA=ADC=450，EDAADC。

22、DAC=DEA=67.50450=112.50。 BAC=1800112.50=67.50。5. （2012江蘇宿遷3分）如圖，將一張矩形紙片ABCD沿EF折疊，使頂點C，D分別落在點C，D處，CE交AF于點G.若CEF=70，則GFD= .【答案】40?！究键c】折疊問題矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)。【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得DFE=DFE。ABCD是矩形，ADBC。GFE=CEF=70，DFE=1800CEF=110。GFD=DFEGFE=11070=40。6. （2012江蘇鹽城3分）如圖,在ABC中，D,、E分別是邊AB、AC的中點, B=50.現(xiàn)將ADE沿DE折疊，點A落在三角形所在平面內(nèi)的

23、點為A1,則BDA1的度數(shù)為 .【答案】80?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質(zhì)，三角形中位線定理，平行的性質(zhì)?！痉治觥緿、E分別是邊AB、AC的中點，DEBC（三角形中位線定理）。ADE=B=50（兩直線平行，同位角相等）。又ADE=A1DE（折疊對稱的性質(zhì)），A1DA=2B。BDA1=1802B=80。7. （2012江蘇揚州3分）如圖，將矩形ABCD沿CE折疊，點B恰好落在邊AD的F處，如果，那么tanDCF的值是【答案】。【考點】翻折變換(折疊問題)，翻折對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義。【分析】四邊形ABCD是矩形，ABCD，D90，將矩形ABCD沿CE折

24、疊，點B恰好落在邊AD的F處，CFBC，。設(shè)CD2x，CF3x，。tanDCF。8. （2012湖北荊州3分）如圖，已知正方形ABCD的對角線長為2，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長為 【答案】8。【考點】翻折變換（折疊問題），折疊的對稱性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理。【分析】如圖，正方形ABCD的對角線長為2，即BD=2，A=90，AB=AD，ABD=45，AB=BDcosABD=BDcos45=2。AB=BC=CD=AD=2。由折疊的性質(zhì)：AM=AM，DN=DN，AD=AD，圖中陰影部分的周長為AM+BM+BC+CN+DN+AD=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+

25、BC+CD+AD=2+2+2+2=8。9. （2012湖南岳陽3分）如圖，在RtABC中，B=90，沿AD折疊，使點B落在斜邊AC上，若AB=3，BC=4，則BD= 【答案】。【考點】翻折變換（折疊問題）。1052629【分析】如圖，點E是沿AD折疊，點B的對應(yīng)點，連接ED，AED=B=90，AE=AB=3，在RtABC中，B=90，AB=3，BC=4，。EC=ACAE=53=2。設(shè)BD=ED=x，則CD=BCBD=4x，在RtCDE中，CD2=EC2+ED2，即：（4x）2=x2+4，解得：x=。BD=。10. （2012四川達州3分）將矩形紙片ABCD，按如圖所示的方式折疊，點A、點C恰好

26、落在對角線BD上，得到菱形BEDF.若BC=6，則AB的長為 .【答案】?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，菱形和矩形的性質(zhì)，勾股定理。【分析】設(shè)BD與EF交于點O。四邊形BEDF是菱形，OB=OD=BD。四邊形ABCD是矩形，C=90。 設(shè)CD=x，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：OB=OD= CD=x，即BD=2x，在RtBCD中，BC2+CD2=BD2，即62+x2=（2x）2，解得：x=。AB=CD=。11. （2012貴州黔西南3分）把一張矩形紙片（矩形ABCD）按如圖方式折疊，使頂點B和點D重合，折痕為EF，若AB3cm，BC5cm，則重疊部分DEF的面積為 cm 2。【答案】?！究键c】

27、折疊問題，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥吭O(shè)ED=x，則根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)，得AE=AE=5x，AD=AB=3。 根據(jù)勾股定理，得，即，解得。 （cm 2）。12. （2012河南省5分）如圖，在RtABC中，C=900，B=300，BC=3，點D是BC邊上一動點（不與點B、C重合），過點D作DEBC交AB邊于點E，將B沿直線DE翻折，點B落在射線BC上的點F處，當AEF為直角三角形時，BD的長為 【答案】1或2。13. （2012內(nèi)蒙古包頭3分）如圖，將ABC 紙片的一角沿DE向下翻折，使點A 落在BC 邊上的A 點處，且DEBC ，下列結(jié)論： AEDC； ； BC= 2DE ；

28、 。其中正確結(jié)論的個數(shù)是 個?！敬鸢浮?。【考點】折疊問題，折疊對稱的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角的關(guān)系，三角形中位線定理，全等、相似三角形的判定和性質(zhì)。【分析】DEBC，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，得AEDC。正確。 根據(jù)折疊對稱的性質(zhì)，A D=AD，A E=AE。 DEBC，根據(jù)兩直線分線段成比例定理，得。正確。 連接A A ，根據(jù)折疊對稱的性質(zhì)，A ，A 關(guān)于DE對稱。A A DE。DEBC，A A BC。A D=AD，DA A D A A。DB A D A B。BD= A D。BD=AD。DE是ABC的中位線。BC= 2DE。正確。DEBC，ABCADE

29、。 由BC= 2DE，。根據(jù)折疊對稱的性質(zhì)，ADEADE。，即。正確。綜上所述，正確結(jié)論的個數(shù)是4個。14. （2012黑龍江綏化3分）長為20，寬為a的矩形紙片（10a20），如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則操作停止當n=3時，a的值為 .【答案】12或15?！究键c】翻折變換（折疊問題），正方形和矩形的性質(zhì)，剪紙問題，分類歸納（圖形的變化類）?！痉治觥扛鶕?jù)操作步驟，可知每一次操作時所得正方形的邊長都等于原矩形的寬所

30、以首先需要判斷矩形相鄰的兩邊中，哪一條邊是矩形的寬。當10a20時，矩形的長為20，寬為a，所以，第一次操作時，所得正方形的邊長為a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為20a，a。第二次操作時，由20aa可知所得正方形的邊長為20a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為20a，a（20a）=2a20。（20a）（2a20）=403a，20a與2a20的大小關(guān)系不能確定，需要分情況進行討論。第三次操作時，當20a2a20時，所得正方形的邊長為2a20，此時，20a（2a20）=403a，此時剩下的矩形為正方形，由403a=2a20得a=12。當2a2020a時，所得正方形的邊長為20a，此時，2a20（20a）=

31、3a40，此時剩下的矩形為正方形，由3a40=20a得a=15。故答案為12或15。15. （2012黑龍江黑河、齊齊哈爾、大興安嶺、雞西3分）如圖所示，沿DE折疊長方形ABCD的一邊，使點C落在AB邊上的點F處，若AD=8，且AFD的面積為60，則DEC的 面積為 【答案】。【考點】翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，折疊對稱的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥克倪呅蜛BCD是矩形，A=B=90，BC=AD=8，CD=AB。AFD的面積為60，即ADAF=60，解得：AF=15。由折疊的性質(zhì)，得：CD=CF=17。AB=17。BF=ABAF=1715=2。設(shè)CE=x，則EF=CE=x，BE=BCCE=8

32、x，在RtBEF中，EF2=BF2BE2，即x2=22（8x）2，解得：x=，即CE=，DEC的面積為： CDCE=17。三、解答題1. （2012天津市10分）已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A（11，0），點B（0，6），點P為BC邊上的動點（點P不與點B、C重合），經(jīng)過點O、P折疊該紙片，得點B和折痕OP設(shè)BP=t（）如圖，當BOP=300時，求點P的坐標；（）如圖，經(jīng)過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB上，得點C和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；（）在（）的條件下，當點C恰好落在邊OA上時，求點P的坐標（直接寫出結(jié)果即可）【答案】解：（）根據(jù)

33、題意，OBP=90，OB=6。在RtOBP中，由BOP=30，BP=t，得OP=2t。OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=，t2=（舍去）點P的坐標為（ ，6）。（）OBP、QCP分別是由OBP、QCP折疊得到的，OBPOBP，QCPQCP。OPB=OPB，QPC=QPC。OPB+OPB+QPC+QPC=180，OPB+QPC=90。BOP+OPB=90，BOP=CPQ。又OBP=C=90，OBPPCQ。由題意設(shè)BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，則PC=11t，CQ=6m。（0t11）。（）點P的坐標為（，6）或（，6）。【考點】翻折變換（折疊問題），坐標與圖

34、形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚ǎ└鶕?jù)題意得，OBP=90，OB=6，在RtOBP中，由BOP=30，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。 （）由OBP、QCP分別是由OBP、QCP折疊得到的，可知OBPOBP，QCPQCP，易證得OBPPCQ，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案。（）首先過點P作PEOA于E，易證得PCECQA，由勾股定理可求得CQ的長，然后利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例與，即可求得t的值： 過點P作PEOA于E，PEA=QAC=90。PCE+EPC=90。PCE+QCA=90，EPC

35、=QCA。PCECQA。PC=PC=11t，PE=OB=6，AQ=m，CQ=CQ=6m，。，即，即。將代入，并化簡，得。解得：。點P的坐標為（，6）或（，6）。2. （2012海南省11分）如圖（1），在矩形ABCD中，把B、D分別翻折，使點B、D分別落在對角線BC上的點E、F處，折痕分別為CM、AN.（1）求證：ANDCBM.（2）請連接MF、NE，證明四邊形MFNE是平行四邊形，四邊形MFNE是菱形嗎？請說明理由？（3）P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點，連結(jié)PQ、CQ、MN，如圖（2）所示，若PQ=CQ，PQMN。且AB=4，BC=3，求PC的長度.【答案】（1）證明：四邊形ABCD是矩

36、形，D=B，AD=BC，ADBC。 DAC=BCA。 又由翻折的性質(zhì)，得DAN=NAF，ECM=BCM，DAN=BCM。 ANDCBM（ASA）。（2）證明：ANDCBM，DN=BM。 又由翻折的性質(zhì)，得DN=FN，BM=EM， FN=EM。 又NFA=ACDCNF=BACEMA=MEC， FNEM。四邊形MFNE是平行四邊形。四邊形MFNE不是菱形，理由如下：由翻折的性質(zhì)，得CEM=B=900，在EMF中，F(xiàn)EMEFM。FMEM。四邊形MFNE不是菱形。（3）解：AB=4，BC=3，AC=5。 設(shè)DN=x，則由SADC=SANDSNAC得3 x5 x=12，解得x=，即DN=BM=。過點N作

37、NHAB于H，則HM=43=1。在NHM中，NH=3，HM=1，由勾股定理，得NM=。PQMN，DCAB，四邊形NMQP是平行四邊形。NP=MQ，PQ= NM=。又PQ=CQ，CQ=。在CBQ中，CQ=，CB=3，由勾股定理，得BQ=1。NP=MQ=。PC=4=2?！究键c】翻折問題，翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理?！痉治觥浚?）由矩形和翻折對稱的性質(zhì)，用ASA即可得到ANDCBM。 （2）根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定即可證明。 （3）設(shè)DN=x，則由SADC=SANDSNAC可得DN=BM=。過點N作

38、NHAB于H，則由勾股定理可得NM=，從而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知PQ=CQ，即可求得CQ=。因此，在CBQ中，應(yīng)用勾股定理求得BQ=1。從而求解。3. （2012廣東省9分）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8把BCD沿對角線BD折疊，使點C落在C處，BC交AD于點G；E、F分別是CD和BD上的點，線段EF交AD于點H，把FDE沿EF折疊，使點D落在D處，點D恰好與點A重合（1）求證：ABGCDG；（2）求tanABG的值；（3）求EF的長【答案】（1）證明：BDC由BDC翻折而成， C=BAG=90，CD=AB=CD，AGB=DGC，ABG=ADE。在ABGCDG中，BAG=C

39、，AB= CD，ABG=AD C，ABGCDG（ASA）。（2）解：由（1）可知ABGCDG，GD=GB，AG+GB=AD。設(shè)AG=x，則GB=8x，在RtABG中，AB2+AG2=BG2，即62+x2=（8x）2，解得x=。（3）解：AEF是DEF翻折而成，EF垂直平分AD。HD=AD=4。tanABG=tanADE=。EH=HD=4。EF垂直平分AD，ABAD，HF是ABD的中位線。HF=AB=6=3。EF=EH+HF=?！究键c】翻折變換（折疊問題），翻折變換的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，三角形中位線定理。【分析】（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可知C=B

40、AG=90，CD=AB=CD，AGB=DGC，故可得出結(jié)論。（2）由（1）可知GD=GB，故AG+GB=AD，設(shè)AG=x，則GB=8-x，在RtABG中利用勾股定理即可求出AG的長，從而得出tanABG的值。（3）由AEF是DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD=AD=4，再根據(jù)tanABG的值即可得出EH的長，同理可得HF是ABD的中位線，故可得出HF的長，由EF=EH+HF即可得出結(jié)果。4. （2012廣東深圳8分）如圖，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點C與點A重合，折痕交AD于點E、交BC于點F，連接AF、CE.(1)求證：四邊形AFCE為菱形；(2)設(shè)AE=a，ED=b，DC=c

41、.請寫出一個a、b、c三者之間的數(shù)量關(guān)系式【答案】（1）證明：四邊形ABCD是矩形，ADBC，AEF=EFC。由折疊的性質(zhì)，可得：AEF=CEF，AE=CE，AF=CF，EFC=CEF。CF=CE。AF=CF=CE=AE。四邊形AFCE為菱形。（2）解：a、b、c三者之間的數(shù)量關(guān)系式為：a2=b2+c2。理由如下：由折疊的性質(zhì)，得：CE=AE。四邊形ABCD是矩形，D=90。AE=a，ED=b，DC=c，CE=AE=a。在RtDCE中，CE2=CD2+DE2，a、b、c三者之間的數(shù)量關(guān)系式可寫為：a2=b2+c2?！究键c】翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平等的性質(zhì)，菱形的判定，勾

42、股定理?！痉治觥浚?）由矩形ABCD與折疊的性質(zhì)，易證得CEF是等腰三角形，即CE=CF，即可證得AF=CF=CE=AE，即可得四邊形AFCE為菱形。（2）由折疊的性質(zhì)，可得CE=AE=a，在RtDCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之間的數(shù)量關(guān)系式為：a2=b2+c2。（答案不唯一）5. （2012廣東珠海9分） 已知，AB是O的直徑，點P在弧AB上（不含點A、B），把AOP沿OP對折，點A的對應(yīng)點C恰好落在O上（1）當P、C都在AB上方時（如圖1），判斷PO與BC的位置關(guān)系（只回答結(jié)果）；（2）當P在AB上方而C在AB下方時（如圖2），（1）中結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論；（3）當P

43、、C都在AB上方時（如圖3），過C點作CD直線AP于D，且CD是O的切線，證明：AB=4PD【答案】解：（1）PO與BC的位置關(guān)系是POBC。（2）（1）中的結(jié)論POBC成立。理由為：由折疊可知：APOCPO，APO=CPO。又OA=OP，A=APO。A=CPO。又A與PCB都為所對的圓周角，A=PCB。CPO=PCB。POBC。（3）證明：CD為圓O的切線，OCCD。又ADCD，OCAD。APO=COP。由折疊可得：AOP=COP，APO=AOP。又OA=OP，A=APO。A=APO=AOP。APO為等邊三角形。AOP=60。又OPBC，OBC=AOP=60。又OC=OB，BC為等邊三角形。

44、COB=60。POC=180（AOP+COB）=60。又OP=OC，POC也為等邊三角形。PCO=60，PC=OP=OC。又OCD=90，PCD=30。在RtPCD中，PD=PC，又PC=OP=AB，PD=AB，即AB=4PD?！究键c】折疊的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，平行的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)。6. （2012福建龍巖12分）如圖1，過ABC的頂點A作高AD，將點A折疊到點D（如圖2），這時EF為折痕，且BED和CFD都是等腰三角形，再將BED和CFD沿它們各自的對稱軸EH、FG折疊，使B

45、、C兩點都與點D重合，得到一個矩形EFGH（如圖3），我們稱矩形EFGH為ABC的邊BC上的折合矩形 （1）若ABC的面積為6，則折合矩形EFGH的面積為 ；（2）如圖4，已知ABC，在圖4中畫出ABC的邊BC上的折合矩形EFGH；（3）如果ABC的邊BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，BC邊上的高AD= ，正方形EFGH的對角線長為 【答案】解：（1）3。 （2）作出的折合矩形EFGH： （3）2a ； 。 【考點】新定義，折疊問題，矩形和正方形的性質(zhì)，勾股定理。 【分析】（1）由折疊對稱的性質(zhì)，知折合矩形EFGH的面積為ABC的面積的一半， （2）按題意，作出圖形即可。

46、（3）由如果ABC的邊BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，正方形邊長為a，BC邊上的高AD為EFGH邊長的兩倍2a。 根據(jù)勾股定理可得正方形EFGH的對角線長為。 7. （2012福建龍巖13分）矩形ABCD中，AD=5，AB=3，將矩形ABCD沿某直線折疊，使點A的對應(yīng)點A落在線段BC上，再打開得到折痕EF （1）當A與B重合時（如圖1），EF= ；當折痕EF過點D時（如圖2），求線段EF的長； （2）觀察圖3和圖4，設(shè)BA=x，當x的取值范圍是 時，四邊形AEAF是菱形；在的條件下，利用圖4證明四邊形AEAF是菱形【答案】解：(1)5。 由折疊（軸對稱）性質(zhì)知AD=AD=

47、5，A=EAD=900。 在RtADC中，DC=AB=2， 。AB=BCAC=54=1。 EABBEA=EABFAC=900， BEA=FAC。 又 B=C=900，RtEBARtACF。，即 。在RtAEF中，。 （2）。 證明：由折疊（軸對稱）性質(zhì)知AEF=FEA，AE=AE，AF=AF。 又 ADBC，AFE=FEA 。AEF=AFE 。 AE=AF。AE=AE=AF=AF。 四邊形AEAF是菱形?！究键c】折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的判定?！痉治觥?1)根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)，當A與B重合時（如圖1），EF= AD=5。 根

48、據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)，以及勾股定理求出AB、AF和FC的長，由RtEBARtACF求得，在RtAEF中，由勾股定理求得EF的長。 （2）由圖3和圖4可得，當時，四邊形AEAF是菱形。 由折疊和矩形的性質(zhì)，可得AE=AE，AF=AF。由平行和等腰三角形的性質(zhì)可得AE=AF。從而AE=AE=AF=AF。根據(jù)菱形的判定得四邊形AEAF是菱形。8. （2012湖北恩施8分）如圖，用紙折出黃金分割點：裁一張正方的紙片ABCD，先折出BC的中點E，再折出線段AE，然后通過折疊使EB落到線段EA上，折出點B的新位置B，因而EB=EB類似地，在AB上折出點B使AB=AB這是B就是AB的黃金分割點請你證明這個結(jié)論【答案】證明：設(shè)正方形ABCD的邊長為2，E為BC的中點，BE=1。又BE=BE=1，AB=AEBE=1。又AB=AB，AB=1。點B是線段AB的黃金分割點。【考點】翻折（折疊）問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，折疊對稱的性質(zhì)，黃