數(shù)字信號處理

1、第2章時(shí)域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析,2.1引言 2.2時(shí)域離散信號的傅里葉變換的定義及性質(zhì) 2.3周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式 2.4時(shí)域離散信號的傅里葉變換與模擬信號 傅里葉變換之間的關(guān)系 2.5序列的Z變換 2.6利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻響特性 習(xí)題與上機(jī)題,2.1引言 我們知道，信號和系統(tǒng)的分析方法有兩種，即時(shí)域分析方法和頻域分析方法。在模擬領(lǐng)域中，信號一般用連續(xù)變量時(shí)間的函數(shù)表示，系統(tǒng)則用微分方程描述。在頻率域，則用信號的傅里葉變換(Fourier Transform)或拉普拉斯變換表示。而在時(shí)域離散信號和系統(tǒng)中，信號用時(shí)域離散信號（序列）表示，系統(tǒng)則用差分方程描述。

2、在頻率域，則用信號的傅里葉變換或Z變換表示。 本章學(xué)習(xí)序列的傅里葉變換和Z變換，以及利用Z變換分析系統(tǒng)和信號頻域特性。該章內(nèi)容是本書也是數(shù)字信號處理的理論基礎(chǔ)。,p(t),t,T,理想抽樣,DTFT,r=1,P34 式（2.2.5）,P46 圖（2.4.1）,P24 圖（1.5.3）c),數(shù)字頻率,歸一化頻率,Fs=1000Hz, 則100Hz對應(yīng)0.2,Fs=2000Hz, 則100Hz對應(yīng)0.1,FT為Fourier Transform的縮寫。FTx(n)存在的充分必要條件是序列x(n)滿足絕對可和的條件，即滿足下式：,（2.2.2）,X(ej)的傅里葉反變換為,（2.2.3）,離散時(shí)間傅

3、里葉變換,正變換為,DTFT,離散頻率傅里葉變換,DFFT?,圖2.2.1R4(n)的幅度與相位曲線,圖2.2.2cosm 的波形,e-even o-odd r-real i-image,將上式兩邊n用n代替，并取共軛，得到： 對比上面兩公式，因左邊相等，因此得到：,（2.2.10）,（2.2.11）,上面兩式表明共軛對稱序列其實(shí)部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù)。類似地，可定義滿足下式的共軛反對稱序列：,（2.2.12）,將xo(n)表示成實(shí)部與虛部，如下式：,即共軛反對稱序列的實(shí)部是奇函數(shù)，而虛部是偶函數(shù)。,5 時(shí)域卷積定理 設(shè) y(n)=x(n)*h(n) 則 Y(ej)=X(ej)H(ej)

4、（2.2.31） 證明,令k=nm，則,7 帕斯維爾（Parseval）定理,（2.2.35）,證明,表2.2.1序列傅里葉變換的性質(zhì)定理,t,DFTT,例2 設(shè)計(jì)一如圖數(shù)字低通 濾波器求單位沖擊響應(yīng),設(shè)fs=2000Hz,則截止頻率fc=?,傅氏變換 一.連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率的傅氏變換-傅氏變換,離散時(shí)間傅里葉變換DTFT,1.正變換:,2.反變換:,離散頻率傅里葉變換DFFT,-,-,時(shí)域離散化,頻域離散化,一個周期內(nèi)抽樣N個點(diǎn),擴(kuò)展到整個頻域,P75 式3.1.1-2,P40 式2.3.1,P41 式2.3.3,DTFT,DFS,DFT,共軛/周期特性,FFT,分析系統(tǒng),周期,離散,理解方

5、式1,理解方式2,采樣間隔,T0,s,T0信號的周期,0信號的角頻率,Ts采樣間隔,時(shí)域,s頻譜的周期,0采樣間隔,頻域,頻率分辨率,0,1,.,N-1含義,數(shù)字頻率：,采樣頻率：,采樣角頻率：,信號角頻率：,2.3周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式 因?yàn)橹芷谛蛄胁粷M足（2.2.2）式絕對可和的條件，因此它的FT并不存在，但由于是周期性的，可以展成離散傅里葉級數(shù)，引入奇異函數(shù)()，其FT可以用公式表示出來。,2.3.1周期序列的離散傅里葉級數(shù) 設(shè)是以N為周期的周期序列，可以展成離散傅里葉級數(shù)。如下: (2.3.1) 為求系數(shù)ak，將上式兩邊乘以，并對n在一個周期N中求和，即,式中,(2

6、.3.2),(2.3.2)式的證明作為練習(xí)請讀者自己證明。因此 (2.3.3)式中，k和n均取整數(shù)。因?yàn)椋?l取整數(shù),即是周期為N的周期函數(shù)，所以，系數(shù)ak也是周期序列，滿足ak=ak+lN。,令 , 并將(2.3.3)式代入， 得到: (2.3.4) 式中， 也是以N為周期的周期序列, 稱為 的離散傅里葉級數(shù)系數(shù)，用DFS(Discrete Fourier Series) 表示。,用,(2.3.5),將（2.3.4）式和（2.3.5）式重寫如下：,(2.3.6),(2.3.7),代替(2.3.1)式中的ak,得到,（2.3.6）式和（2.3.7）式稱為一對DFS。（2.3.5）式表明將周期序

7、列分解成N次諧波，第k個諧波頻率為k=(2/N)k, k=0, 1, 2, , N1, 幅度為。 基波分量的頻率是2/N，幅度是。一個周期序列可以用其DFS系數(shù)表示它的頻譜分布規(guī)律?！纠?.3.1】設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期進(jìn)行周期延拓，得到如圖2.3.1(a)所示的周期序列，周期為8，求DFS。 解按照（2.3.6）式, 有,其幅度特性如圖2.3.1(b)所示。,圖2.3.1例2.3.1圖,2.3.2周期序列的傅里葉變換表示式 在模擬系統(tǒng)中，其傅里葉變換是在=0處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度是2，即,r取整數(shù) 因此 的FT為 (2.3.9) (2.3.9)式表示復(fù)指數(shù)序列的FT

8、是在0+2r處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度為2，如圖2.3.2所示。但這種假定如果成立，則要求按照（2.2.4）式的逆變換必須存在，且唯一等于 ，下面進(jìn)行驗(yàn)證。按照逆變換定義，（2.2.4）式右邊,觀察圖2.3.2，在區(qū)間，只包括一個單位沖激函數(shù)(0)，等式右邊為，因此得到下式： 證明了（2.3.9）式確實(shí)是的FT，前面的暫時(shí)假定是正確的。,圖2.3.2的FT,對于一般周期序列，按（2.3.6）式展成DFS，第k次諧波為，類似于復(fù)指數(shù)序列的FT，其FT為 因此的FT如下式： ,式中，k=0, 1, 2, , N1。如果讓k在區(qū)間變化，上式可簡化成 （2.3.10） 式中 (2.3.10)式就是周期性序

9、列的傅里葉變換表示式。需要說明的是，上面公式中的()表示單位沖激函數(shù)，而(n)表示單位脈沖序列，由于括弧中的自變量不同, 因而不會引起混淆。 表2.3.2中綜合了一些基本序列的FT。,表2.3.2基本序列的傅里葉變換,表中u(n)序列的傅里葉變換推導(dǎo)如下： 令 (2.3.11) (2.3.12) 對(2.3.12)式進(jìn)行FT，得到: ,對(2.3.11)式進(jìn)行FT，得到： 【例2.3.2】求例2.3.1中周期序列的FT。 解將例2.3.1中得到的代入（2.3.10）式中，得到： 其幅頻特性如圖2.3.3所示。,圖2.3.3例2.3.2圖,對比圖2.3.1，對于同一個周期信號，其DFS和FT分別

10、取模的形狀是一樣的，不同的是FT用單位沖激函數(shù)表示（用帶箭頭的豎線表示）。因此周期序列的頻譜分布用其DFS或者FT表示都可以，但畫圖時(shí)應(yīng)注意單位沖激函數(shù)的畫法。 【例2.3.3】令為有理數(shù)，求其FT。 解將用歐拉公式展開： 按照（2.3.9）式，其FT推導(dǎo)如下：,圖2.3.4cos0n的FT,2.4時(shí)域離散信號的傅里葉變換與模擬信號傅里葉變換之間的關(guān)系 時(shí)域離散信號與模擬信號是兩種不同的信號，傅里葉變換也不同，如果時(shí)域離散信號是由某模擬信號采樣得來，那么時(shí)域離散信號的傅里葉變換和該模擬信號的傅里葉變換之間有一定的關(guān)系。下面推導(dǎo)這一關(guān)系式。 公式x(n)=xa(t)|t=nT=xa(nT)表示了

11、由采樣得到的時(shí)域離散信號和模擬信號的關(guān)系，而理想采樣信號和模擬信號的關(guān)系用（1.5.2）式表示，重寫如下:,對上式進(jìn)行傅里葉變換, 得到:,令=T，且x(n)=xa(nT)，得到： （2.4.1） 或者寫成： （2.4.2） 式中 (2.4.2)式也可以表示成 （2.4.3）,圖2.4.1模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標(biāo)關(guān)系,DTFT,FT,拉氏變換,能否 離散化?,拉氏變換,序列的Z變換,Z的模只與S的實(shí)部相對應(yīng), Z的相角只與S虛部相對。,=0,即S平面的虛軸 r=1,即Z平面單位圓,0,即S的左半平面 r1,即Z的單位圓內(nèi),0, 即S的右半平面 r1,即Z的單位圓外,j,0,0,DTFT,=

12、 0，S平面的實(shí)軸， = 0，Z平面正實(shí)軸；=0(常數(shù))，S:平行實(shí)軸的直線， = 0T,Z:始于 原點(diǎn)的射線； S:寬 的水平條帶， 單位圓內(nèi).,0,jImZ,ReZ,(2).與的關(guān)系（=T）,2.5序列的Z變換 在模擬信號系統(tǒng)中，用傅里葉變換進(jìn)行頻域分析，拉普拉斯變換可作為傅里葉變換的推廣，對信號進(jìn)行復(fù)頻域分析。在時(shí)域離散信號和系統(tǒng)中，用序列的傅里葉變換進(jìn)行頻域分析，Z變換則是其推廣，用以對序列進(jìn)行復(fù)頻域分析。因此Z變換在數(shù)字信號處理中同樣起著很重要的作用。,這種單邊Z變換的求和限是從零到無限大，因此對于因果序列，用兩種Z變換定義計(jì)算的結(jié)果是一樣的。本書中如不另外說明，均用雙邊Z變換對信號

13、進(jìn)行分析和變換。 （2.5.1）式Z變換存在的條件是等號右邊級數(shù)收斂，要求級數(shù)絕對可和，即 （2.5.3） 使（2.5.3）式成立，Z變量取值的域稱為收斂域。一般收斂域?yàn)榄h(huán)狀域，即,令z=rej，代入上式得到RxrRx，收斂域是分別以Rx和Rx為收斂半徑的兩個圓形成的環(huán)狀域(如圖 2.5.1 中所示的斜線部分)。 當(dāng)然，Rx可以小到零，Rx可以大到無窮大。收斂域的示意圖如圖2.5.1所示。,圖2.5.1變換的收斂域,z=rej,常用的Z變換是一個有理函數(shù)，用兩個多項(xiàng)式之比表示： 分子多項(xiàng)式P(z)的根是X(z)的零點(diǎn)，分母多項(xiàng)式Q(z)的根是X(z)的極點(diǎn)。在極點(diǎn)處Z變換不存在，因此收斂域中沒

14、有極點(diǎn)，收斂域總是用極點(diǎn)限定其邊界。 對比序列的傅里葉變換定義（2.2.1）式，很容易得到傅里葉變換和Z變換（ZT）之間的關(guān)系，用下式表示：,X(z)存在的條件是|z1|1, 因此 X(z)表達(dá)式表明，極點(diǎn)是z=1，單位圓上的Z變換不存在，或者說收斂域不包含單位圓，因此其傅里葉變換不存在，更不能用（2.5.4）式求傅里葉變換。該序列的傅里葉變換不存在，但如果引進(jìn)奇異函數(shù)()，其傅里葉變換則可以表示出來（見表2.3.2）。該例同時(shí)說明一個序列的傅里葉變換不存在，但在一定收斂域內(nèi)Z變換是可以存在的。, 設(shè)x(n)為有界序列，由于是有限項(xiàng)求和，除0與兩點(diǎn)是否收斂與n1、n2取值情況有關(guān)外，整個z平面

15、均收斂。如果n10，則收斂域不包括z=0點(diǎn)；如果是因果序列，收斂域包括z=點(diǎn)。具體有限長序列的收斂域表示如下： n10時(shí)，00時(shí)，0|z|,【例2.5.2】求x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域。 解 這是一個因果的有限長序列，因此收斂域?yàn)?z。但由結(jié)果的分母可以看出，似乎z=1是X(z)的極點(diǎn)，但同時(shí)分子多項(xiàng)式在z=1時(shí)也有一個零點(diǎn)，極、零點(diǎn)對消，X(z)在單位圓上仍存在，求RN(n)的傅里葉變換，可將z=ej代入X(z)得到，其結(jié)果和例題2.2.1中的結(jié)果（2.2.5）式是相同的。,2 右序列 右序列是指在nn1時(shí)，序列值不全為零，而在nn1時(shí)，序列值全為零的序列。 右序列的Z變換表示為

16、 第一項(xiàng)為有限長序列，設(shè)n11，其收斂域?yàn)?|z|。第二項(xiàng)為因果序列，其收斂域?yàn)镽x|z|，Rx是第二項(xiàng)最小的收斂半徑。將兩收斂域相與，其收斂域?yàn)镽x|z|。如果是因果序列，收斂域?yàn)镽x|z|。,FT,拉氏變換,Z變換,DTFT,【例2.5.3】求x(n)=anu(n)的Z變換及其收斂域。解 在收斂域中必須滿足|az1|a|。,3 左序列 左序列是指在nn2時(shí)，序列值不全為零，而在nn2時(shí)，序列值全為零的序列。左序列的Z變換表示為 如果n20, z=0點(diǎn)收斂，z=點(diǎn)不收斂，其收斂域是在某一圓（半徑為Rx+）的圓內(nèi)，收斂域?yàn)?|z|Rx+。如果n20，則收斂域?yàn)?|z|Rx+。,【例2.5.4】

17、求x(n)=anu(n1)的Z變換及其收斂域。 解這里x(n)是一個左序列，當(dāng)n0時(shí)，x(n)=0， X(z)存在要求|z n a1|1，即收斂域?yàn)閨z|a|, 因此 ,4 雙邊序列 一個雙邊序列可以看做是一個左序列和一個右序列之和，其Z變換表示為 X(z)的收斂域是X1(z)和X2(z)收斂域的交集。如果Rx+Rx，則其收斂域?yàn)镽x|z|Rx+，是一個環(huán)狀域；如果Rx+Rx，兩個收斂域沒有交集，X(z)則沒有收斂域，因此X(z)不存在。,【例2.5.5】x(n)=a|n|, a為實(shí)數(shù)，求x(n)的Z變換及其收斂域。 解 第一部分收斂域?yàn)閨az|a|。如果|a|1, 兩部分的公共收斂域?yàn)閨a|

18、z|a|1, 其Z變換如下式: 如果|a|1，則無公共收斂域，因此X(z)不存在。當(dāng)0a1時(shí)，x(n)的波形及X(z)的收斂域如圖2.5.2所示。,圖2.5.2例2.5.5圖,2.5.3逆Z變換 已知序列的Z變換X(z)及其收斂域，求原序列x(n)的過程稱為求逆Z變換。計(jì)算逆Z變換的方法有留數(shù)法、部分分式展開法和冪級數(shù)法（長除法）。下面僅介紹留數(shù)法和部分分式展開法，重點(diǎn)放在留數(shù)法。,Z變換,逆Z變換,式中, c是X(z)收斂域中一條包圍原點(diǎn)的逆時(shí)針的閉合曲線，如圖2.5.3所示。求逆Z變換時(shí)，直接計(jì)算圍線積分是比較麻煩的，用留數(shù)定理求則很容易。為了表示簡單，用F(z)表示被積函數(shù)：,F(z)=

19、X(z)zn1,圖2.5.3圍線積分路徑,圍線c內(nèi)的極點(diǎn)用zk表示,則根據(jù)留數(shù)定理有,F(z)表示被積函數(shù),F(z)=X(z)zn1,【例2.5.6】已知X(z)=(1az1)1，|z|a, 求其逆Z變換x(n)。 解 為了用留數(shù)定理求解，先找出F(z)的極點(diǎn)。顯然，F(xiàn)(z)的極點(diǎn)與n的取值有關(guān)。,極點(diǎn)有兩個：z=a；當(dāng)n0時(shí)，其中z=0的極點(diǎn)和n的取值有關(guān)。n0時(shí)，z=0不是極點(diǎn)；n0時(shí)，z=0是一個n階極點(diǎn)。因此，分成n0和n0兩種情況求x(n)。 n0時(shí)，F(xiàn)(z)在c內(nèi)只有1個極點(diǎn)：z1=a； n0時(shí)，F(xiàn)(z)在c內(nèi)有2個極點(diǎn)：z1=a, a2=0（n階）；所以，應(yīng)當(dāng)分段計(jì)算x(n)。

20、n0 時(shí)，,圖2.5.4例2.5.6中n0時(shí)F(z)的極點(diǎn)分布,【例2.5.7】已知, 求其逆變換x(n)。 解該例題沒有給定收斂域，為求出唯一的原序列x(n)，必須先確定收斂域。分析X(z)， 得到其極點(diǎn)分布如圖2.5.5所示。圖中有兩個極點(diǎn)：z=a和z=a1，這樣收斂域有三種選法，它們是 （1） |z|a1|，對應(yīng)的x(n)是因果序列； （2） |z|a|，對應(yīng)的x(n)是左序列； （3） |a|z|a1|，對應(yīng)的x(n)是雙邊序列。,x(n)=a|n|,圖2.5.5例2.5.7中X(z)的極點(diǎn),下面分別按照不同的收斂域求其x(n)。 （1） 收斂域?yàn)閨z|a1|: 這種情況的原序列是因果

21、的右序列，無須求n0時(shí)的x(n)。當(dāng)n0時(shí)，F(xiàn)(z)在c內(nèi)有兩個極點(diǎn)：z=a和z=a1，因此,最后表示成：x(n)=(anan)u(n)。,（2） 收斂域?yàn)閨z|a|: 這種情況原序列是左序列，無須計(jì)算n0情況。實(shí)際上，當(dāng)n0時(shí)，圍線積分c內(nèi)沒有極點(diǎn)，因此x(n)=0。n0時(shí)，c內(nèi)只有一個極點(diǎn)z=0，且是n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)之和。 n0時(shí),最后將x(n)表示成封閉式： x(n)=(anan)u(n1) （3） 收斂域?yàn)閨a|z|a1|: 這種情況對應(yīng)的x(n)是雙邊序列。根據(jù)被積函數(shù)F(z)，按n0和n0兩種情況分別求x(n)。 n0時(shí)，c內(nèi)只有1個極點(diǎn)：z=a, x(n)=ResF(z

22、), a=an,n0時(shí)，c內(nèi)極點(diǎn)有2個，其中z=0是n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外極點(diǎn)只有z=a1， 因此 x(n)=ResF(z), a1=an 最后將x(n)表示為 即 x(n)=a|n|,2.部分分式法 有理式：數(shù)字和字符經(jīng)有限次加、減、乘、除運(yùn)算所得的式子。 有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或兩個多項(xiàng)式的商。分子的次數(shù)低于分母時(shí)稱為真分式。 部分分式：把x的一個實(shí)系數(shù)的真分式分解成幾個分式 的和，使各分式具有 或 的形式 ，其中x2+Ax+B是實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的不可約多項(xiàng)式，而且k是正整數(shù)。這時(shí)稱各分式為原分式的“部分分式”。,【例2.5.8】已知, 2|z|3，求逆Z變換。 解,因

23、為收斂域?yàn)?2。第二部分極點(diǎn)是z=-3，收斂域應(yīng)取|z|3。查表2.5.1，得到： x(n)=2nu(n)+(3)nu(n1) 注意:在進(jìn)行部分分式展開時(shí)，也用到求留數(shù)問題；求各部分分式對應(yīng)的原序列時(shí)，還要確定它的收斂域在哪里，因此一般情況下不如直接用留數(shù)法求方便。一些常見的序列的Z變換可參考表2.5.1。,表2.5.1常見序列的Z變換,2.5.4Z變換的性質(zhì)和定理 下面介紹Z變換重要的性質(zhì)和定理。 1 線性性質(zhì) 設(shè)m(n)=ax(n)+by(n)a, b為常數(shù) X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+ Y(z)=ZTy(n)Ry|z|Ry+ 則 M(z)=ZTm(n)=aX(z)+bY(z)R

24、m|z|Rm+,（2.5.15）,Rm+=minRx+, Ry+ Rm=maxRx, Ry 這里, M(z)的收斂域(Rm, Rm+)是X(z)和Y(z)的公共收斂域，如果沒有公共收斂域，例如當(dāng)Rx+RxRy+Ry時(shí)，則M(z)不存在。,2 序列的移位性質(zhì) 設(shè)X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+ 則 （2.5.16）,3 序列乘以指數(shù)序列的性質(zhì) 設(shè) X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+ y(n)=anx(n)a為常數(shù) 則 Y(z)=ZTanx(n)=X(a1z)|a|Rx|z|a|Rx+ 因?yàn)镽x|a1z|Rx+，得到|a|Rx|z|a|Rx+。,證明,（2.5.17）,4 序列乘以n的Z

25、T 設(shè) X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+ 則 （2.5.18）證明,因此,5 復(fù)共軛序列的ZT性質(zhì) 設(shè) X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+ 則ZTx*(n)=X*(z*)Rx|z|Rx+ （2.5.19）證明 ,6 初值定理 設(shè)x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n)， 則 （2.5.20） 證明 因此 ,7 終值定理 若x(n)是因果序列，其Z變換的極點(diǎn)，除可以有一個一階極點(diǎn)在z=1上，其它極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則 （2.5.21） 證明 因?yàn)閤(n)是因果序列，x(n)=0, n0, 所以,因?yàn)?z1)X(z)在單位圓上無極點(diǎn)，上式兩端對z=1取極限：,終值定理也可用X(z)在z=

26、1點(diǎn)的留數(shù)表示，因?yàn)?因此 x()=ResX(z), 1（2.5.22） 如果在單位圓上X(z)無極點(diǎn)，則x()=0。,8 時(shí)域卷積定理 設(shè)w(n)=x(n)*y(n) X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+ Y(z)=ZTy(n)Rx|z|Ry+1 則 W(z)=ZTw(n)=X(z)Y(z)Rw|z|Rw+（2.5.23）Rw+=minRx+, Ry+ Rw=maxRx, Ry,證明 W(z) 的收斂域就是X(z)和Y(z)的公共收斂域。,【例2.5.9】已知網(wǎng)絡(luò)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n)，|a|1, 網(wǎng)絡(luò)輸入序列x(n)=u(n)，求網(wǎng)絡(luò)的輸出序列y(n)。 解y(n)=h(n

27、)*x(n) 求y(n)可用兩種方法，一種直接求解線性卷積，另一種是Z變換法。 （1） ,由收斂域判定 y(n)=0n0 n0時(shí)， 將y(n)表示為 ,由X(z)的收斂域和Y(z)的收斂域得到： 因此 ,W(z)的收斂域?yàn)閨a|z|；被積函數(shù)平面上的收斂域?yàn)閙ax(|a|, 0)|min(|a1|, |z|)，平面上極點(diǎn)：a、a1和z，c內(nèi)極點(diǎn)：z=a。 令,x(t),y(t),【例2.5.11】差分方程y(n)=by(n-1)+x(n)。,y(n)=by(n-1)+x(n),差分方程,傳遞函數(shù),頻率響應(yīng),數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)的描述方法,差分方程,傳遞函數(shù),頻率響應(yīng),卷積,傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)形式,對應(yīng)的

28、頻率響應(yīng),=0,即S平面的虛軸 r=1,即Z平面單位圓,0,即S的左半平面 r1,即Z的單位圓內(nèi),0, 即S的右半平面 r1,即Z的單位圓外,j,0,0,DTFT,Z變換分析系統(tǒng)舉例,零極點(diǎn)與數(shù)字濾波器特性的關(guān)系,分析零點(diǎn)對幅頻特性的影響,分析零點(diǎn)對幅頻特性的影響,Fs=2000Hz,y(n),分析零點(diǎn)對幅頻特性的影響,零點(diǎn)附近頻率衰減 極點(diǎn)附近頻率加強(qiáng) 僅僅靠零點(diǎn)濾波器效果不理想,H(ej)表示系統(tǒng)對特征序列ejn的響應(yīng)特性, 這也是H(ej)的物理意義所在，下面具體闡述。 若系統(tǒng)輸入信號X(n)=ejn, 則系統(tǒng)輸出信號為 即,上式說明，單頻復(fù)指數(shù)信號ejn通過頻率響應(yīng)函數(shù)為H(ej)的系

29、統(tǒng)后，輸出仍為單頻復(fù)指數(shù)序列，其幅度放大|H(ej)|倍，相移為()。 為了加深讀者對H(ej)物理意義的理解，下面以大家熟悉的正弦信號為例進(jìn)行討論。當(dāng)系統(tǒng)輸入信號x(n)=cos(n)時(shí)，求系統(tǒng)的輸出信號y(n): 因?yàn)?由此可見，線性時(shí)不變系統(tǒng)對單頻正弦信號cos(n)的響應(yīng)為同頻正弦信號，其幅度放大|H(ej）|倍，相移增加()，這就是其名稱“頻率響應(yīng)函數(shù)”、“幅頻響應(yīng)”和“相頻響應(yīng)”的物理含義。如果系統(tǒng)輸入為一般的序列x(n)，則H(ej)對x(n)的不同的頻率成分進(jìn)行加權(quán)處理。對感興趣的頻段，取|H（ej)|=1，其他頻段|H(ej)|=0, 則Y(ej)=X(ej)H（ej), 就

30、實(shí)現(xiàn)了對輸入信號的濾波處理。,因果（可實(shí)現(xiàn)）系統(tǒng)其單位脈沖響應(yīng)h(n)一定是因果序列 ，那么其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域一定包含點(diǎn)，即點(diǎn)不是極點(diǎn)，極點(diǎn)分布在某個圓內(nèi)，收斂域在某個圓外。 系統(tǒng)穩(wěn)定要求 , 這里是 存在的條件,對照Z變換與傅里葉變換的關(guān)系可知，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是H(z)的收斂域包含單位圓。如果系統(tǒng)因果且穩(wěn)定，收斂域包含點(diǎn)和單位圓，那么收斂域可表示為 r|z|0r1,2.6.2用系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性,系統(tǒng)穩(wěn)定,function stab(A) %stab: 系統(tǒng)穩(wěn)定性判定函數(shù)，A是 H(z)的分母多項(xiàng)式系 數(shù)向量 disp(系統(tǒng)極點(diǎn)為：) P=roots(A)%求

31、H(z)的極點(diǎn)，并顯示 disp(系統(tǒng)極點(diǎn)模的最大值為：) M=max(abs(P)%求所有極點(diǎn)模的最大值，并顯示 if M1 disp(系統(tǒng)穩(wěn)定), else, disp(系統(tǒng)不穩(wěn)定), end,請注意，這里要求H(z)是正冪有理分式。給H(z)的分母多項(xiàng)式系數(shù)向量A賦值，調(diào)用該函數(shù)，求出并顯示系統(tǒng)極點(diǎn)，極點(diǎn)模的最大值M，判斷M值，如果M1, 則顯示“系統(tǒng)穩(wěn)定”，否則顯示“系統(tǒng)不穩(wěn)定”。如果H(z)的分母多項(xiàng)式系數(shù)A=22.980.172.3418 1.5147，則調(diào)用該函數(shù)輸出如下: P=0.90000.7000+0.6000i0.70000.6000i0.9900 系統(tǒng)極點(diǎn)模的最大值為：

32、M=0.9900 系統(tǒng)穩(wěn)定。,【例2.6.1】已知， 分析其因果性和穩(wěn)定性。 解H(z)的極點(diǎn)為z=a, z=a1，如圖2.5.5所示。 （1） 收斂域?yàn)閍1|z|: 對應(yīng)的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，但由于收斂域不包含單位圓，因此是不穩(wěn)定系統(tǒng)。單位脈沖響應(yīng)h(n)=(anan)u(n)（參考例2.5.7），這是一個因果序列，但不收斂。 （2） 收斂域?yàn)?|z|a: 對應(yīng)的系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=(anan)u(n1)（參考例2.5.7），這是一個非因果且不收斂的序列。,圖2.6.1例2.6.1圖示,（3） 收斂域?yàn)閍|z|a1: 對應(yīng)一個非因果系統(tǒng)，但由于收斂域包含單位圓，因此

33、是穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=a|n|，這是一個收斂的雙邊序列，如圖2.6.1(a)所示。 下面分析如同例2.6.1這樣的系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性。 H(z)的三種收斂域中，前兩種系統(tǒng)不穩(wěn)定，不能選用；最后一種收斂域，系統(tǒng)穩(wěn)定但非因果，還是不能具體實(shí)現(xiàn)。因此嚴(yán)格地講，這樣的系統(tǒng)是無法具體實(shí)現(xiàn)的。,但是我們利用數(shù)字系統(tǒng)或者說計(jì)算機(jī)的存儲性質(zhì)，可以近似實(shí)現(xiàn)第三種情況。方法是將圖2.6.1(a)從N到N截取一段，再向右移，形成如圖2.6.1(b)所示的h(n)序列，將h(n)作為具體實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)。N愈大，h(n)表示的系統(tǒng)愈接近h(n)系統(tǒng)。具體實(shí)現(xiàn)時(shí)，預(yù)先將h(n)存儲起來，備運(yùn)算時(shí)應(yīng)用。這

34、種非因果但穩(wěn)定的系統(tǒng)的近似實(shí)現(xiàn)性，是數(shù)字信號處理技術(shù)比模擬信息處理技術(shù)優(yōu)越的地方。 說明：對一個實(shí)際的物理實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，其H(z)的收斂域是唯一的 。,2.6.3利用系統(tǒng)的極零點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的 頻率響應(yīng)特性 將(2.6.2)式因式分解，得到： 式中，A=b0/a0, cr是H(z)的零點(diǎn)，dr是其極點(diǎn)。A參數(shù)影響頻率響應(yīng)函數(shù)的幅度大小，影響系統(tǒng)特性的是零點(diǎn)cr和極點(diǎn)dr的分布。下面我們采用幾何方法研究系統(tǒng)零極點(diǎn)分布對系統(tǒng)頻率特性的影響。,（2.6.4）,在z平面上，ejcr用一根由零點(diǎn)cr指向單位圓上ej點(diǎn)B的向量表示，同樣，ejdr用由極點(diǎn)指向ej點(diǎn)B的向量表示，如圖2.6.2所示，即和分別稱為

35、零點(diǎn)向量和極點(diǎn)向量，將它們用極坐標(biāo)表示： 將和表示式代入(2.6.7)式，得到：,系統(tǒng)的頻響特性由(2.6.8)式和(2.6.9)式確定。當(dāng)頻率從0變化到2時(shí)，這些向量的終點(diǎn)B沿單位圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，按照(2.6.8)式和(2.6.9)式，分別估算出系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性。例如圖2.6.2表示了具有一個零點(diǎn)和兩個極點(diǎn)的頻率特性。,圖2.6.2頻響的幾何表示法,按照(2.6.8)式，知道零極點(diǎn)的分布后，可以很容易地確定零極點(diǎn)位置對系統(tǒng)特性的影響。當(dāng)B點(diǎn)轉(zhuǎn)到極點(diǎn)附近時(shí)，極點(diǎn)相量長度最短，因而幅度特性可能出現(xiàn)峰值，且極點(diǎn)愈靠近單位圓，極點(diǎn)相量長度愈短，峰值愈高愈尖銳。如果極點(diǎn)在單位圓上，則幅度特性

36、為，系統(tǒng)不穩(wěn)定。對于零點(diǎn)，情況相反，當(dāng)B點(diǎn)轉(zhuǎn)到零點(diǎn)附近時(shí)，零點(diǎn)相量長度變短，幅度特性將出現(xiàn)谷值，零點(diǎn)愈靠近單位圓，谷值愈接近零。當(dāng)零點(diǎn)處在單位圓上時(shí)，谷值為零?？偨Y(jié)以上結(jié)論：極點(diǎn)位置主要影響頻響的峰值位置及尖銳程度，零點(diǎn)位置主要影響頻響的谷點(diǎn)位置及形狀。,這種通過零極點(diǎn)位置分布分析系統(tǒng)頻響的幾何方法為我們提供了一個直觀的概念，對于分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)是十分有用的。基于這種概念，可以用零極點(diǎn)累試法設(shè)計(jì)簡單濾波器。 下面介紹用MATLAB計(jì)算零、極點(diǎn)及頻率響應(yīng)曲線。首先介紹MATLAB工具箱中兩個函數(shù)zplane和freqz的功能和調(diào)用格式。 zplane繪制H(z)的零、極點(diǎn)圖。,zplane(z,

37、p)繪制出列向量z中的零點(diǎn)（以符號“”表示）和列向量p中的極點(diǎn)（以符號“”表示），同時(shí)畫出參考單位圓，并在多階零點(diǎn)和極點(diǎn)的右上角標(biāo)出其階數(shù)。如果z和p為矩陣，則zplane以不同的顏色分別繪出z和p各列中的零點(diǎn)和極點(diǎn)。 zplane(B, A)繪制出系統(tǒng)函數(shù)H(z)的零極點(diǎn)圖。其中B和A為系統(tǒng)函數(shù)H(z) = B(z)/A(z)的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量。假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)H(z)用下式表示:,則 B=B(1)B(2)B(3)B(M+1)，A=A(1)A(2)A(3)A(N+1) freqz計(jì)算數(shù)字濾波器H(z)的頻率響應(yīng)。 H=freqz(B, A, w)計(jì)算由向量w指定的數(shù)字頻率點(diǎn)上數(shù)字濾波器H

38、(z)的頻率響應(yīng)H(ejw)，結(jié)果存于H向量中。B和A仍為H(z)的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量（同上）。 H, w= freqz(B, A, M)計(jì)算出M個頻率點(diǎn)上的頻率響應(yīng)，存放在H向量中，M個頻率存放在向量w中。freqz函數(shù)自動將這M個頻率點(diǎn)均勻設(shè)置在頻率范圍0, 上。,H, w = freqz(B, A, M, whole)自動將M個頻率點(diǎn)均勻設(shè)置在頻率范圍0, 2上。 當(dāng)然，還可以由頻率響應(yīng)向量H得到各采樣頻點(diǎn)上的幅頻響應(yīng)函數(shù)和相頻響應(yīng)函數(shù)；再調(diào)用plot繪制其曲線圖。 |H(ej)|=abs(H) ()=angle(H) 式中，abs函數(shù)的功能是對復(fù)數(shù)求模，對實(shí)數(shù)求絕對值；angle

39、函數(shù)的功能是求復(fù)數(shù)的相角。,freqz(B, A)自動選取512個頻率點(diǎn)計(jì)算。不帶輸出向量的freqz函數(shù)將自動繪出固定格式的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)曲線。所謂固定格式, 是指頻率范圍為0, ，頻率和相位是線性坐標(biāo)，幅頻響應(yīng)為對數(shù)坐標(biāo)。其他幾種調(diào)用格式可用命令help查閱。,【例2.6.2】已知H(z)=z1，分析其頻率特性。 解由H(z)=z1，可知極點(diǎn)為z=0，幅頻特性|H(ej)|=1, 相頻特性()=，頻響特性如圖 2.6.3所示。用幾何方法也容易確定，當(dāng)=0轉(zhuǎn)到=2時(shí)，極點(diǎn)向量的長度始終為1。由該例可以得到結(jié)論：處于原點(diǎn)處的零點(diǎn)或極點(diǎn)，由于零點(diǎn)向量長度或者極點(diǎn)向量長度始終為1，因此原點(diǎn)處的

40、零極點(diǎn)不影響系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性, 但對相頻特性有貢獻(xiàn)。,y(n)=x(n-1),圖2.6.3H(z)=z1的頻響特性,【例2.6.3】設(shè)一階系統(tǒng)的差分方程為 y(n)=by(n1)+x(n) 用幾何法分析其幅度特性。 解由系統(tǒng)差分方程得到系統(tǒng)函數(shù)為 式中，0b1。系統(tǒng)極點(diǎn)z=b，零點(diǎn)z=0，當(dāng)B點(diǎn)從=0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，在=0點(diǎn)，由于極點(diǎn)向量長度最短，形成波峰；在=點(diǎn)形成波谷；z=0處零點(diǎn)不影響幅頻響應(yīng)。極零點(diǎn)分布及幅度特性如圖2.6.4所示。,圖2.6.4例2.6.3插圖,N個零點(diǎn)等間隔分布在單位圓上，設(shè)N=8，極零點(diǎn)分布如圖2.6.5所示。當(dāng)從0變化到2時(shí)，每遇到一個零點(diǎn)，幅度為零，在兩個零點(diǎn)

41、的中間幅度最大，形成峰值。幅度谷值點(diǎn)頻率為：k=(2/N)k, k=0, 1, 2, N1。一般將具有如圖2.6.5所示的幅調(diào)用zplane和freqz求解本例的程序ep264.m如下:,ep264.m: 例2.6.4求解程序 B = 1 0 0 0 0 0 0 0 1; A=1; 設(shè)置系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量B和A subplot(2, 2, 1); zplane(B, A); 繪制零極點(diǎn)圖 H, w=freqz(B, A); 計(jì)算頻率響應(yīng) subplot(2, 2, 2); plot(w/pi, abs(H): 繪制幅頻響應(yīng)曲線 xlabel(omegapi); ylabel(|H(ejomega

42、)|); axis(0, 1, 0, 2.5) subplot(2, 2, 4); plot(w/pi, angle(H); 繪制相頻響應(yīng)曲線 xlabel(omegapi); ylabel(phi(omega);,運(yùn)行上面的程序，繪制出8階梳狀濾波器的零極點(diǎn)圖和幅頻特性、相頻特性如圖2.6.5所示。,圖2.6.5梳狀濾波器的極零點(diǎn)分布及幅頻、相頻特性,圖2.6.6全通濾波器一組零極點(diǎn)示意,這就證明了（2.6.12）式表示的H(z)具有全通濾波特性。 下面分析全通濾波器的零點(diǎn)和極點(diǎn)的分布規(guī)律。設(shè)zk為H(z)的零點(diǎn)，按照（2.6.4）式，必然是H(z)的極點(diǎn)， 記為， 則pkzk=1，全通濾波

43、器的極點(diǎn)和零點(diǎn)互為倒數(shù)關(guān)系。如果再考慮到D(z)和D(z1)的系數(shù)為實(shí)數(shù)，其極點(diǎn)、零點(diǎn)均以共軛對出現(xiàn)， 這樣，復(fù)數(shù)零點(diǎn)、復(fù)數(shù)極點(diǎn)必然以四個一組出現(xiàn)。例如，zk是H(z)的零點(diǎn)，則必有零點(diǎn)、極點(diǎn)、。對實(shí)數(shù)零極點(diǎn)，則以兩個一組出現(xiàn)， 且零點(diǎn)與極點(diǎn)互為倒數(shù)關(guān)系。零極點(diǎn)位置示意圖如圖 2.6.6所示。,顯然，（2.6.15）式中極點(diǎn)和零點(diǎn)互為共軛倒易關(guān)系。其全通特性的證明留作習(xí)題。應(yīng)當(dāng)注意，為了保證分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)是實(shí)數(shù)，極點(diǎn)、零點(diǎn)分別以共軛對形式出現(xiàn)，當(dāng)N=1時(shí)，零點(diǎn)、極點(diǎn)均為實(shí)數(shù)。 全通濾波器是一種純相位濾波器，經(jīng)常用于相位均衡。如果要求設(shè)計(jì)一個線性相位濾波器，可以設(shè)計(jì)一個具有線性相位的FIR

44、濾波器，也可以先設(shè)計(jì)一個滿足幅頻特性要求的IIR濾波器，再級聯(lián)一個全通濾波器進(jìn)行相位校正，使總的相位特性是線性的。 ,2. 梳狀濾波器 在前一節(jié)例2.6.4中，曾提到具有如圖2.6.5所示的幅度特性的濾波器稱為梳狀濾波器，顯然，梳狀濾波器起名于它的幅度特性形狀。下面介紹一般梳狀濾波器的構(gòu)成方法。 設(shè)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，我們知道，如果其頻率響應(yīng)函數(shù)H(ej)以2為周期。將H(z)的變量z用zN代替，得到H(zN)，則相應(yīng)的頻率響應(yīng)函數(shù)H(ejN)是以2/N為周期的，在區(qū)間0, 2上有N個相同頻率特性周期。利用這種性質(zhì)，可以構(gòu)成各種梳狀濾波器。,例如，, 零點(diǎn)為1，極點(diǎn)為a，所以H(z)表

45、示一個高通濾波器。以zN代替H(z)的z，得到： 當(dāng)N=8時(shí)，零點(diǎn)為；極點(diǎn)為 。H(zN) 零極點(diǎn)分布和幅頻響應(yīng)特性繪制程序?yàn)閒ig267.m，其中a=0.2部分程序如下：,% 圖2.6.7繪制程序：fig267.m a=0.2; B=1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1; A=1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -a; subplot(2, 2, 1); zplane(B, A); title(a)零極點(diǎn)分布(a=0.2, N=8) Hk, w=freqz(B, A, 1024); %計(jì)算頻響特性(a=0.2，N=8)subplot(2, 2, 2); plot(

46、w/pi, abs(Hk)/max(abs(Hk); xlabel(omega/pi); axis(0, 1, 0, 1.5); title(b)幅頻特性(a=0.2, N=8) a=0.9; B=1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1; A=1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -a; 以下程序與a=0.2時(shí)相同(省略)。,運(yùn)行本書程序集程序fig267.m，繪制出當(dāng)N=8, a=0.2和a=0.9時(shí)，H(zN)的零極點(diǎn)分布和幅頻響應(yīng)特性曲線如圖2.6.7所示。,圖2.6.7梳狀濾波器的零極點(diǎn)分布和幅頻響應(yīng)特性,梳狀濾波器可濾除輸入信號中 的頻率分量。這種濾波器可用于

47、消除信號中的電網(wǎng)諧波干擾。 由圖2.6.7可見，a取值越接近1，幅頻特性越平坦。將圖2.6.7和圖2.6.5比較，形狀很相似，不同的是每一個梳狀周期的形狀不同。顯然, 圖2.6.5對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)是由(1z1)中變量z用zN代替后得到的，用于消除電網(wǎng)諧波干擾時(shí)，特性不如 的濾波性能好。但圖2.6.5對應(yīng)的梳狀濾波器適用于分離兩路頻譜等間隔交錯分布的信號，例如，彩色電視接收機(jī)中用于進(jìn)行亮色分離和色分離等。,3. 最小相位系統(tǒng) 一個因果穩(wěn)定的時(shí)域離散線性非移變系統(tǒng)H(z)，其所有極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)，但其零點(diǎn)可在z平面上任意位置，只要頻響特性滿足要求即可。如果因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)的所有零點(diǎn)都在單位圓內(nèi)

48、，則稱之為“最小相位系統(tǒng)”，記為Hmin(z)；反之，如果所有零點(diǎn)都在單位圓外，則稱之為“最大相位系統(tǒng)”，記為Hmax(z)；若單位圓內(nèi)、外都有零點(diǎn)，則稱之為“混合相位系統(tǒng)”。,最小相位系統(tǒng)在工程理論中較為重要。下面給出最小相位系統(tǒng)的幾個重要特點(diǎn)。 （1） 任何一個非最小相位系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)均可由一個最小相位系統(tǒng)Hmin(z)和一個全通系統(tǒng)Hap(z)級聯(lián)而成，即 H(z)=Hmin(z)Hap(z)（2.6.16） 證明假設(shè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)僅有一個零點(diǎn)在單位圓外，令該零點(diǎn)為z=1/z0, |z0|1，則H(z)可表示為,該特點(diǎn)說明了在濾波器優(yōu)化中很有用的結(jié)論：將系統(tǒng)位于單位圓外的零

49、（或極）點(diǎn)zk用代替時(shí)，不會影響系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性。這一點(diǎn)在濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)中已用到。在那里，將單位圓外的極點(diǎn)用其鏡像代替，以確保濾波器因果穩(wěn)定。該結(jié)論為我們提供了一種用非最小相位系統(tǒng)構(gòu)造幅頻特性相同的最小相位系統(tǒng)的方法：將非最小相位系統(tǒng)H(z)位于單位圓外的零點(diǎn)z0k用代替（k=1, 2, , m0; m0為單位圓外零點(diǎn)數(shù)目），即得最小相位系統(tǒng)Hmin(z), 且Hmin(z)與H(z)的幅頻響應(yīng)特性相同。,（2） 在幅頻響應(yīng)特性相同的所有因果穩(wěn)定系統(tǒng)集中，最小相位系統(tǒng)的相位延遲（負(fù)的相位值）最小。 由(2.6.16)式可知，任何一個非最小相位系統(tǒng)H(z)的相位函數(shù)，是一個與H(z)的幅頻特性

50、相同的最小相位系統(tǒng)Hmin(z)的相位函數(shù)加上一個全通系統(tǒng)Hap(z)的相位函數(shù)。可以證明全通系統(tǒng)Hap(z)的相位函數(shù)是非正的1，因此任意系統(tǒng)比最小相位系統(tǒng)多了一個負(fù)相位，這樣使最小相位系統(tǒng)具有最小相位延遲的性質(zhì)，或者從時(shí)域說，最小相位系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)波形延遲和能量延遲均最小。,（3） 最小相位系統(tǒng)保證其逆系統(tǒng)存在。 給定一個因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)=B(z)/A(z)，定義其逆系統(tǒng)為 當(dāng)且僅當(dāng)H(z)為最小相位系統(tǒng)時(shí)，HINV(z)才是因果穩(wěn)定的（物理可實(shí)現(xiàn)的）。 逆濾波在信號檢測及解卷積中有重要應(yīng)用。例如，信號檢測中的信道均衡器實(shí)質(zhì)上就是設(shè)計(jì)信道的近似逆濾波器。,習(xí)題與上機(jī)題 1 設(shè)X(ej)

51、和Y(ej)分別是x(n)和y(n)的傅里葉變換，試求下面序列的傅里葉變換： (1)x(nn0)(2)x*(n) (3)x(n)(4)x(n)*y(n) (5)x(n)y(n) (6)nx(n) (7)x(2n) (8)x2(n),（9）,2 已知 求X(ej)的傅里葉反變換x(n)。,3. 線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（頻率響應(yīng)函數(shù)） H(ej)=|H(ej)|ej()，如果單位脈沖響應(yīng)h(n)為實(shí)序列，試證明輸入x(n)=Acos(0n+)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 4 設(shè) 將x(n)以4為周期進(jìn)行周期延拓，形成周期序列，畫出x(n)和的波形，求出的離散傅里葉級數(shù)和傅里葉變換。,5. 設(shè)題5圖所示的序列x(

52、n)的FT用X(ej)表示，不直接求出X(ej)，完成下列運(yùn)算： （1） ； （2） ； （3） X(ej)； （4） 確定并畫出傅里葉變換實(shí)部ReX(ej)的時(shí)間序列xa(n)；,題5圖,（5） ； （6） 。 6 試求如下序列的傅里葉變換： ,7 設(shè)： （1） x(n)是實(shí)偶函數(shù)， （2） x(n)是實(shí)奇函數(shù)， 分別分析推導(dǎo)以上兩種假設(shè)下，其x(n)的傅里葉變換性質(zhì)。 8 設(shè)x(n)=R4(n)，試求x(n)的共軛對稱序列xe(n)和共軛反對稱序列xo(n)，并分別用圖表示。 9 已知x(n)=anu(n), 0a1，分別求出其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)的傅里葉變換。,10 若序列h(n)是實(shí)因果序列，其傅里葉變換的實(shí)部如下式： 求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej)。 11 若序列h(n)是實(shí)因果序列，h(0)=1，其傅里葉變換的虛部為 求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej)。 ,12 設(shè)系統(tǒng)的單