整式的乘法與因式分解壓軸題解析

1、整式的乘法與因式分解【知識(shí)脈絡(luò)】【基礎(chǔ)知識(shí)】1單項(xiàng)式的乘法法則：單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式3 a2 b22abc=（32）（a2 b2 abc）=6 a3 b3c2單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則： a(b+c+d)= ab + ac + ad 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加 3多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：( a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加 4乘法公式： 完全平方公式

2、：（ab）2a22abb2 （ab）2a22abb2語言敘述：兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍平方差公式：（ab）（ab）a2b2語言敘述：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差5因式分解（難點(diǎn)）因式分解的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解 一、掌握因式分解的定義應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： （1）分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個(gè)要素缺一不可；（2）因式分解必須是恒等變形； （3）因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為止因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積

3、的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式二、熟練掌握因式分解的常用方法1、提公因式法（1）提公因式法的關(guān)鍵是找出公因式，公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：系數(shù)一各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母各項(xiàng)含有的相同字母；指數(shù)相同字母的最低次數(shù)；（2）提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式需注意的是，提取完公因式后，另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致，這一點(diǎn)可用來檢驗(yàn)是否漏項(xiàng)（3）注意點(diǎn)：提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡形式，即分解到“底”；如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的2、公式法運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用；

4、平方差公式： a2b2 （ab）（ab）完全平方公式：a22abb2（ab）2 a22abb2（ab）2【典例解析】例題1：數(shù)學(xué)家發(fā)明了一個(gè)魔術(shù)盒，當(dāng)任意數(shù)對(duì)（a，b）進(jìn)入其中時(shí)，會(huì)得到一個(gè)新的數(shù)：（a1）（b2）現(xiàn)將數(shù)對(duì)（m，1）放入其中，得到數(shù)n，再將數(shù)對(duì)（n，m）放入其中后，最后得到的數(shù)是m2+2m（結(jié)果要化簡）【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算【分析】根據(jù)題意的新定義列出關(guān)系式，計(jì)算即可得到結(jié)果【解答】解：根據(jù)題意得：（m1）（12）=n，即n=1m，則將數(shù)對(duì)（n，m）代入得：（n1）（m2）=（1m1）（m2）=m2+2m故答案為：m2+2m【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解

5、本題的關(guān)鍵例題2：乘法公式的探究與應(yīng)用：（1）如圖甲，邊長為a的大正方形中有一個(gè)邊長為b的小正方形，請(qǐng)你寫出陰影部分面積是a2b2（寫成兩數(shù)平方差的形式）（2）小穎將陰影部分裁下來，重新拼成一個(gè)長方形，如圖乙，則長方形的長是a+b，寬是ab，面積是（a+b）（ab）（寫成多項(xiàng)式乘法的形式）（3）比較甲乙兩圖陰影部分的面積，可以得到公式（兩個(gè)）公式1：（a+b）（ab）=a2b2公式2：a2b2=（a+b）（ab）（4）運(yùn)用你所得到的公式計(jì)算：10.39.7【考點(diǎn)】平方差公式的幾何背景【分析】（1）中的面積=大正方形的面積小正方形的面積=a2b2；（2）中的長方形，寬為ab，長為a+b，面積=長

6、寬=（a+b）（ab）；（3）中的答案可以由（1）、（2）得到（a+b）（ab）=a2b2；反過來也成立；（4）把10.39.7寫成（10+0.3）（100.3），利用公式求解即可【解答】解：（1）陰影部分的面積=大正方形的面積小正方形的面積=a2b2；（2）長方形的寬為ab，長為a+b，面積=長寬=（a+b）（ab）；故答案為：a+b，ab，（a+b）（ab）；（3）由（1）、（2）得到，公式1：（a+b）（ab）=a2b2；公式2：a2b2=（a+b）（ab）故答案為：（a+b）（ab），a2b2=（a+b）（ab）；（4）10.39.7=（10+0.3）（100.3）=1020.32=1

7、000.09=99.91例題3：如圖，將一邊長為a的正方形（最中間的小正方形）與四塊邊長為b的正方形（其中ba）拼接在一起，則四邊形ABCD的面積為（）Ab2+（ba）2 B b2+a2 C（b+a）2 D a2+2ab考點(diǎn)：勾股定理分析：先求出AE即DE的長，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可解答：解：DE=ba，AE=b，S四邊形ABCD=4SADE+a2=4（ba）b=b2+（ba）2故選：A點(diǎn)評(píng):本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵例題4：如圖1，我們?cè)?017年1月的日歷中標(biāo)出一個(gè)十字星，并計(jì)算它的“十字差”（將十字

8、星左右兩數(shù)，上下兩數(shù)分別相乘再將所得的積作差，稱為該十字星的“十字差”）該十字星的十字差為1012418=48，再選擇其他位置的十字星，可以發(fā)現(xiàn)“十字差”仍為48（1）如圖2，將正整數(shù)依次填入5列的長方形數(shù)表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的“十字差”也是一個(gè)定值，則這個(gè)定值為24（2）若將正整數(shù)依次填入k列的長方形數(shù)表中（k3），繼續(xù)前面的探究，可以發(fā)現(xiàn)相應(yīng)“十字差”為與列數(shù)k有關(guān)的定值，請(qǐng)用k表示出這個(gè)定值，并證明你的結(jié)論（3）如圖3，將正整數(shù)依次填入三角形的數(shù)表中，探究不同十字星的“十字差”，若某個(gè)十字星中心的數(shù)在第32行，且其相應(yīng)的“十字差”為2017，則這個(gè)十字星中心

9、的數(shù)為975（直接寫出結(jié)果）【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類【分析】（1）根據(jù)題意求出相應(yīng)的“十字差”，即可確定出所求定值；（2）定值為k21=（k+1）（k1），理由為：設(shè)十字星中心的數(shù)為x，表示出十字星左右兩數(shù)，上下兩數(shù)，進(jìn)而表示出十字差，化簡即可得證；（3）設(shè)正中間的數(shù)為a，則上下兩個(gè)數(shù)為a62，a+64，左右兩個(gè)數(shù)為a1，a+1，根據(jù)相應(yīng)的“十字差”為2017求出a的值即可【解答】解：（1）根據(jù)題意得：68212=4824=24；故答案為：24；（2）定值為k21=（k+1）（k1）；證明：設(shè)十字星中心的數(shù)為x，則十字星左右兩數(shù)分別為x1，x+1，上下兩數(shù)分別為xk，x+k（k3），十字差

10、為（x1）（x+1）（xk）（x+k）=x21x2+k2=k21，故這個(gè)定值為k21=（k+1）（k1）；（3）設(shè)正中間的數(shù)為a，則上下兩個(gè)數(shù)為a62，a+64，左右兩個(gè)數(shù)為a1，a+1，根據(jù)題意得：（a1）（a+1）（a62）（a+64）=2017，解得：a=975故答案為：975【跟蹤訓(xùn)練】1. 利用1個(gè)aa的正方形，1個(gè)bb的正方形和2個(gè)ab的矩形可拼成一個(gè)正方形（如圖所示），從而可得到因式分解的公式a2+2ab+b2=（a+b）22. 如圖，有正方形卡片A類、B類和長方形卡片C類各若干張，如果用這三類卡片拼一個(gè)長為2a+b、寬為a+2b的大長方形，通過計(jì)算說明三類卡片各需多少張？3.

11、已知a、b、c是ABC的三條邊，且滿足a2+bc=b2+ac，則ABC是（）A銳角三角形B鈍角三角形C等腰三角形D等邊三角形4. 在日歷上，我們發(fā)現(xiàn)某些數(shù)會(huì)滿足一定的規(guī)律，比如2016年1月份的日歷，我們?cè)O(shè)計(jì)這樣的算法：任意選擇其中的22方框，將方框中4個(gè)位置上的數(shù)先平方，然后交叉求和，再相減 請(qǐng)你按照這個(gè)算法完成下列計(jì)算，并回答以下問題2016年1月份的日歷日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031（1）計(jì)算：（12+92）（22+82）=14，=14，自己任選一個(gè)有4個(gè)數(shù)的方框進(jìn)行計(jì)算14（2）通過計(jì)算你發(fā)現(xiàn)什么

12、規(guī)律，并說明理由5. 已知（x+y）2=25，xy=，求xy的值6. 已知，則（a+b）2（ab）2的值為17. 一個(gè)多項(xiàng)式除以2m得1m+m2，這個(gè)多項(xiàng)式為2m2m2+2m36x2+5x6（2x+3）=（3x2）小玉和小麗做游戲，兩人各報(bào)一個(gè)整式，小玉報(bào)一個(gè)被除式，小麗報(bào)一個(gè)除式，要求商必須是3ab若小玉報(bào)的是3a2bab2，則小麗報(bào)的是ab；若小麗報(bào)的是9a2b，則小玉報(bào)的整式是27a3b2如圖甲、乙兩個(gè)農(nóng)民共有4塊地，今年他們決定共同投資搞飼養(yǎng)業(yè)，為此他們準(zhǔn)備將這4塊地?fù)Q成寬為（a+b）cm的地，為了使所換到的面積與原來地的總面積相等，交換之后的地的長應(yīng)為a+c m8. 閱讀下面的解答過

13、程，求y2+4y+8的最小值解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+44，（y+2）20即（y+2）2的最小值為0，y2+4y+8的最小值為4仿照上面的解答過程，求m2+m+4的最小值和4x2+2x的最大值參考答案：1. 利用1個(gè)aa的正方形，1個(gè)bb的正方形和2個(gè)ab的矩形可拼成一個(gè)正方形（如圖所示），從而可得到因式分解的公式a2+2ab+b2=（a+b）2【考點(diǎn)】因式分解-運(yùn)用公式法【分析】根據(jù)提示可知1個(gè)aa的正方形，1個(gè)bb的正方形和2個(gè)ab的矩形可拼成一個(gè)正方形，利用面積和列出等式即可求解【解答】解：兩個(gè)正方形的面積分別為a2，b2，兩個(gè)長方形的面積都為ab，組成的正方

14、形的邊長為a+b，面積為（a+b）2，所以a2+2ab+b2=（a+b）2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了運(yùn)用完全平方公式分解因式，關(guān)鍵是理解題中給出的各個(gè)圖形之間的面積關(guān)系2. 如圖，有正方形卡片A類、B類和長方形卡片C類各若干張，如果用這三類卡片拼一個(gè)長為2a+b、寬為a+2b的大長方形，通過計(jì)算說明三類卡片各需多少張？【考點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式【分析】根據(jù)長乘以寬，表示出大長方形的面積，即可確定出三類卡片的張數(shù)【解答】解：（2a+b）（a+2b）=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2，需要A類卡片2張，B類卡片2張，C類卡片5張3. 已知a、b、c是ABC的三條邊，且滿足a2+bc=b2+

15、ac，則ABC是（）A銳角三角形B鈍角三角形C等腰三角形D等邊三角形【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用【分析】已知等式左邊分解因式后，利用兩數(shù)相乘積為0兩因式中至少有一個(gè)為0得到a=b，即可確定出三角形形狀【解答】解：已知等式變形得：（a+b）（ab）c（ab）=0，即（ab）（a+bc）=0，a+bc0，ab=0，即a=b，則ABC為等腰三角形故選：C4. 在日歷上，我們發(fā)現(xiàn)某些數(shù)會(huì)滿足一定的規(guī)律，比如2016年1月份的日歷，我們?cè)O(shè)計(jì)這樣的算法：任意選擇其中的22方框，將方框中4個(gè)位置上的數(shù)先平方，然后交叉求和，再相減 請(qǐng)你按照這個(gè)算法完成下列計(jì)算，并回答以下問題2016年1月份的日歷日一二三四五六12

16、345678910111213141516171819202122232425262728293031（1）計(jì)算：（12+92）（22+82）=14，=14，自己任選一個(gè)有4個(gè)數(shù)的方框進(jìn)行計(jì)算14（2）通過計(jì)算你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，并說明理由【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算【分析】（1）先算乘法，再合并即可；（2）設(shè)最小的數(shù)字為n，則其余三個(gè)分別為n+8，n+1，n+7，根據(jù)題意得出算式n2+（n+8）2（n+1）2+（n+7）2，求出即可【解答】解：（1）（12+92）（22+82）=1+81464=14，=100+324121289=14，（32+112）（42+102）=9+12116100=14，故答

17、案為：14；（2）計(jì)算結(jié)果等于14，理由是：設(shè)最小的數(shù)字為n，則其余三個(gè)分別為n+8，n+1，n+7，所以n2+（n+8）2（n+1）2+（n+7）2=n2+n2+16n+64n22n1n214n49=145. 已知（x+y）2=25，xy=，求xy的值【考點(diǎn)】完全平方公式【分析】根據(jù)完全平方公式即可求出答案【解答】解：（x+y）2=x2+2xy+y2，25=x2+y2+，x2+y2=（xy）2=x22xy+y2，（xy）2=16xy=46. 已知，則（a+b）2（ab）2的值為1考點(diǎn)：因式分解-運(yùn)用公式法分析：首先利用完全平方公式展開進(jìn)而合并同類項(xiàng)，再將已知代入求出即可解答：解：（a+b）2

18、（ab）2=（a2+2ab+b2）（a22ab+b2）=4ab，將，代入上式可得：原式=4ab=4=1故答案為：1點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式的形式是解題關(guān)鍵7. 一個(gè)多項(xiàng)式除以2m得1m+m2，這個(gè)多項(xiàng)式為2m2m2+2m36x2+5x6（2x+3）=（3x2）小玉和小麗做游戲，兩人各報(bào)一個(gè)整式，小玉報(bào)一個(gè)被除式，小麗報(bào)一個(gè)除式，要求商必須是3ab若小玉報(bào)的是3a2bab2，則小麗報(bào)的是ab；若小麗報(bào)的是9a2b，則小玉報(bào)的整式是27a3b2如圖甲、乙兩個(gè)農(nóng)民共有4塊地，今年他們決定共同投資搞飼養(yǎng)業(yè)，為此他們準(zhǔn)備將這4塊地?fù)Q成寬為（a+b）cm的地，為了使所換到的面積與原來地的總面積相等，交換之后的地的長應(yīng)為a+c m考點(diǎn)：整式的混合運(yùn)算分析：利用2m乘1m+m2計(jì)算即可；把除式和商相乘即可；根據(jù)被除式商=除式，被除式=除式商列式計(jì)算即可；利用4塊土地?fù)Q成一塊地后的面積與原來4塊地的總面積相等，而原來4塊地的總面積=a2+bc+ac+ab，得到4塊土地?fù)Q成一塊地后面積為（a2+bc+ac+ab）米，又此塊地的寬為（a+b）米，根據(jù)矩形的面積公式得到此塊地的長=（a2+bc+ac+ab）（a+b），把被除式分解后再進(jìn)行除法運(yùn)