《循環(huán)群和置換群》PPT課件.ppt

1、2020/10/15,1,Lagrange定理,Lagrange 定理： |G| = |H| G:H 證明： 令G 的不同的陪集為Ha1, Ha2, , Har, |G| = |Ha1|+|Ha2|+|Har| = |H| r = |H| G:H,2020/10/15,2,Lagrange定理推論,推論 (1) 群的元素的階是群的階的因子. 證明：構(gòu)造子群 ，| = |a|. (2) 素?cái)?shù)階群一定是交換群（實(shí)際上是循環(huán)群）. 證明：|G| = p, p1, 存在非單位元a, |a| 的階是p 的因子，只能是 |a| = p. 故G=.,2020/10/15,3,循環(huán)群,定義10.7:設(shè)G是群，

2、若在G中存在一個(gè)元素a,使得G中的任意元素都是a的冪，則稱該群為循環(huán)群，元素a為循環(huán)群G的生成元。記G =.,2020/10/15,4,2020/10/15,4,例10.14(1-3),(1) 整數(shù)加群, 1,-1都是生成元 (2) 模p整數(shù)加群 除0外，每個(gè)元都是生成元 (3) 模n整數(shù)加群 與n互素的元都是生成元, 生成元不唯一,2020/10/15,5,2020/10/15,5,例10.14(4-6),(4) n階實(shí)矩陣加群 (5) n階實(shí)可逆矩陣乘法群； (6)集合A=1,2,3上所有的雙射函數(shù)關(guān)于映射復(fù)合構(gòu)成群S3=f1, f2, f3, f4, f5, f6， H1=f1, f2

3、H2=f1, f5 , f6,f1=, f2=, f3=, f4=, f5=, f6=,2020/10/15,6,循環(huán)群必是阿貝爾群,性質(zhì):任何一個(gè)循環(huán)群必為阿貝爾群。,證：設(shè)G為一個(gè)循環(huán)群，其生成元為a,則x,y G ，必r,sZ, s.t. x=ar ,y=as 而且， x*y=ar*as=ar+s=as+r=as+ar=y*x因此， G為一阿貝爾群,2020/10/15,7,階數(shù),有限群G的階數(shù)集合G的元素個(gè)數(shù).群G的階數(shù)記作|G|=n 元素a的階數(shù)r是使ar =e成立的最小正整數(shù),此時(shí)稱r為元素a的階.,2020/10/15,8,循環(huán)群分類,生成元的階無限，則G 為無限循環(huán)群 生成元a

4、 為n 階元，則G=e,a,a2,an1為 n 階循環(huán)群，循環(huán)群的階和生成元的階相等。 實(shí)例 為無限循環(huán)群 為n 階循環(huán)群,2020/10/15,9,循環(huán)群的生成元,定理10.11 G=是循環(huán)群 (1) 若G 是無限循環(huán)群，則G 的生成元是a 和a1; (2) 若G 是n 階循環(huán)群，則G 有(n)個(gè)生成元，當(dāng)n=1 時(shí)G=的生成元為e；當(dāng)n1 時(shí),r(rZ+rn),ar 是G 的生成元(n,r)=1.,2020/10/15,10,Euler函數(shù),Euler函數(shù)(n)：當(dāng)n1 時(shí)，(1)1；當(dāng)n1時(shí)，它的值(n)等于比n小而與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)。 考慮群(Zn*,)， Zn* 是Zn中所有可逆

5、元組成的集合，則|Zn*|= (n),2020/10/15,11,2020/10/15,11,例10.14(1-3),(1) 整數(shù)加群, 1,-1都是生成元 (2) 模p整數(shù)加群 除0外，每個(gè)元都是生成元 (3) 模n整數(shù)加群 與n互素的元都是生成元, 生成元不唯一,2020/10/15,12,證明思路：,(1) 證明a1 是生成元 證明若存在生成元b，則b=a 或a1. (2) 只需證明 (r,n)=1, 則ar 是生成元 反之，若ar 是生成元，則 (r,n)=1.,2020/10/15,13,證明,2020/10/15,14,循環(huán)群的子群,定理10.12 G=是循環(huán)群，那么 (1) G

6、的子群也是循環(huán)群 (2) 若G 是無限階，則G 的子群除e外也是無限階 (3) 若G 是n 階的，則對(duì)于n 的每個(gè)正因子d, 在G 中有且僅有一個(gè)d 階子群.,2020/10/15,15,證明思路：,(1) 子群H 中最小正方冪元am 為H 的生成元 (2) 若子群H=有限，ae, 則推出 |a| 有限. (3) 是d 階子群，然后證明唯一性.,2020/10/15,16,證明,2020/10/15,17,證明(續(xù)),2020/10/15,18,例10.16,G=為r階循環(huán)群，證明|at| = r/(t,r),證： 令|at| = s, (t, r) = d t =dp, r = dq r/(

7、t,r) = r/d = q 只要證s = q (at)q = (at)r/d = (ar)t/d= ep = e s | q (at)s= e ats=e r | ts q | ps q | s （p, q互素）,2020/10/15,19,實(shí)例,(1) , 求生成元、子群. 生成元為與12 互質(zhì)的數(shù)：1, 5, 7, 11 12 的正因子為1, 2, 3, 4, 6, 12， 子群：, , , (2) G=為12階群，求生成元和子群. 生成元為a2, a10, a14, a22 G的子群：, , , , ,2020/10/15,20,實(shí)例,(3) 為無限循環(huán)群，求生成元和子群. 生成元為a

8、, a1；子群為，i = 0,1,2,； (4) G=，求生成元和子群. 生成元：1, 1; 子群nZ, n = 0,1,2020/10/15,21,置換,定義：設(shè)A是一個(gè)非空有限集合，從集合A到A的一個(gè)雙射稱為A的一個(gè)置換 A 上的n 元置換：|A| = n 時(shí)A 上的一一變換 置換的表示法：令A(yù)= 1, 2, , n ,2020/10/15,22,2020/10/15,例10.14(6),(6)集合A=1,2,3上所有的雙射函數(shù)關(guān)于映射復(fù)合構(gòu)成群S3=f1, f2, f3, f4, f5, f6，,f1=, f2=, f3=, f4=, f5=, f6=,2020/10/15,23,置換舉

9、例,eg: A=1,2,3,4f: A A 12 23 34 41則f1, f2, f3, f4,2020/10/15,24,置換的表示法2 -k階輪換,輪換:(i1 i2ik) 不交輪換的分解式： = 12t, 其中 1,2,t,為不交輪換,(1 2 3 4),(1 3)(2 4),(1 4 3 2),(1),2020/10/15,25,置換的表示法2,(132)(5648),2020/10/15,26,n元置換的輪換表示,性質(zhì)： 任何n元置換都可以表成不交的輪換之積，并且表法是唯一的. =12t =12l,1,2,t =1,2,l ,2020/10/15,27,置換的表示法3,對(duì)換分解式：

10、 對(duì)換 ( i j ) =( j i ) (i1 i2ik) = (i1 i2) (i1 ik-1) (i1 ik),(1 2)(1 3)(1 4),(1 3)(2 4),(1 4)(1 3)(1 2),(1),2020/10/15,28,置換的表示法3,(132)(5648) =(13)(12)(56)(54)(58),2020/10/15,29,n元置換的對(duì)換表示,任意輪換都可以表成對(duì)換之積 對(duì)換可以有交 表法不唯一，但是對(duì)換個(gè)數(shù)的奇偶性不變,2020/10/15,30,奇置換、偶置換,奇置換：表成奇數(shù)個(gè)對(duì)換之積 偶置換：表成偶數(shù)個(gè)對(duì)換之積 奇置換與偶置換之間存在一一對(duì)應(yīng)，因此各有n!/2

11、個(gè),2020/10/15,31,置換的乘法與求逆,置換的乘法：函數(shù)的復(fù)合 例如：8元置換=(132)(5648)，=(18246573), 則 =(15728)(3)(4)(6)=(15728) 置換求逆：求反函數(shù) =(132)(5648)，-1=(8465)(231),2020/10/15,32,對(duì)稱群、置換群、交錯(cuò)群,令Sn為1,2,n上所有n元置換的集合. Sn關(guān)于置換乘法構(gòu)成群，稱為n元對(duì)稱群. Sn的子群稱為n元置換群. 所以偶置換的集合做成Sn的子群稱為n元交錯(cuò)群An. 例 3元對(duì)稱群S3=(1),(12),(13),(23),(123),(132) 3元交錯(cuò)群A3=(1),(12

12、3),(132),2020/10/15,33,置換群舉例,eg: A=1,2,3,4f: A A 12 23 34 41則f1, f2, f3, f4 對(duì)f復(fù)合做成一個(gè)置換群.,(1 2 3 4),(1 3)(2 4),(1 4 3 2),(1),2020/10/15,34,置換群中元素的階,元素的階 k 階輪換(i1 i2ik) 的階為k =12l 是不交輪換的分解式，則 |=|1|,|2|,|l|,2020/10/15,35,置換群子群,(1), Sn， n 元交錯(cuò)群An 2元子群,2020/10/15,36,置換群子群,S3=(1),(12),(13),(23),(123),(132) 子群6 個(gè) , S3, , , A3=,2020/10/15,37,置換群子群,S4=(1),(12),(13),(14),(23),(24),(34), (12)(34),(13)(24),(14)(23), (123),(132),(124),(14