五年級(jí)奧數(shù).計(jì)數(shù)綜合.排列組合(ABC級(jí)).學(xué)生版-（最終）

1、排列組合知識(shí)結(jié)構(gòu)一、 排列問(wèn)題在實(shí)際生活中經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題，就是要把一些事物排在一起，構(gòu)成一列，計(jì)算有多少種排法，就是排列問(wèn)題在排的過(guò)程中，不僅與參與排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān)一般地，從個(gè)不同的元素中取出()個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列根據(jù)排列的定義，兩個(gè)排列相同，指的是兩個(gè)排列的元素完全相同，并且元素的排列順序也相同如果兩個(gè)排列中，元素不完全相同，它們是不同的排列；如果兩個(gè)排列中，雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列排列的基本問(wèn)題是計(jì)算排列的總個(gè)數(shù)從個(gè)不同的元素中取出()個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不

2、同的元素的排列中取出個(gè)元素的排列數(shù)，我們把它記做根據(jù)排列的定義，做一個(gè)元素的排列由個(gè)步驟完成：步驟：從個(gè)不同的元素中任取一個(gè)元素排在第一位，有種方法；步驟：從剩下的()個(gè)元素中任取一個(gè)元素排在第二位，有()種方法；步驟：從剩下的個(gè)元素中任取一個(gè)元素排在第個(gè)位置，有(種)方法；由乘法原理，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)是，即，這里，且等號(hào)右邊從開(kāi)始，后面每個(gè)因數(shù)比前一個(gè)因數(shù)小，共有個(gè)因數(shù)相乘二、 排列數(shù)一般地，對(duì)于的情況，排列數(shù)公式變?yōu)楸硎緩膫€(gè)不同元素中取個(gè)元素排成一列所構(gòu)成排列的排列數(shù)這種個(gè)排列全部取出的排列，叫做個(gè)不同元素的全排列式子右邊是從開(kāi)始，后面每一個(gè)因數(shù)比前一個(gè)因數(shù)小，一直乘到的乘

3、積，記為，讀做的階乘，則還可以寫(xiě)為：，其中在排列問(wèn)題中，有時(shí)候會(huì)要求某些物體或元素必須相鄰；求某些物體必須相鄰的方法數(shù)量，可以將這些物體當(dāng)作一個(gè)整體捆綁在一起進(jìn)行計(jì)算三、 組合問(wèn)題日常生活中有很多“分組”問(wèn)題如在體育比賽中，把參賽隊(duì)分為幾個(gè)組，從全班同學(xué)中選出幾人參加某項(xiàng)活動(dòng)等等這種“分組”問(wèn)題，就是我們將要討論的組合問(wèn)題，這里，我們將著重研究有多少種分組方法的問(wèn)題一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)()元素組成一組不計(jì)較組內(nèi)各元素的次序，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合 從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關(guān)，而組合與順序無(wú)關(guān)如果兩個(gè)組合中的元素完全相同，那么不管元素的順序如何，都是

4、相同的組合，只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí)，才是不同的組合從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素()的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素的組合數(shù)記作一般地，求從個(gè)不同元素中取出的個(gè)元素的排列數(shù)可分成以下兩步：第一步：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素組成一組，共有種方法；第二步：將每一個(gè)組合中的個(gè)元素進(jìn)行全排列，共有種排法根據(jù)乘法原理，得到因此，組合數(shù)這個(gè)公式就是組合數(shù)公式四、 組合數(shù)的重要性質(zhì)一般地，組合數(shù)有下面的重要性質(zhì)：()這個(gè)公式的直觀意義是：表示從個(gè)元素中取出個(gè)元素組成一組的所有分組方法表示從個(gè)元素中取出()個(gè)元素組成一組的所有分組方法顯然，從個(gè)元素中選出個(gè)元素的分組方法恰是從個(gè)元素中選個(gè)

5、元素剩下的()個(gè)元素的分組方法例如，從人中選人開(kāi)會(huì)的方法和從人中選出人不去開(kāi)會(huì)的方法是一樣多的，即規(guī)定，五、 插板法一般用來(lái)解決求分解一定數(shù)量的無(wú)差別物體的方法的總數(shù)，使用插板法一般有三個(gè)要求：所要分解的物體一般是相同的：所要分解的物體必須全部分完：參與分物體的組至少都分到1個(gè)物體，不能有沒(méi)分到物體的組出現(xiàn)在有些題目中，已知條件與上面的三個(gè)要求并不一定完全相符，對(duì)此應(yīng)當(dāng)對(duì)已知條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，使得它與一般的要求相符，再適用插板法六、 使用插板法一般有如下三種類型：1 個(gè)人分個(gè)東西，要求每個(gè)人至少有一個(gè)這個(gè)時(shí)候我們只需要把所有的東西排成一排，在其中的個(gè)空隙中放上個(gè)插板，所以分法的數(shù)目為2 個(gè)人

6、分個(gè)東西，要求每個(gè)人至少有個(gè)這個(gè)時(shí)候，我們先發(fā)給每個(gè)人個(gè)，還剩下個(gè)東西，這個(gè)時(shí)候，我們把剩下的東西按照類型來(lái)處理就可以了所以分法的數(shù)目為3 個(gè)人分個(gè)東西，允許有人沒(méi)有分到這個(gè)時(shí)候，我們不妨先借來(lái)個(gè)東西，每個(gè)人多發(fā)1個(gè)，這樣就和類型一樣了，不過(guò)這時(shí)候物品總數(shù)變成了個(gè)，因此分法的數(shù)目為例題精講【例 1】 4個(gè)男生2個(gè)女生6人站成一排合影留念，有多少種排法？如果要求2個(gè)女生緊挨著排在正中間有多少種不同的排法？【鞏固】 4男2女6個(gè)人站成一排合影留念，要求2個(gè)女的緊挨著有多少種不同的排法？【例 2】 將A、B、C、D、E、F、G七位同學(xué)在操場(chǎng)排成一列，其中學(xué)生B與C必須相鄰請(qǐng)問(wèn)共有多少種不同的排列方法

7、？【鞏固】 6名小朋友站成一排，若兩人必須相鄰，一共有多少種不同的站法？若兩人不能相鄰，一共有多少種不同的站法？【例 3】 書(shū)架上有4本不同的漫畫(huà)書(shū)，5本不同的童話書(shū)，3本不同的故事書(shū)，全部豎起排成一排，如果同類型的書(shū)不要分開(kāi)，一共有多少種排法？如果只要求童話書(shū)和漫畫(huà)書(shū)不要分開(kāi)有多少種排法？【鞏固】 四年級(jí)三班舉行六一兒童節(jié)聯(lián)歡活動(dòng)整個(gè)活動(dòng)由2個(gè)舞蹈、2個(gè)演唱和3個(gè)小品組成請(qǐng)問(wèn)：如果要求同類型的節(jié)目連續(xù)演出，那么共有多少種不同的出場(chǎng)順序？【例 4】 8人圍圓桌聚餐，甲、乙兩人必須相鄰，而乙、丙兩人不得相鄰，有幾種坐法？【鞏固】 a，b，c，d，e五個(gè)人排成一排，a與b不相鄰，共有多少種不同的排

8、法？【例 5】 一臺(tái)晚會(huì)上有個(gè)演唱節(jié)目和個(gè)舞蹈節(jié)目求：當(dāng)個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起時(shí)，有多少不同的安排節(jié)目的順序？當(dāng)要求每個(gè)舞蹈節(jié)目之間至少安排個(gè)演唱節(jié)目時(shí)，一共有多少不同的安排節(jié)目的順序？【鞏固】 由個(gè)不同的獨(dú)唱節(jié)目和個(gè)不同的合唱節(jié)目組成一臺(tái)晚會(huì)，要求任意兩個(gè)合唱節(jié)目不相鄰，開(kāi)始和最后一個(gè)節(jié)目必須是合唱，則這臺(tái)晚會(huì)節(jié)目的編排方法共有多少種？【例 6】 有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少種不同的吃法？【鞏固】 小紅有10塊糖，每天至少吃1塊，7天吃完，她共有多少種不同的吃法？【鞏固】 有12塊糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一塊，問(wèn)共有種吃法【例 7】 10只無(wú)差別的橘子放到3個(gè)不同的

9、盤(pán)子里，允許有的盤(pán)子空著請(qǐng)問(wèn)一共有多少種不同的放法？【鞏固】 將個(gè)相同的蘋(píng)果放到個(gè)不同的盤(pán)子里，允許有盤(pán)子空著。一共有種不同的放法?！纠?8】 把20個(gè)蘋(píng)果分給3個(gè)小朋友，每人最少分3個(gè)，可以有多少種不同的分法？【鞏固】 三所學(xué)校組織一次聯(lián)歡晚會(huì)，共演出14個(gè)節(jié)目，如果每校至少演出3個(gè)節(jié)目，那么這三所學(xué)校演出節(jié)目數(shù)的不同情況共有多少種？【例 9】 (1)小明有10塊糖，每天至少吃1塊，8天吃完，共有多少種不同吃法?(2)小明有10塊糖，每天至少吃1塊，8天或8天之內(nèi)吃完，共有多少種吃法?【鞏固】 有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完為止，共有多少種不同的吃法？【例 10】 馬路上有編號(hào)為，的十只路

10、燈，為節(jié)約用電又能看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但又不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？【鞏固】 學(xué)校新修建的一條道路上有盞路燈，為了節(jié)省用電而又不影響正常的照明，可以熄滅其中盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的盞燈，那么熄燈的方法共有多少種？【例 11】 在四位數(shù)中，各位數(shù)字之和是4的四位數(shù)有多少？【鞏固】 大于2000小于3000的四位數(shù)中數(shù)字和等于9的數(shù)共有多少個(gè)？【例 12】 所有三位數(shù)中，與456相加產(chǎn)生進(jìn)位的數(shù)有多少個(gè)？【鞏固】 從1到2004這2004個(gè)正整數(shù)中，共有幾個(gè)數(shù)與四位數(shù)8866相加時(shí)，至少發(fā)生一次進(jìn)位？課堂檢測(cè)

11、【隨練1】 某小組有12個(gè)同學(xué)，其中男少先隊(duì)員有3人，女少先隊(duì)員有人，全組同學(xué)站成一排，要求女少先隊(duì)員都排一起，而男少先隊(duì)員不排在一起，這樣的排法有多少種？【隨練2】 把7支完全相同的鉛筆分給甲、乙、丙3個(gè)人，每人至少1支，問(wèn)有多少種方法？【隨練3】 在三位數(shù)中，至少出現(xiàn)一個(gè)6的偶數(shù)有多少個(gè)？家庭作業(yè)【作業(yè)1】 將三盆同樣的紅花和四盆同樣的黃花擺放成一排，要求三盆紅花互不相鄰，共有種不同的放法?！咀鳂I(yè)2】 學(xué)校合唱團(tuán)要從個(gè)班中補(bǔ)充名同學(xué)，每個(gè)班至少名，共有多少種抽調(diào)方法？【作業(yè)3】 能被3整除且至少有一個(gè)數(shù)字是6的四位數(shù)有個(gè)。【作業(yè)4】 學(xué)校乒乓球隊(duì)一共有4名男生和3名女生某次比賽后他們站成一排照相，請(qǐng)問(wèn)：（1）如果要求男生不能相鄰，一共有多少不同的站法？（2）如果要求女生都站在一起，一共有多少種不同的站法？【作業(yè)5】 由0，1，2，