機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)緒論概述.ppt

1、華僑大學(xué)廈門(mén)工學(xué)院 機(jī)械工程系,機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì),周劍花 電話學(xué)習(xí)參考書(shū),孫靖民. 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì). 機(jī)械工業(yè)出版社(教材) 陳立周. 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)方法. 冶金工業(yè)出版社 劉惟信. 機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì). 清華大學(xué)出版社 陳秀寧.機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì).杭州：浙江大學(xué)出版社 田福祥.機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)理論與應(yīng)用. 冶金工業(yè)出版社. ,目 錄,緒論 第一章 優(yōu)化設(shè)計(jì)概述 第二章 優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 第三章 一維搜索法 第四章 無(wú)約束優(yōu)化方法 第五章 約束優(yōu)化方法 第六章 多目標(biāo)優(yōu)化方法 第七章 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例,緒 論,一、優(yōu)化相關(guān)概念 二、機(jī)械的傳統(tǒng)設(shè)計(jì)到優(yōu)化設(shè)計(jì) 三、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的發(fā)展 四、機(jī)械

2、優(yōu)化設(shè)計(jì)的應(yīng)用概況,來(lái)源：優(yōu)化一語(yǔ)來(lái)自英文Optimization，其本意是尋優(yōu)的過(guò)程，最優(yōu)化可簡(jiǎn)寫(xiě)為Opt； 優(yōu)化過(guò)程：是尋找約束空間下給定函數(shù)取極大值或極小值的過(guò)程。,例如, 在右圖中，求得一維函數(shù) f(x) 最小值的條件為：若取 x*，則 f(x) 取得最小值 f(x*)。 目的是為了在完成某一任務(wù)時(shí)所作的努力最少、付出最小，而使其收益最大、效果最好。,優(yōu)化是萬(wàn)物演化的自然選擇和趨勢(shì),一、優(yōu)化相關(guān)概念,優(yōu)化設(shè)計(jì)：優(yōu)化原理與方法，在科學(xué)、工程和社會(huì)的實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，即為優(yōu)化設(shè)計(jì)。 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)：即把機(jī)械設(shè)計(jì)與優(yōu)化設(shè)計(jì)理論及方法相結(jié)合，借助電子計(jì)算機(jī)，自動(dòng)尋找實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案和最

3、佳設(shè)計(jì)參數(shù)。,例如，要求設(shè)計(jì)一個(gè)如右下圖所示的防洪堤壩。為了能防洪水，高度必須足以保證洪峰到來(lái)時(shí)，洪水不會(huì)漫入堤岸；堤壩的強(qiáng)度足以保證巨浪不會(huì)沖垮堤壩。同時(shí)希望得到一個(gè)省時(shí)省力省經(jīng)費(fèi)的設(shè)計(jì)方案。,獲得設(shè)計(jì)方案的過(guò)程是一個(gè)決策的過(guò)程，也是優(yōu)化的過(guò)程。,優(yōu)化過(guò)程就是求解一個(gè)付出最小、獲得效益最大的方案。,古諾雙頭模型 模型假設(shè)： 只有兩個(gè)公司 有相同的成本結(jié)構(gòu) （邊際成本c; ) 制造生產(chǎn)某種特定的產(chǎn)品 （甲公司生產(chǎn)q1個(gè)，乙公司生產(chǎn)q2個(gè)） 產(chǎn)品單位成本c 價(jià)格定位,古諾模型,如果你是甲公司，你準(zhǔn)備生產(chǎn)多少個(gè)q1，可以使得公司的利潤(rùn)最大?,反應(yīng)函數(shù)曲線 企業(yè)1的反應(yīng)函數(shù)： 企業(yè)2的反應(yīng)函數(shù)：,古

4、諾模型,反應(yīng)函數(shù)曲線,完全競(jìng)爭(zhēng)產(chǎn)量,壟斷產(chǎn)量,古諾均衡,古諾模型,古諾均衡,完全競(jìng)爭(zhēng)產(chǎn)量,壟斷產(chǎn)量,古諾均衡產(chǎn)量,機(jī)械設(shè)計(jì)方法,傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法 基于手工勞動(dòng)或簡(jiǎn)易計(jì)算工具。方法低效，一般只能獲得一個(gè)可行的設(shè)計(jì)方案。 傳統(tǒng)機(jī)械設(shè)計(jì)理論與方法包括疲勞壽命理論、強(qiáng)度理論、振動(dòng)理論 常憑經(jīng)驗(yàn)、試算、校核等方法。 現(xiàn)代優(yōu)化方法 基于計(jì)算機(jī)的應(yīng)用，設(shè)計(jì)過(guò)程包括： 從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型； 選擇合適的優(yōu)化方法求解數(shù)學(xué)模型。 特點(diǎn)：以人機(jī)配合或自動(dòng)搜索方式進(jìn)行，能從“所有的”的可行方案中找出“最優(yōu)的”的設(shè)計(jì)方案。,二、機(jī)械的傳統(tǒng)設(shè)計(jì)到優(yōu)化設(shè)計(jì),傳統(tǒng)設(shè)計(jì)到優(yōu)化設(shè)計(jì),人工試湊和定性分析的比較過(guò)程，被動(dòng)的重復(fù)分析

5、產(chǎn)品的性能經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)、近似計(jì)算、一般的安全壽命可行設(shè)計(jì)。,圖2: 現(xiàn)代優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程框圖,利用電子計(jì)算機(jī)主動(dòng)的設(shè)計(jì)產(chǎn)品參數(shù)，獲得最優(yōu)方案理論設(shè)計(jì)、精確計(jì)算、優(yōu)化設(shè)計(jì),優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般過(guò)程 1）建立確切反映問(wèn)題實(shí)質(zhì)并適合于優(yōu)化計(jì)算的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型； 2）選擇恰當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法，編寫(xiě)計(jì)算機(jī)語(yǔ)言程序； 3）求得數(shù)學(xué)模型的最優(yōu)解。,機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)是使某項(xiàng)機(jī)械設(shè)計(jì)在規(guī)定的各種設(shè)計(jì)限制條件下，優(yōu)選設(shè)計(jì)參數(shù)，使某項(xiàng)或幾項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)獲得最優(yōu)值。,工程設(shè)計(jì)上的“最優(yōu)值”(Optimum)或“最佳值”系指在滿(mǎn)足多種設(shè)計(jì)目標(biāo)和約束條件下所獲得的最令人滿(mǎn)意和最適宜的值。,工程案例,1、利用一化工優(yōu)化系統(tǒng)，對(duì)一化工廠進(jìn)行設(shè)計(jì)。根據(jù)

6、給定數(shù)據(jù)，在16小時(shí)內(nèi)，進(jìn)行16000各可行性設(shè)計(jì)的選擇，從中選擇一成本最低、產(chǎn)量最大的方案，并給出必須的精確數(shù)據(jù)。 傳統(tǒng)設(shè)計(jì)：一組工程師，一年時(shí)間，僅僅3個(gè)方案，且并非最優(yōu)。 2、美國(guó)BELL飛機(jī)公司利用優(yōu)化方法解決450個(gè)設(shè)計(jì)變量的大型結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題。一個(gè)機(jī)翼質(zhì)量減輕35%。 3、波音公司，在747的機(jī)身設(shè)計(jì)中受到了減輕質(zhì)量、縮短生產(chǎn)周期、降低成本的效果。 4、武漢鋼鐵公司從德國(guó)引進(jìn)的1700薄板軋機(jī)，經(jīng)該公司自主優(yōu)化后，就多盈利幾百萬(wàn)馬克。,優(yōu)化設(shè)計(jì)的作用（優(yōu)點(diǎn)）：,使傳統(tǒng)機(jī)械設(shè)計(jì)中，求解可行解上升為求解最優(yōu)解成為可能； 使傳統(tǒng)機(jī)械設(shè)計(jì)中，性能指標(biāo)的校核可以不再進(jìn)行； 使機(jī)械設(shè)計(jì)的部分評(píng)價(jià)

7、，由定性改定量成為可能； 大大提高了產(chǎn)品的設(shè)計(jì)質(zhì)量，從而提高了產(chǎn)品的質(zhì)量； 提高生產(chǎn)效率，降低產(chǎn)品開(kāi)發(fā)周期； ,機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的發(fā)展,1、古典優(yōu)化思想: 17世紀(jì)，利用微分學(xué)和變分學(xué)的解析解法。 僅能解決簡(jiǎn)單的極值問(wèn)題 2、經(jīng)典優(yōu)化方法：20世紀(jì)40年代，數(shù)學(xué)規(guī)劃方法 可求解包含等式約束和不等式約束的復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題。,3、現(xiàn)代優(yōu)化設(shè)計(jì)： 20世紀(jì)80年代出現(xiàn)許多現(xiàn)代優(yōu)化算法：模擬退火算法、遺傳算法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、蟻群優(yōu)化算法等。 并從狹義優(yōu)化設(shè)計(jì)（零部件參數(shù)）轉(zhuǎn)向廣義優(yōu)化設(shè)計(jì)（面向產(chǎn)品的全系統(tǒng)、設(shè)計(jì)全過(guò)程、全壽命周期）。例如,針對(duì)涉及多領(lǐng)域復(fù)雜系統(tǒng)的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化。,線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、幾何

8、規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃和混合離散規(guī)劃等。優(yōu)化設(shè)計(jì)從無(wú)約束有約束優(yōu)化問(wèn)題；連續(xù)變量離散變量；確定型隨機(jī)型模型；單目標(biāo)優(yōu)化多目標(biāo)優(yōu)化。,三、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的發(fā)展,機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)是機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)發(fā)展較早的領(lǐng)域。國(guó)內(nèi)近年來(lái)才開(kāi)始重視，但發(fā)展迅速，在機(jī)構(gòu)綜合、機(jī)械的通用零部件的設(shè)計(jì)、工藝設(shè)計(jì)方面都得到應(yīng)用。,在機(jī)械設(shè)計(jì)方面的應(yīng)用較晚，從國(guó)際范圍來(lái)說(shuō)，是在上世紀(jì)60年代后期才得到迅速發(fā)展的。,機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的應(yīng)用概況,優(yōu)化設(shè)計(jì)本身存在的問(wèn)題和某些發(fā)展趨勢(shì)主要有以下幾方面：,四、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的應(yīng)用概況,1、目前優(yōu)化設(shè)計(jì)多數(shù)還局限在參數(shù)最優(yōu)化這種數(shù)值量?jī)?yōu)化問(wèn)題。結(jié)構(gòu)型式的選擇還需進(jìn)一步研究解決； 2、優(yōu)化設(shè)計(jì)這門(mén)新

9、技術(shù)在傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)中普及率還不高； 3、把優(yōu)化設(shè)計(jì)與CAD、專(zhuān)家系統(tǒng)結(jié)合起來(lái)是優(yōu)化設(shè)計(jì)發(fā)展的趨勢(shì)之一。,優(yōu)化設(shè)計(jì)的思想廣泛的應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)和國(guó)防等各部門(mén)，解決諸如生產(chǎn)規(guī)劃、經(jīng)濟(jì)管理、能源利用、產(chǎn)品設(shè)計(jì)、工藝過(guò)程設(shè)計(jì)、控制系統(tǒng)等方面的最優(yōu)化問(wèn)題，它是促進(jìn)技術(shù)進(jìn)步和國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展的一種有效方法。,本課程的目的和任務(wù),1、了解和基本掌握機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本知識(shí)； 2、初步具有應(yīng)用機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本理論和基本方法解決簡(jiǎn)單工程實(shí)際問(wèn)題的能力；,第一章 優(yōu)化設(shè)計(jì)概述,一、優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題引例 二、優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型 三、優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的基本解法,一、引例,現(xiàn)用薄板制造一體積為100m3，長(zhǎng)度不小于5m的無(wú)上

10、蓋的立方體貨箱，要求該貨箱的鋼板耗費(fèi)量最少，試確定貨箱的長(zhǎng)、寬、高尺寸。,分析： （1）目標(biāo)：用料最少，即貨箱的表面積最小。 （2）設(shè)計(jì)參數(shù)確定：長(zhǎng)x1 、寬x2 、高x3； （3）設(shè)計(jì)約束條件： （a）體積要求 （b）長(zhǎng)度要求,貨箱的優(yōu)化設(shè)計(jì),數(shù)學(xué)模型,設(shè)計(jì)參數(shù)：,設(shè)計(jì)目標(biāo)：,約束條件：,最大產(chǎn)值生產(chǎn)資源分配問(wèn)題,已知：某工廠生產(chǎn)A和B兩種產(chǎn)品，A產(chǎn)品單位價(jià)格為PA萬(wàn)元，B產(chǎn)品單位價(jià)格為PB萬(wàn)元。每生產(chǎn)一個(gè)單位A產(chǎn)品需消耗煤aC噸，電aE度，aL個(gè)工時(shí)；每生產(chǎn)一個(gè)單位B產(chǎn)品需消耗煤bC噸，電bE度，bL個(gè)工時(shí)?，F(xiàn)有可利用生產(chǎn)資源煤C噸，電E度，L個(gè)工時(shí)，欲找出其最優(yōu)分配方案，使產(chǎn)值最大。,（

11、1）目標(biāo)：產(chǎn)值的表達(dá)式； （2）設(shè)計(jì)參數(shù)確定：A產(chǎn)品xA、B產(chǎn)品xB （3）設(shè)計(jì)約束條件： （a）生產(chǎn)資源煤約束； （b）生產(chǎn)資源電約束； （c）生產(chǎn)資源工時(shí)約束；,分析：,數(shù)學(xué)模型,設(shè)計(jì)參數(shù)：,設(shè)計(jì)目標(biāo)：,約束條件：,已知：傳動(dòng)比i，轉(zhuǎn)速n，傳動(dòng)功率P，大小齒輪的材料，設(shè)計(jì)該齒輪副，使其重量最輕。,直齒圓柱齒輪副的優(yōu)化設(shè)計(jì),（1）目標(biāo)：圓柱齒輪的體積V或重量w最??； （2）設(shè)計(jì)參數(shù)確定：模數(shù)m、齒寬b、齒數(shù)z1 （3）設(shè)計(jì)約束條件： （a）大、小齒輪滿(mǎn)足彎曲強(qiáng)度要求； （b）齒輪副滿(mǎn)足接觸疲勞強(qiáng)度要求； （c）齒寬系數(shù)要求； （d）最小齒數(shù)要求,分析：,數(shù)學(xué)模型,設(shè)計(jì)參數(shù)：,設(shè)計(jì)目標(biāo)：,約束

12、條件：,二、優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型是描述實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題的設(shè)計(jì)內(nèi)容、變量關(guān)系、有關(guān)設(shè)計(jì)條件和意圖的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。,優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的三大要素： 設(shè)計(jì)變量 約束條件 目標(biāo)函數(shù),實(shí)際問(wèn)題表達(dá)成的函數(shù)類(lèi)型很多： 確定型、不確定型函數(shù)； 線形、非線形（二次、高次、超越）函數(shù)。 變量類(lèi)型也很多： 連續(xù)、離散、隨機(jī)變量等等。 產(chǎn)生很多的優(yōu)化算法： 無(wú)約束優(yōu)化、約束優(yōu)化： 單目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化、多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化； 連續(xù)變量?jī)?yōu)化、離散變量?jī)?yōu)化、隨機(jī)變量?jī)?yōu)化。,1、設(shè)計(jì)變量,一個(gè)設(shè)計(jì)方案可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來(lái)表示，這些基本參數(shù)可以構(gòu)件幾何量（

13、如尺寸、位置等），也可以是物理量（如質(zhì)量、頻率等），還可以是應(yīng)力、變形等表示工作性能的導(dǎo)出量以及非物理量（如壽命、成本等）。 在設(shè)計(jì)過(guò)程中進(jìn)行選擇并最終必須確定的各項(xiàng)獨(dú)立的基本參數(shù)，稱(chēng)作設(shè)計(jì)變量，又叫做優(yōu)化參數(shù)。在優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中設(shè)計(jì)變量是不斷修改、調(diào)整，一直處于變化狀態(tài)。,設(shè)計(jì)變量的全體實(shí)際上是一組變量，可用一個(gè)列向量表示。設(shè)計(jì)變量的數(shù)目稱(chēng)為優(yōu)化設(shè)計(jì)的維數(shù)，如n個(gè)設(shè)計(jì)變量，則稱(chēng)為n維設(shè)計(jì)問(wèn)題。,由n個(gè)設(shè)計(jì)變量 為坐標(biāo)所組成的實(shí)空間稱(chēng)作設(shè)計(jì)空間。一個(gè)“設(shè)計(jì)”，可用設(shè)計(jì)空間中的一點(diǎn)表示。 按照產(chǎn)品設(shè)計(jì)變量的取值特點(diǎn)，設(shè)計(jì)變量可分為連續(xù)變量（例如軸徑、輪廓尺寸等）和離散變量（例如各種標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格等）。,

14、只有兩個(gè)設(shè)計(jì)變量的二維設(shè)計(jì)問(wèn)題可用圖1中（a）所示的平面直角坐標(biāo)表示；有三個(gè)設(shè)計(jì)變量的三維設(shè)計(jì)問(wèn)題可用圖1中（b）所表示的空間直角坐標(biāo)表示。,圖1 設(shè)計(jì)變量所組成的設(shè)計(jì)空間 （a）二維設(shè)計(jì)問(wèn)題 （b）三維設(shè)計(jì)問(wèn)題,設(shè)計(jì)空間設(shè)計(jì)點(diǎn)的集合（ 維實(shí)歐氏空間 ）。,當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)連續(xù)時(shí), 為直線; 為平面; 為立體空間; 為超越空間.,設(shè)計(jì)空間的維數(shù)表征設(shè)計(jì)的自由度，設(shè)計(jì)變量愈多，則設(shè)計(jì)的自由度愈大，可供選擇的方案愈多，設(shè)計(jì)愈靈活，但難度亦愈大，求解亦愈復(fù)雜。 小型設(shè)計(jì)問(wèn)題：一般含有210個(gè)設(shè)計(jì)變量； 中性設(shè)計(jì)問(wèn)題：1050個(gè)設(shè)計(jì)變量； 大型設(shè)計(jì)問(wèn)題：50個(gè)以上的設(shè)計(jì)變量。 目前已能解決200個(gè)設(shè)計(jì)變量的大

15、型最優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。,如何選定設(shè)計(jì)變量？,任何一項(xiàng)產(chǎn)品，是眾多設(shè)計(jì)變量標(biāo)志結(jié)構(gòu)尺寸的綜合體。變量越多，可以淋漓盡致地描述產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，但會(huì)增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模過(guò)大。所以選擇設(shè)計(jì)變量時(shí)應(yīng)注意一下幾點(diǎn)： 抓主要，舍次要 對(duì)產(chǎn)品性能和結(jié)構(gòu)影響大的參數(shù)可取為設(shè)計(jì)變量，影響小的可先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取為試探性的常量，有的甚至不考慮； 根據(jù)要解決的設(shè)計(jì)問(wèn)題的特殊性來(lái)選擇設(shè)計(jì)變量。,2、約束條件,設(shè)計(jì)空間是所有設(shè)計(jì)方案的集合，但這些設(shè)計(jì)方案有些是工程上不能接受的。如一個(gè)設(shè)計(jì)滿(mǎn)足所有對(duì)它提出的要求，就稱(chēng)為可行設(shè)計(jì)。 一個(gè)可行設(shè)計(jì)必須滿(mǎn)足某些設(shè)計(jì)限制條件，這些限制條件稱(chēng)作約束條件，簡(jiǎn)稱(chēng)約束。, 根據(jù)約束性質(zhì)分： 性能約

16、束針對(duì)性能要求而提出的限制條件。如選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿(mǎn)足受力的強(qiáng)度、剛度或穩(wěn)定性要求等； 側(cè)面約束（邊界約束）針對(duì)設(shè)計(jì)變量的取值 范圍加以限制的約束。如允許機(jī)床主軸選擇的尺寸范圍，對(duì)軸段長(zhǎng)度的限定范圍等。,分類(lèi), 顯式約束和隱式約束 約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設(shè)計(jì)變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系，有的只能表示成隱式形式，如復(fù)雜結(jié)構(gòu)中的性能約束函數(shù)（變形、應(yīng)力、頻率等），需要通過(guò)有限元等方法計(jì)算求得。, 根據(jù)數(shù)學(xué)表達(dá)式的形式分：,等式約束：,不等式約束：,可行域：凡滿(mǎn)足所有約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)，它在設(shè)計(jì)空間的活動(dòng)范圍。（對(duì)應(yīng)不可行域）,如右下圖所示滿(mǎn)足兩項(xiàng)約束條件的二維設(shè)計(jì)問(wèn)題的可行域D為ABC涵蓋

17、區(qū)域，包括線段AC和圓弧ABC在內(nèi)。,約束條件：,一般情況下，設(shè)計(jì)可行域可表示為：,不可行域: 可行點(diǎn)和不可行點(diǎn) D內(nèi)的設(shè)計(jì)點(diǎn)為可行點(diǎn),否則為不可行點(diǎn)（外點(diǎn)）。 邊界點(diǎn)與內(nèi)點(diǎn) 約束邊界上的可行點(diǎn)為邊界點(diǎn),其余可行點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)。 起作用的約束與不起作用的約束,滿(mǎn)足 的約束為起作用約束,否則為不起作用的約束.(等式約束一定是起作用約束),3、目標(biāo)函數(shù),為了對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行定量評(píng)價(jià)，必須構(gòu)造包含設(shè)計(jì)變量的評(píng)價(jià)函數(shù)，它是優(yōu)化的目標(biāo)，稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù)。用它可以評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案的好壞，所以它又被稱(chēng)作評(píng)價(jià)函數(shù)。記作：,在優(yōu)化過(guò)程中，通過(guò)設(shè)計(jì)變量的不斷想f(x)值改善的方向自動(dòng)調(diào)整，最后求得的f(x)最好或最滿(mǎn)意的x值。在構(gòu)造

18、目標(biāo)函數(shù)時(shí)，應(yīng)注意目標(biāo)函數(shù)必須包含全部設(shè)計(jì)變量。在機(jī)械設(shè)計(jì)中，可作為參考目標(biāo)函數(shù)的有： 最小體積，最輕重量，最高效率，最大承載能力，最小振幅或噪聲，最小成本，最高利潤(rùn)等等。,通常,在最優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題中，可以只有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)稱(chēng)為單目標(biāo)函數(shù)。當(dāng)在同一設(shè)計(jì)中要提出多個(gè)目標(biāo)函數(shù)時(shí)，這種問(wèn)題稱(chēng)為多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題。在一般的機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，多目標(biāo)函數(shù)的情況較多。目標(biāo)函數(shù)愈多，設(shè)計(jì)的綜合效果愈好，但問(wèn)題的求解亦愈復(fù)雜。,在實(shí)際工程設(shè)計(jì)問(wèn)題中，常常會(huì)遇到在多目標(biāo)的某些目標(biāo)之間存在矛盾的情況，這就要求設(shè)計(jì)者正確處理各目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系。 目前處理多目標(biāo)設(shè)計(jì)問(wèn)題常用的方法是組合成一個(gè)復(fù)合的目標(biāo)函數(shù)，如采用線性

19、加權(quán)的形式，即,目標(biāo)函數(shù)的等值線（面）,c為一系列常數(shù)，代表一族n維超曲面。如在二維設(shè)計(jì)空間中，f（x1，x2）=c代表x1-x2設(shè)計(jì)平面上的一族曲線。對(duì)于具有相等目標(biāo)函數(shù)值的設(shè)計(jì)點(diǎn)構(gòu)成的平面曲線或曲面稱(chēng)為等值線或等值面。,目標(biāo)函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖形只能在n+1維空間中描述出來(lái)。為了在n維設(shè)計(jì)空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情況，常采用目標(biāo)函數(shù)等值線（面）的方法。 目標(biāo)函數(shù)的等值線（面）的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：,如上圖表示目標(biāo)函數(shù)f(x)與兩個(gè)設(shè)計(jì)變量x1和x2所構(gòu)成的關(guān)系曲面上的等值線，它是由許多具有相等目標(biāo)函數(shù)值的設(shè)計(jì)點(diǎn)構(gòu)成的平面曲線。當(dāng)給目標(biāo)函數(shù)以不同值時(shí)，可得到一系列的等值線，它們構(gòu)成目標(biāo)

20、函數(shù)的等值線族。在極值處目標(biāo)函數(shù)的等值線聚成一點(diǎn)，并位于等值線族的中心。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)值的變化范圍一定時(shí)，等值線愈稀疏說(shuō)明目標(biāo)函數(shù)值的變化愈平緩。利用等值線的概念可用幾何圖形形象地表現(xiàn)出目標(biāo)函數(shù)的變化規(guī)律。,函數(shù)的等值線圖。從等值線上，可以清楚地看到函數(shù)值的變化情況。其中f=40的等值線就是使各點(diǎn)所組成的連線。,等值線,等值線的“心”（以二維為例）,一個(gè)“心”：是單峰函數(shù)的極（?。┲迭c(diǎn)，是全局極（?。┲迭c(diǎn)。 沒(méi)有“心”：例，線性函數(shù)的等值線是平行的，無(wú)“心”，認(rèn)為極值點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處。 多個(gè)“心”：不是單峰函數(shù)，每個(gè)極（?。┲迭c(diǎn)只是局部極（?。┲迭c(diǎn)，必須通過(guò)比較各個(gè)極值點(diǎn)和“鞍點(diǎn)”（須正確判別）的值，

21、才能確定極（?。┲迭c(diǎn)。,等值（線）面：,4、優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)形式,求設(shè)計(jì)變量向量,使目標(biāo)函數(shù),滿(mǎn)足約束條件,設(shè)可以同時(shí)滿(mǎn)足上述約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)的集合為R，則可簡(jiǎn)化為求X使,最優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)通常為求目標(biāo)函數(shù)的最小值。若目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)為可行域中的最大值，則可以看成是-f(x)的最小值，當(dāng)然也可看成是求1/f(x)的極小值。,對(duì)于復(fù)雜的問(wèn)題，要建立能反映客觀工程實(shí)際的、完善的數(shù)學(xué)模型往往會(huì)遇到很多困難，有時(shí)甚至比求解更為復(fù)雜。這時(shí)要抓住關(guān)鍵因素，適當(dāng)忽略不重要的成分，使問(wèn)題合理簡(jiǎn)化，以易于列出數(shù)學(xué)模型，這樣不僅可節(jié)省時(shí)間，有時(shí)也會(huì)改善優(yōu)化結(jié)果。,建立優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的一般步驟,根據(jù)

22、設(shè)計(jì)要求，應(yīng)用專(zhuān)業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗(yàn)等，對(duì)優(yōu)化對(duì)象進(jìn)行分析； 對(duì)設(shè)計(jì)問(wèn)題各參數(shù)進(jìn)行分析，以確定設(shè)計(jì)的原始參數(shù)、設(shè)計(jì)常數(shù)和設(shè)計(jì)變量； 根據(jù)設(shè)計(jì)要求，確定并構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和相應(yīng)的約束條件，有時(shí)要構(gòu)造多目標(biāo)函數(shù)； 必要時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行規(guī)范化，以消除各組成項(xiàng)間由于量綱不同等原因?qū)е碌臄?shù)量懸殊的影響。,5、優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的分類(lèi),（1）按有無(wú)約束條件分： 無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題 約束優(yōu)化問(wèn)題 （2）按約束條件和目標(biāo)函數(shù)是否同時(shí)為線性分： 線性規(guī)劃問(wèn)題 非線性規(guī)劃問(wèn)題（居多） （3）按問(wèn)題規(guī)模的大小分： 大型：設(shè)計(jì)變量和約束條件的個(gè)數(shù)在50以上 中型：設(shè)計(jì)變量和約束條件的個(gè)數(shù)在1050 小型：設(shè)計(jì)變量和約束條件

23、的個(gè)數(shù)在10個(gè)以下,6、優(yōu)化問(wèn)題的幾何解釋和基本解,（1）無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題 設(shè)計(jì)空間內(nèi)，目標(biāo)函數(shù)是以等值線的形式反映出來(lái)，其極小點(diǎn)是等值面的中心。,（2）約束優(yōu)化問(wèn)題 極小點(diǎn)在可行域內(nèi)或在可行域邊界上,通過(guò)二維優(yōu)化問(wèn)題求解直觀描述優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本思想。,例1：如下二維非線性規(guī)劃問(wèn)題,目標(biāo)函數(shù)等值線是以點(diǎn)(2,0)為圓心的一組同心圓。如不考慮約束，本例的無(wú)約束最優(yōu)解是：,約束方程所圍成的可行域是D。,圖解法求解,例2：,解：先畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)等值線，再畫(huà)出約束曲線，本處約束曲線是一條直線，這條直線就是容許集。而最優(yōu)點(diǎn)就是容許集上使等值線具有最小值的點(diǎn)。 由圖易見(jiàn)約束直線與等值線的切點(diǎn)是最優(yōu)點(diǎn)，利用解析幾

24、何的方法得到：,該切點(diǎn)為,對(duì)應(yīng)的最優(yōu)值為,練習(xí)：,由示例可知，對(duì)二維最優(yōu)化問(wèn)題，可采用圖解法求解，而對(duì)三維或高維問(wèn)題，已不便在平面上作圖，此法失效。在三維和三維以上空間中，使目標(biāo)函數(shù)取同一常數(shù)值稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù)的等值面。,不同值的等值面之間不相交，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)是單值函數(shù)； 等值面稠的地方，目標(biāo)函數(shù)值變化的較快，而稀疏的地方變化的比較慢； 一般地，在極值點(diǎn)附近，等值面（線）近似呈現(xiàn)為同心橢圓球面族（橢圓族）。,等值面具有以下性質(zhì)：,極值點(diǎn)在多角形的某個(gè)頂點(diǎn)上,極值點(diǎn)在等值線中心,極值點(diǎn)在約束曲線與等值線的切點(diǎn)上,極值點(diǎn)在約束曲線與等值線的切點(diǎn)上,極值點(diǎn)在兩個(gè)約束曲線的交點(diǎn)上,三、優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的基本解法,1、解析解法：根據(jù)函數(shù)極值的必要條件和充分條件求得其最優(yōu)解析解的求解方法，適用于目標(biāo)函數(shù)比較簡(jiǎn)單的情況。,2數(shù)值的近似解法：又稱(chēng)為數(shù)值迭代方法，它是根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的變化規(guī)律，以適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)沿著能使目標(biāo)函數(shù)值下降的方向，逐步向目標(biāo)函數(shù)值的最優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行探索，逐步逼近到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)或直至達(dá)到最優(yōu)點(diǎn)。數(shù)值解法是優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的基本解法，其中也可能用到解析解法。 數(shù)值解法更能適應(yīng)計(jì)算機(jī)的工作特點(diǎn)： 1）數(shù)值計(jì)算而不是數(shù)學(xué)分析； 2）具有簡(jiǎn)單邏輯結(jié)構(gòu)并能進(jìn)行反復(fù)的同樣的算術(shù)計(jì)算； 3）最后得到的是逼近精確解的近似解。,數(shù)值迭代法的基本思路：搜索、迭代、逼近即進(jìn)