第五章_傅里葉變換的應(yīng)用1

1、第五章傅里葉變換的應(yīng)用5.1 頻域系統(tǒng)函數(shù)5.2 利用頻域系統(tǒng)函數(shù)求響應(yīng)5.3 無失真?zhèn)鬏?.4 理想低通濾波器5.5 系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性、佩利-維納準(zhǔn)則5.7 調(diào)制與解調(diào)5.9 從抽樣信號恢復(fù)連續(xù)時間信號1重點 掌握頻域系統(tǒng)函數(shù)的定義、計算方法及其物理意義； 傅里葉分析法和拉氏變換分析法的優(yōu)缺點； 信號經(jīng)系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏敆l件； 理想濾波器的頻率特性與理想低通濾波器的時頻特性； 調(diào)制與解調(diào)。2難點 系統(tǒng)頻域系統(tǒng)函數(shù)的物理意義； 系統(tǒng)的傅里葉分析方法； 系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性； 調(diào)制與解調(diào)；35.2 利用頻域系統(tǒng)函數(shù)求響應(yīng)濾波5.3 無失真?zhèn)鬏?.5 系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性45.9 從抽樣信號恢復(fù)連續(xù)時間

2、信號抽樣5.10 脈沖編碼調(diào)制調(diào)制5.7 調(diào)制和解調(diào)5.4 理想低通濾波器5.1頻域系統(tǒng)函數(shù)e(t)r(t) = e(t)*h(t)時域E(s)R(s) = E(s)H(s)s域頻域R( jw) = E( jw)H( jw)E( jw)（傅里葉變換域）5H( jw)H (s)h(t)激勵與響應(yīng)的關(guān)系：頻域系統(tǒng)函數(shù)的定義和物理意義 H（jw) = FTh(t)或定義：零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換為R( jw) = H ( jw)E( jw) = H ( jw) e jj (w ) E( jw)頻域系統(tǒng)函數(shù)的功能：改變輸入信號的頻譜1、對信號各頻率分量進(jìn)行加權(quán)，某些頻率分量增強(qiáng) 而另一些分量則相對削弱或

3、不變。2、每個頻率分量在傳輸過程中都產(chǎn)生各自的相移。6H ( jw) = R( jw)E( jw)利用系統(tǒng)函數(shù)H ( jw) 求響應(yīng)5.2H( jw)描述正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的頻響特性。jj (w )H (s) |s= jw = H ( jw) =| H ( jw) | eH ( jw)為系統(tǒng)函數(shù)，即是系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的傅里葉變換，即H( jw) = FTh(t)兩者相等的條件為H(s)在虛軸上及右半平面無極點（穩(wěn)定系統(tǒng)）。FTh(t) = H( jw) = H(s) |s= jw7例5-2如圖所示RC低通網(wǎng)絡(luò)，輸入v1 (t)如圖所示矩形脈沖,利用傅里葉分析法求v2 (t)。v1(t)RE+v2

4、 (t)-+Cv1(t)-t0tRC低通網(wǎng)絡(luò)輸入信號波形11H (s) = V2 (s) = sC= RC（解：11V1 (s)R +s +sCRC8穩(wěn)定系統(tǒng)）1H ( jw)= RC H ( jw ) = H (s)s= jw1jw +RC令a = 1, H ( jw) = a0wa +jwRC 低通濾波器由圖 v1 (t) = E u(t) - u(t -t )EjwEjwV ( jw) = Epd (w) +- Epd (w)e- jwte- jwt-1Ejw(1- e- jwt )=9V2 ( jw) = H ( jw)V1 ( jw)V( jw) = aEjw(1- e- jwt )

5、jw +a2EjwEa +(1- e- jwt ) -(1- e- jwt )=jwv (t) = Eu(t) - u(t -t )-at-a (t -t )u(t -t )u(t) -Eee2= E(1- e-at )u(t) - E(1- e-a (t -t ) )u(t -t )10v1(t)v2 (t)EEt0tt0t輸入信號波形輸出信號的失真波形V2 ( jw)V ( jw)1頻譜發(fā)生改變0w0w輸入信號的頻譜的高頻分量比起低頻分量受到較嚴(yán)重的衰減輸出信號的波形發(fā)生了失 利用頻域的系統(tǒng)函數(shù) H ( jw)要表現(xiàn)在上升和下降特性上。物理概念比較清楚，但求解不如拉氏變換法簡便。一般使用s

6、域系統(tǒng)函數(shù)求響應(yīng)。11系統(tǒng)響應(yīng)頻域分析小結(jié)優(yōu)點：可以直觀地體現(xiàn)信號通過系統(tǒng)后信號頻譜的改變，解釋激勵與響應(yīng)時域波形的差異，物理概念清楚。不足：（1） 只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 仍需按時域方法求解。（2） 頻域分析法中，傅立葉反變換常較復(fù)雜。解決方法：采用拉普拉斯變換系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)頻域分析方法與卷積積分法的關(guān)系： 傅里葉變換的時域卷積定理是聯(lián)系的橋梁。125.3無失真?zhèn)鬏斠?、信號失真原因線性系統(tǒng)引起的信號失真有兩方面： 幅度失真：系統(tǒng)對信號中各頻率分量幅度產(chǎn)生不同程度的衰減，使響應(yīng)分量的相對幅度發(fā)生變化。相位失真：系統(tǒng)對各頻率分量產(chǎn)生的相移不與頻率成正比，使響應(yīng)的各頻率分量在時

7、間軸上的相對位置發(fā)生變化。兩者都不產(chǎn)生新的頻率分量。13二、信號無失真?zhèn)鬏數(shù)母拍睿〞r域波形傳輸不變）無失真：指響應(yīng)信號與激勵信號相比，只是大小與 出現(xiàn)的時間不同，沒有波形上的變化。無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件是r(t)e(t)ttt0K是一常數(shù)，t0為滯后時間。滿足無失真條件時，r(t)波形是e(t)波形經(jīng)t0時間的滯后。14線性網(wǎng)絡(luò)H ( jw) = Ke- jwt0r(t) = Ke(t - t0 )三、信號無失真?zhèn)鬏敆l件（對系統(tǒng)的要求）1、從頻域看系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏敆l件r(t) = Ke(t - t0 )R( jw ) = KE( jw )e- jw t0兩邊取傅里葉變換R( jw) = H( jw)E

8、( jw)即要求系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性為常數(shù)K；相頻響應(yīng)為一通過原點的直線(-wt0 )。15j (w ) = -wt0H ( jw )= KH ( jw ) = Ke- jw t0 全通網(wǎng)絡(luò)，信號幅度不失真 無失真 有相位失真 線性相位，波形不失真16e(t) = E1 sin w1t + E2 sin 2w1t例：r(t) = KE1 sin(w1t - j1 ) + KE2 sin(2w1t - j2 )= KEsinw(t - j1j2) + KEsin(2w(t -)w2w112111 使兩個頻率分量有相同的延遲時間 諧波的相移必須與其頻率成正比。17j (w ) = -w t0dj (

9、w ) / dw = -t0j1=j2= t= 常數(shù)w2w0112、從時域看系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏敆l件h(t) = Kd (t - t0 )取傅里葉逆變換即要求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)也是沖激函數(shù)，而時間沿后t0 . 常用沖激信號作為測試系統(tǒng)保真度的信號。d (t)h(t) = Kd (t - t0 )18h(t)H ( jw ) = Ke- jw t0四、群延時概念群延時的定義實際中，t為正值。群延時為系統(tǒng)相頻特性對頻率的負(fù)導(dǎo)數(shù)。在滿足信號傳輸不產(chǎn)生相位失真的條件下，其群延時特性為常數(shù)。19t= - dj (w )dw五、產(chǎn)生特定波形若希望得到r(t)波形，已知r(t)的頻譜為R( jw),則 H ( jw)

10、 = R( jw) E( jw) =1 e(t) = d (t)利用沖激信號作用于系統(tǒng)可產(chǎn)生特定波形r(t)。r(t)EE2d (t)tt20t4r(t)EE2實際用窄矩形脈沖tt2R( jw) = H ( jw)0t420EtH ( jw)202p 4p 6pwttt5.4理想低通濾波器一、理想低通濾波器的頻域特性和沖激響應(yīng)理想濾波器：具有矩形幅度特性和線性相移特性。 理想低通濾波器：頻域特性：低于wc的所有信號無失真?zhèn)魉停?高于wc的所有信號完全衰減； 相移特性也滿足無任何失真?zhèn)鬏數(shù)囊?。wc稱為截止頻率。21理想低通濾波器的頻域特性H ( jw) = 1j (w ) = -t0wwc-

11、w cwwwc- w c0022- jw tH ( jw) =H ( jw) e jj (w )= 1 e0w wc 0other理想低通濾波器的沖激響應(yīng)e(t) = d (t)r(t) = h(t) 1 2p 1 2pww) =wtedwwte jw (t -t0 )dw- j= FTH ( j1 e=1jch(t)0-wc-h(t)wcp0t0t23h(t) = w c Saw(t - t)pc0分析：1)h(t)的波形是一個抽樣函數(shù)，不同于輸入信號d(t)的波形，有失真。 原因：理想低通濾波器是一個帶限系統(tǒng)，而沖激信號d(t)的頻帶寬度為無窮大。2)h(t)主峰出現(xiàn)時刻 延遲了一段時間t

12、0 。t0是理想低通濾波器的群延時。3)h(t)在 t0 的區(qū)間也存在輸出，可見理想低通濾波器是一個非因果系統(tǒng)，因而它是一個物理不可實現(xiàn)的系統(tǒng)。24二、理想低通濾波器的階躍響應(yīng)e(t) = u(t)r(t) = g(t)1E( jw) = FTu(t) = pd (w) +jwR( jw) = H ( jw)E( jw) = pd (w) + e- jwt01-w w wjw cc12sinw (t - t0 )1pwr(t) = FT -1R( jw )dw=+cw025H ( jw) = e- jw t0w 2p 時，響應(yīng)大體為矩形;當(dāng)脈寬t 2p 時，響應(yīng)波形失真嚴(yán)重wce(t)wcr(

13、t)1121+ tt0tt + ttt0000t2矩形脈沖通過理想低通濾波器輸入信號波形28r (t) = 1 Siw (t - t) - Siw (t - t-t )1pc0c0E1 ( jw )e1 (t)110- 112w2p4p6pt02輸入信號波形r(t)1通過理想低通濾波器H ( jw)1輸出波形0- 1212t0w-4p4pr(t)1H ( jw)18.95%輸出波形w0-8p8p0- 1212t295.5系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性、佩利-維納準(zhǔn)則理想低通、帶通、高通、帶阻濾波器在物理上不可實現(xiàn)的。究竟怎樣的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型可以在物理上實現(xiàn)？例： LC+LR =v1 (t)-v2 (t)CR

14、h(t) = ?- 3 wc 12wwc = 2H ( jw) =c2LC32 w3+ wc c + jw 2230j (w ) pH ( jw) 1 p2wc0w-w0-wcwcwpc-2-p 與理想低通濾波器比較！-wc t2w3w)w t)-h(t) = FTH ( j=(t 0)1 c e3sin(2c2h(t)由實際電路組成從t=0開始，物理可實現(xiàn)2pwcpwc0t31可實現(xiàn)特性與不可實現(xiàn)特性的標(biāo)準(zhǔn)（1） 時域因果性2H ( jw )dw （2） 頻域如果幅度響應(yīng)平方可積-佩利-維納準(zhǔn)則物理可實現(xiàn)的必要條件沒有給出相位特性約束不滿足這個條件，系統(tǒng)就是不可實現(xiàn)的。32僅允許 H ( j

15、w) 特性在某些不連續(xù)的頻率點上為零；但不允許H ( jw) 在一個有限頻帶內(nèi)為零。即限制了幅度特性的衰減速度理想低通、理想高通、理想帶通和理想帶阻等都是不可實現(xiàn)的ln H ( jw)-1+ w 2dw t 0非因果335.7調(diào)制與解調(diào)進(jìn)行調(diào)制的目的： 信號能有效地被輻射條件：天線尺寸為被輻射信號 波長的十分之一或更大些，。如：對于語音信號， 天線尺寸要在幾十公里以上，不可能實際制作。 調(diào)制：將信號頻譜搬移到任何所需的較高頻率范圍， 制作合理尺寸的天線，容易發(fā)射。 調(diào)制作用的實質(zhì)是把各種信號的頻譜搬移，使它們 互不重疊地占據(jù)不同的頻率范圍，即信號依附于不同頻率的載波上，可以分離出所需頻率的信號

16、，不致互相干擾。（頻移定理、分割電臺）34 改善電波傳播的衰減：低頻信號（如音頻信號）容 易衰減 實現(xiàn)多路復(fù)用：用同一部電臺將各路信號的頻譜分 別搬移到不同的頻率區(qū)段，在同一信道內(nèi)傳送多路 信號的“多路通信。 頻分復(fù)用：基于傅里葉變換的頻移特性 利用模擬電話線路傳送數(shù)據(jù)信號：Modem帶寬300Hz-3400Hz計算機(jī)傳送的信號集中在零頻率附近，帶有300Hz以下的低頻信號為了避免傳輸失真，必須將數(shù)字信號的頻譜搬移到話路帶寬內(nèi)35調(diào)制原理g(t) cos(w0t)g(t)調(diào)制信號cos(w0t)載波信號f (t) = g (t) cos w0tG(w)已調(diào)信號1- wm12wmF(w)ww-

17、w 0w036F (w) =1G(w) *pd (w + w) + pd (w - w) 2p00= 1 G(w + w) + G(w - w) 200相乘相乘解調(diào)原理g0 (t)g(t)g(t) cos(w t)0cos(w0t)同步解調(diào)：接收端與發(fā)射端具有同頻同相的本地載波。g0 (t) = g(t) cosw0tcosw0t= 1 g(t)(1+ cos 2wt)02= 1 g(t) + 1 g(t) cos 2wt02237G(w) = 1 G(w) + 1 G(w + 2w) + G(w - 2w)02400低通相乘F(w)12- w 0pd (w + w0 )- w 0w0pd (

18、w - w0 )0w0w0G0 (w )0wm12- wm11442w0- 2w0w1 G(w )122利用低通濾波器wm wc 0, 已調(diào)制信號的包絡(luò)就是A+g(t)?？梢曰謴?fù)出g(t)。 技術(shù)簡單，價格低，常用于民用通信設(shè)備。39g(t)tcos(w0t)tg(t) cos(w0t)t A + g (t)cos(w0t)A + g(t)A tt405.9從抽樣信號恢復(fù)連續(xù)時間信號F(w)f (t)1w-wmwmFs (w )0tf (t)1Ts滿足抽樣定理-wsws0-wmwmTstwH (w)F(w)相乘1Ts信號還原w-wmwm-wwwmm41F (w ) = Fs (w ) H (w )一、從沖激抽樣信號恢復(fù)連續(xù)時間信號的時域分析Fs (w )1Tsf (