狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)方案書

1、Chapter5 狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì) 控制方式有“開環(huán)控制”和“閉環(huán)控制”。“開環(huán)控制”就是把一個(gè)確定的信號(hào)（時(shí)間的函數(shù)）加到系統(tǒng)輸入端，使系統(tǒng)具有某種期望的性能。然而，由于建模中的不確定性或誤差、系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中的擾動(dòng)等因素使系統(tǒng)產(chǎn)生一些意想不到的情況，這就要求對(duì)這些偏差進(jìn)行及時(shí)修正，這就是“反饋控制”。在經(jīng)典控制理論中，我們依據(jù)描述控制對(duì)象輸入輸出行為的傳遞函數(shù)模型來(lái)設(shè)計(jì)控制器，因此只能用系統(tǒng)輸出作為反饋信號(hào)，而在現(xiàn)代控制理論中，則主要通過(guò)更為廣泛的狀態(tài)反饋對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行綜合。 通過(guò)狀態(tài)反饋來(lái)改變和控制系統(tǒng)的極點(diǎn)位置可使閉環(huán)系統(tǒng)具有所期望的動(dòng)態(tài)特性。利用狀態(tài)反饋構(gòu)成的調(diào)節(jié)器，可以實(shí)現(xiàn)各種目的，使

2、閉環(huán)系統(tǒng)滿足設(shè)計(jì)要求。參見例5.3.3，通過(guò)狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置，使閉環(huán)系統(tǒng)的超調(diào)量，峰值時(shí)間（超調(diào)時(shí)間），阻尼振蕩頻率。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)5.1 線性反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與性質(zhì) 設(shè)系統(tǒng)為 （5-1）圖5-1 經(jīng)典控制-輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng) 經(jīng)典控制中采用輸出(和輸出導(dǎo)數(shù))反饋（圖5-1）：其控制規(guī)律為： 為標(biāo)量，為參考輸入 （5-2） 可見，在經(jīng)典控制中，通過(guò)適當(dāng)選擇，可以利用輸出反饋改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能?，F(xiàn)代控制中采用狀態(tài)反饋（圖5-2）： 其控制規(guī)律為： ， （5-3）（的行=的行，的列=的行）稱為狀態(tài)反饋增益矩陣。狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 （5-4） 式中： 圖5-2

3、現(xiàn)代控制-狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)若，“狀態(tài)反饋”退化成“輸出反饋”，表明“輸出反饋”只是“狀態(tài)反饋”的一種特例，因此，在經(jīng)典控制理論中的“輸出反饋”（比例控制P）和“輸出導(dǎo)數(shù)反饋”（微分控制D）能實(shí)現(xiàn)的任務(wù)，狀態(tài)反饋必能實(shí)現(xiàn)，反之則未必。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)定理5-1（定理5.1.1） 若階系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則經(jīng)過(guò)狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)仍然是狀態(tài)完全能控的。即狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。但狀態(tài)反饋不一定能保持原系統(tǒng)的能觀性。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)證明 對(duì)系統(tǒng)（5-1）的任意能控狀態(tài)，根據(jù)能控性定義，在時(shí)間內(nèi)，存在一個(gè)控制作用，使得在該控制作用下。對(duì)（5-1）加了狀態(tài)反饋控制律后，

4、需要證明仍然是閉環(huán)系統(tǒng)（5-3）的能控狀態(tài)。事實(shí)上，在時(shí)間段上，取 （5-5）文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)則由于 所以，也是閉環(huán)系統(tǒng)（5-3）的能控狀態(tài)。由于的任意性，定理得證。例5-1原系統(tǒng)為，狀態(tài)反饋矩陣為 ，討論系統(tǒng)經(jīng)狀態(tài)反饋前后的能控性和能觀性。解：原系統(tǒng)能控且能觀；經(jīng)狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)經(jīng)狀態(tài)反饋后能控性不變；但，系統(tǒng)經(jīng)狀態(tài)反饋后不能保持原系統(tǒng)的能觀性（狀態(tài)反饋有可能改變輸出端）。定理5-2（定理5.1.2）“輸出反饋”不改變系統(tǒng)的能控性和能觀性（證明略）。定理5-3（定理5.1.3）對(duì)能控的單輸入、單輸出系統(tǒng)，“狀態(tài)反饋”只改變傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式的系數(shù)，而不能移動(dòng)系統(tǒng)的零點(diǎn)。文檔收

5、集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)證明：系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 ，由于系統(tǒng)的能控性，狀態(tài)空間模型必能通過(guò)非奇異變換得到（等價(jià)于）能控標(biāo)準(zhǔn)型，由關(guān)系式 由上式整理可得 由于等價(jià)的狀態(tài)空間模型具有相同的傳遞函數(shù)，所以（1）采用狀態(tài)反饋后，同理可得閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) （2）其中 。由（1）、（2）可知，狀態(tài)反饋只改變系統(tǒng)的極點(diǎn)多項(xiàng)式（只改變傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式的系數(shù)），而不會(huì)改變分子多項(xiàng)式的系數(shù)。此時(shí)，只要不發(fā)生零極點(diǎn)相消的現(xiàn)象，狀態(tài)反饋就不能改變零點(diǎn)。證畢。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)5.2 穩(wěn)定化狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì) 本節(jié)的目的就是要尋找“反饋控制器”或者說(shuō)求出“控制律”，使系統(tǒng)穩(wěn)定以及使系統(tǒng)的性能滿足設(shè)計(jì)要求

6、。穩(wěn)定是一個(gè)系統(tǒng)正常運(yùn)行的首要條件。若一個(gè)系統(tǒng)不穩(wěn)定，則必須運(yùn)用外部控制設(shè)法讓其穩(wěn)定。如何確定增益矩陣，使下面閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的？文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí) （5-6） 根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，系統(tǒng)（5-6）漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件是存在一個(gè)二次型的Lyapunov函數(shù)，其中是待定的對(duì)稱正定矩陣。可以通過(guò)使標(biāo)量函數(shù)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)是負(fù)定的來(lái)確定和。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)5.2.1 Riccati矩陣方程處理方法這種方法可用來(lái)處理非線性系統(tǒng)、時(shí)滯系統(tǒng)等各類系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問(wèn)題，也可用于魯棒控制器的設(shè)計(jì)。（魯棒是Robust的音譯，也就是健壯和強(qiáng)壯的意思。魯棒性（robustness）就是系統(tǒng)

7、的健壯性。它是在異常和危險(xiǎn)情況下系統(tǒng)生存的關(guān)鍵。比如說(shuō)，計(jì)算機(jī)軟件在輸入錯(cuò)誤、磁盤故障、網(wǎng)絡(luò)過(guò)載或有意攻擊情況下，能否不死機(jī)、不崩潰，就是該軟件的魯棒性。所謂“魯棒性”，是指控制系統(tǒng)在一定（結(jié)構(gòu)，大?。┑膮?shù)攝動(dòng)下，維持某些性能的特性。根據(jù)對(duì)性能的不同定義，可分為穩(wěn)定魯棒性和性能魯棒性。以閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性作為目標(biāo)設(shè)計(jì)得到的固定控制器稱為魯棒控制器）文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)對(duì)標(biāo)量函數(shù)求時(shí)間導(dǎo)數(shù)，并利用狀態(tài)方程得： （5-7）應(yīng)用可知，后面兩項(xiàng)“標(biāo)量”相等 （5-8）于是 （5-9）若選取控制律具有以下結(jié)構(gòu)形式 （5-10） （5-11）進(jìn)一步，選取矩陣使其滿足Riccati（里卡提）矩陣方

8、程 （5-12）則，滿足漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件。從（5-12）解出正定對(duì)稱矩陣，代入（5-10）就可得到控制規(guī)律。這種基于Riccati矩陣方程（5-12）的穩(wěn)定化控制器設(shè)計(jì)方法稱為Riccati方程處理方法。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)若對(duì)給定的，Riccati方程有一個(gè)正定對(duì)稱解矩陣，則對(duì)任意的， 因此，對(duì)任意，都是系統(tǒng)的穩(wěn)定化控制律。這表明穩(wěn)定化控制律具有正無(wú)窮大的穩(wěn)定增益裕度，這在實(shí)際應(yīng)用中是非常有用的，操作人員可以根據(jù)實(shí)際情況，在不破壞系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提下，調(diào)節(jié)控制器的增益參數(shù)，使系統(tǒng)滿足其他性能要求。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)例5-2（例題5.2.1）對(duì)（例4.4.3）的雙積分系統(tǒng)

9、設(shè)計(jì)穩(wěn)定化狀態(tài)反饋控制器。解：已經(jīng)討論，系統(tǒng)不是一個(gè)漸近穩(wěn)定的，取，Riccati方程為 ，可以求得： ，所以，是正定的，因此，對(duì)任意的 都是所考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定化狀態(tài)反饋控制器（取畫圖）。5.2.2 線性矩陣不等式處理方法 根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定性定理，閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是存在一個(gè)正定對(duì)稱矩陣，使得 （5-13）求解上述和耦合的非線性矩陣方程十分困難，為此，先將上式寫開成兩邊左、右對(duì)稱矩陣 記 （5-14） （5-15）不等式（5-15）是一個(gè)關(guān)于矩陣變量的線性矩陣不等式。 如果能從（5-15）確定（正定對(duì)稱矩陣），則是系統(tǒng)（5-1）的一個(gè)穩(wěn)定化狀態(tài)反饋增益矩陣，是相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的一個(gè)Ly

10、apunov矩陣。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)例5-3（例5.2.2，略）5.3 極點(diǎn)配置 在實(shí)際控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，不僅要保證系統(tǒng)是穩(wěn)定的，而且還要使系統(tǒng)具有某些我們所希望的動(dòng)態(tài)性能。特別地，希望選擇合適的矩陣，使得加入負(fù)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)（特征值）位于復(fù)平面上預(yù)先給定的位置，這樣就能保證系統(tǒng)具有我們指定的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，這樣的方法稱為“極點(diǎn)配置”。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí) 對(duì)給定系統(tǒng)，要解決其極點(diǎn)配置問(wèn)題，需要回答兩個(gè)問(wèn)題：（1） 對(duì)什么樣的系統(tǒng)，極點(diǎn)配置問(wèn)題可解，即使得閉環(huán)系統(tǒng)具有給定極點(diǎn)的狀態(tài)反饋控制器存在性；（2） 如何設(shè)計(jì)使閉環(huán)系統(tǒng)具有給定極點(diǎn)的狀態(tài)反饋控制器。定理5-4系統(tǒng)

11、存在狀態(tài)反饋增益矩陣，使相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)可以任意配置的充要條件是系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)證明：必要性。假設(shè)被控對(duì)象不是完全能控的，即有一部分能控，有一部分不能控，則一定存在某個(gè)非奇異矩陣使，使變換后得到等價(jià)系統(tǒng)。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)，；比較得到變換后的等價(jià)系統(tǒng)： （5-16） （5-17）是能控子系統(tǒng)的能控對(duì)，是不能控子系統(tǒng)部分。所以 這表明，非奇異變換不改變系統(tǒng)的特征值。進(jìn)一步 （5-18）結(jié)論（5-18）表明：狀態(tài)反饋的能控分量只能通過(guò)輸入矩陣的能控部分來(lái)改變被控對(duì)象的能控子系統(tǒng)的極點(diǎn)，而不能改變不能控子系統(tǒng)的極點(diǎn)。因此系統(tǒng)（完全）能控是能夠任意配置

12、（改變）極點(diǎn)的必要條件。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)狀態(tài)反饋的不能控分量對(duì)“極點(diǎn)配置”沒(méi)有貢獻(xiàn)。充分性。如果完全能控，就能保證通過(guò)改變狀態(tài)反饋增益，使的極點(diǎn)任意配置。推論5-1當(dāng)系統(tǒng)不是完全能控時(shí)，通過(guò)狀態(tài)反饋使其閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)的不能控極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部（稱為能穩(wěn)定或能鎮(zhèn)定的Stabilizable）。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)能控穩(wěn)定最好的，也可以通過(guò)極點(diǎn)配置改造成更穩(wěn)定不穩(wěn)定可以通過(guò)極點(diǎn)配置改造不能控穩(wěn)定能鎮(zhèn)定的，雖不能通過(guò)極點(diǎn)配置改造，但也無(wú)妨不穩(wěn)定最糟糕！不穩(wěn)定，還不能通過(guò)極點(diǎn)配置改造5.3.1 能控標(biāo)準(zhǔn)形的極點(diǎn)配置 設(shè)被控對(duì)象為能控標(biāo)準(zhǔn)形，。原系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為 希

13、望狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)為特征值集合的特征多項(xiàng)式 比較兩邊系數(shù)可得： （5-19）例5-4（例5.3.1）2階單輸入線性定常系統(tǒng)為，求狀態(tài)反饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)為。解：利用系統(tǒng)特征多項(xiàng)式和希望的特征多項(xiàng)式相等的充要條件，使兩多項(xiàng)式同次冪的系數(shù)相等，可以直接解出增益矩陣，稱為直接法。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)本題采用直接設(shè)計(jì)方法，設(shè)，代入系統(tǒng)方程得，希望狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為，比較可得：，所求的狀態(tài)反饋為例5-4圖 閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖結(jié)構(gòu)圖對(duì)于一般狀態(tài)方程，如果他是能控的，即總是存在線性變換，將狀態(tài)方程等價(jià)的變換成能控標(biāo)準(zhǔn)型。 ,，因此，對(duì)于一般狀態(tài)方程，只要他是能控的，就

14、可以進(jìn)行任意極點(diǎn)配置。而直接配置方法適用于一般狀態(tài)方程。5.3.2 極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器的算法 單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置主要采用變換法和直接法：通過(guò)能控標(biāo)準(zhǔn)型（非能控標(biāo)準(zhǔn)型可以通過(guò)非奇異變換變成能控標(biāo)準(zhǔn)型）的設(shè)計(jì)方法稱為變換法；利用系統(tǒng)特征多項(xiàng)式和希望的特征多項(xiàng)式相等的充要條件，使兩多項(xiàng)式同次冪的系數(shù)相等，可以直接解出增益矩陣，稱為直接法。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)例5-5（例5.3.2）被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為，設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為。解：為了使設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控制器便于實(shí)施，描述被控對(duì)象的狀態(tài)空間模型應(yīng)當(dāng)盡可能地選擇那些易于直接測(cè)量的信號(hào)作為狀態(tài)變量。將傳遞函數(shù)做一下串

15、聯(lián)分解，將串聯(lián)子系統(tǒng)的輸出選為狀態(tài)變量，顯然，這樣的狀態(tài)變量容易直接測(cè)量。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí) 由此得到狀態(tài)空間模型為 ，顯然，這是一個(gè)“非能控標(biāo)準(zhǔn)型”的狀態(tài)空間模型?？梢酝ㄟ^(guò)“變換法”將其變換成“能控標(biāo)準(zhǔn)型”。（1）變換法 首先確定非奇異變換，將串聯(lián)分解實(shí)現(xiàn)變換為能控標(biāo)準(zhǔn)型。原系統(tǒng)的能控性矩陣為：由圖我們得到 因此，能控標(biāo)準(zhǔn)型為，根據(jù)定理3.1.4，狀態(tài)變換矩陣為 ， 可以驗(yàn)證： 由于所希望的 要設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控制器增益為（為能控標(biāo)準(zhǔn)型的配置） 即 （2）直接法 設(shè) 其閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣為 比較可知 即 工程實(shí)踐中，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性往往以時(shí)域指標(biāo)給出，比如要求超調(diào)量小于等于多少，超調(diào)時(shí)

16、間不超過(guò)多少，阻尼振蕩頻率不大于多少等。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)例5-6（例5.3.3）如圖被控系統(tǒng)，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，而且閉環(huán)系統(tǒng)的：超調(diào)量，峰值時(shí)間（超調(diào)時(shí)間），阻尼振蕩頻率。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)解：由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，可以得到被控系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)空間模型。容易檢驗(yàn)該系統(tǒng)是能控的，因此，可以通過(guò)狀態(tài)反饋來(lái)實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的任意極點(diǎn)配置。本題無(wú)開環(huán)零點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能完全由閉環(huán)極點(diǎn)所決定。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)由于所考慮的系統(tǒng)為3階系統(tǒng)，故有3個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。期望的3個(gè)極點(diǎn)可以這樣安排：一個(gè)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)性能影響極小，于是可將系統(tǒng)近似成只有一

17、對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)為的2階系統(tǒng)。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)-2階系統(tǒng)的阻尼比；-2階系統(tǒng)無(wú)阻尼自振頻率。由關(guān)系式：，當(dāng)，時(shí)，滿足上述條件。經(jīng)配置后（上式取等號(hào)）閉環(huán)系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)為：此時(shí)，取另一“遠(yuǎn)離虛軸”極點(diǎn)為故希望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式有兩種方法配置：（1）把它轉(zhuǎn)換成能控標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)行配置（書上）因?yàn)閭鬟f函數(shù)為，可直接寫出能控標(biāo)準(zhǔn)型。（2）直接配置 設(shè)反饋增益為所求的狀態(tài)反饋為 例5-7（例5.3.4）倒立擺系統(tǒng)的線性化狀態(tài)空間模型（對(duì)應(yīng)）為 ，其中 是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，是擺桿的角位移，是小車的位移，是作用在小車上的力。設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器，使系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)是解：開環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為 ，對(duì)應(yīng)極點(diǎn) 因此

18、，開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，這和直觀感受到的現(xiàn)象是一致的。以初始狀態(tài)的開環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)變量（左上，小車位移），（右上，小車速度），（左下，擺桿角位移），（右下，擺桿角速度）軌跡圖進(jìn)一步驗(yàn)證了這一事實(shí)，它們都遠(yuǎn)離原點(diǎn)，都是不穩(wěn)定的。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)但倒立擺系統(tǒng)是能控的，因此可以進(jìn)行極點(diǎn)配置，以保證閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。用直接法求得 閉環(huán)系統(tǒng)為 再在閉環(huán)系統(tǒng)中考察初始狀態(tài)的響應(yīng)，編制和執(zhí)行以下m-文件（參見），可得5.3.3 Ackermann公式Ackermann公式給出了極點(diǎn)配置的解析表達(dá)式，特別適合于編程計(jì)算。假設(shè)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，給定的期望閉環(huán)極點(diǎn)為，線性狀態(tài)反饋控制器為，得到閉環(huán)

19、系統(tǒng)狀態(tài)方程為 （5-20）則極點(diǎn)配置要求滿足 （5-21）根據(jù)凱萊-哈米爾頓定理，應(yīng)滿足其自身的特征方程，即 （5-22）為簡(jiǎn)化推導(dǎo)，以為例，可以方便地推廣到任意階的單輸入系統(tǒng)考慮恒等式 將上述等式分別并相加得即 應(yīng)用（5-22） （5-23）由于系統(tǒng)完全能控，能控性矩陣可逆，故 兩邊左乘，（最后一行的“提取”向量）可得 （5-24）顯然，此結(jié)果推廣到階單輸入系統(tǒng)。 （5-25）式中： （5-25）稱為Ackermann公式。5.3.4 應(yīng)用Matlab求解極點(diǎn)配置 Matlab提供了兩個(gè)函數(shù)acker和place來(lái)確定極點(diǎn)配置的增益矩陣。函數(shù)acker就是基于Ackermann公式，他只能

20、應(yīng)用到單輸入系統(tǒng)，要配置的閉環(huán)極點(diǎn)中可以包括多重極點(diǎn)。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)如果系統(tǒng)有多個(gè)輸入，則滿足條件的不唯一，從而有更多的自由度去選擇，如何利用這些自由度，使得系統(tǒng)具有給定的極點(diǎn)外，還具有一些其他附加功能，就是“多目標(biāo)控制”。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)一種方法就是在使得閉環(huán)系統(tǒng)具有給定極點(diǎn)的同時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度最大化，稱為“魯棒”極點(diǎn)配置法，Matlab函數(shù)place就是基于“魯棒”極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)的。盡管函數(shù)place適用于多輸入系統(tǒng)，但它要求在期望閉環(huán)極點(diǎn)中的相同極點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過(guò)輸入矩陣的秩。特別地，對(duì)單輸入系統(tǒng)，函數(shù)place要求閉環(huán)極點(diǎn)均不相同。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于

21、個(gè)人學(xué)習(xí)對(duì)單輸入系統(tǒng)，函數(shù)acker和place給定的增益矩陣相同。如果一個(gè)單輸入系統(tǒng)接近于不能控，即其能控性矩陣的行列式接近于零，則應(yīng)用acker函數(shù)可能會(huì)出現(xiàn)計(jì)算上的問(wèn)題，這種情況下，函數(shù)place可能是更合適的，但必須限制所期望的閉環(huán)極點(diǎn)均不相同。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)函數(shù)acker和place的一般形式為 （5-26） （5-27）是由個(gè)期望的閉環(huán)極點(diǎn)構(gòu)成的向量。得到反饋增益后，可以用命令來(lái)檢驗(yàn)閉環(huán)極點(diǎn)。例5-8（例5.3.6）線性化狀態(tài)空間為設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器，使系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)是，進(jìn)而對(duì)給定的初態(tài)，畫出閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線。解：執(zhí)行以下應(yīng)用acker函數(shù)編制的m-文件可

22、得 若執(zhí)行以下應(yīng)用place函數(shù)編制的m-文件則可得 對(duì)給定的初態(tài)，應(yīng)用函數(shù)畫出閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線，執(zhí)行以下m-文件 % 輸入A矩陣 % 輸入B矩陣 % 輸入期望特征值J向量；% 時(shí)間t從04（秒）間隔0.01秒取值； % 題頭打印Response to Initiai Condition (對(duì)初條件的響應(yīng)) % y軸打印x1 % y軸打印x2 % x軸打印t(sec) % y軸打印x3可得如圖所示響應(yīng)曲線。5.4 跟蹤控制器設(shè)計(jì)例5-9（例5.4.1）被控對(duì)象為設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器使系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)是，討論閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。解：被控對(duì)象為能控標(biāo)準(zhǔn)型，系統(tǒng)能控，特征多項(xiàng)式為 （1）于是系統(tǒng)開

23、環(huán)傳遞函數(shù)為（分母為特征多項(xiàng)式，分子為，而） （2）期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式為 （3）所要設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋增益矩陣為 （4）所以，相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣為 （5）對(duì)應(yīng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為（分母為期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式，分子為，而） （6）考察參考輸入為單位階躍函數(shù)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為例5-9圖2 閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)（有靜差）例5-9圖1 開環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)（無(wú)靜差）（）由（2）開環(huán)系統(tǒng)輸出穩(wěn)態(tài)值為 ，說(shuō)明開環(huán)系統(tǒng)無(wú)靜差（參見例5-9圖1）。而由（6）閉環(huán)系統(tǒng)輸出穩(wěn)態(tài)值為 ，閉環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生了靜態(tài)絕對(duì)誤差，相對(duì)誤差15%。（參見例5-9圖2）。 結(jié)果表明，極點(diǎn)配置盡管改善了閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，卻使穩(wěn)態(tài)性能變差了。

24、此外實(shí)際系統(tǒng)還不可避免的存在隨機(jī)擾動(dòng)（只知道其均值、方差等統(tǒng)計(jì)特性）和確定性擾動(dòng)（具有確定的函數(shù)形式）。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)實(shí)際中，許多系統(tǒng)都存在確定性擾動(dòng)，如陣風(fēng)對(duì)雷達(dá)天線的擾動(dòng)，海浪對(duì)船體縱搖或橫搖的擾動(dòng)，飛行體在大氣中受到氣浪的擾動(dòng)等，確定擾動(dòng)的函數(shù)形式如沖擊函數(shù)、階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、正弦函數(shù)等。此處只討論確定性擾動(dòng)。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)在諸如數(shù)控機(jī)床、導(dǎo)彈控制等實(shí)際控制中，常常要求閉環(huán)系統(tǒng)的輸出以給定精度跟蹤參考輸入信號(hào)，實(shí)現(xiàn)精確的跟蹤控制。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí) 以下針對(duì)外部階躍擾動(dòng)的線性時(shí)不變系統(tǒng)，提出一種能實(shí)現(xiàn)“無(wú)靜差”跟蹤參考輸入信號(hào)的漸近跟蹤調(diào)節(jié)器

25、設(shè)計(jì)方法。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)考慮以下狀態(tài)空間模型描述的維輸入、維輸出 是維擾動(dòng)輸入 （5-28） 假定系統(tǒng)的參考輸入是階躍輸入，階躍擾動(dòng)為，控制的目的是在存在階躍擾動(dòng)的情況下，仍希望閉環(huán)系統(tǒng)的輸出能很好地跟蹤參考輸入。為此，定義偏差向量 （5-29）文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)引入偏差向量的積分 （5-30） （5-31）在狀態(tài)方程中，將積分器的輸出選擇為狀態(tài)向量的分量，按此，也可以將選為狀態(tài)向量的分量，于是，綜合（5-28）、（5-31）可得“增廣系統(tǒng)”方程為文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí) （5-32）新的狀態(tài)向量是維的。對(duì)系統(tǒng)（5-32），若能設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器 （5-33）使增廣的閉環(huán)系統(tǒng)（5-33）代入（5-32） （5-34）是漸近穩(wěn)定的，此時(shí)，矩陣是非奇異的，可逆的。對(duì)（5-34）兩邊取變換，得到 （5-35）由終值定